II. “à
CR ne ne
tetragonus primi numeri quæsiti est ex tetragono
de 8. scilicet de 64. similiter tetragonus secundi quæ-
siti numeri est —— ex Letragono de 12 scilicet ex 144. Îtem et tetragonus tertii quæsiti numeri est ——. ex tetragono de 15. scilicet de 225. unde multiplicanda sunt et super 288 per 64. et per 144. et per 225. et dividenda unaquaque multiplicatio per 288 et habebis pro tetragono primi numeri + 1. cuius radix est primus quæsitus numerus ; et pro tetragono secundi numeri habebis = 3. cuius radix est secundus numerus, et pro tetragono tertii numeri habebis + 85. Et notandum quia cum numeri fuerint duo tamen erit proportio uniuscuIusque positorum numerorum ad saum consimilem quæsitorum sicut proportio multiplicationis positorum ad additionem eorumdem quæ proportio dicitur simplex. Et cum numeri fuerint tres erit sicut multiplicatio trium positorum numerorum ad summam additionis eorum, ita quadratus uniusquisque positorum ad quadratum sui cousimilis quæsitorur utin hoc in qua fuerit proportio quadratorum de 8 et 12 et 15. scilicet positorum numerorum ad quadratos quæsitorum numerorum sicut 14400 ad + 5, scilicet-sicut saumma multiplicationis ipsorum ad summam addictionis eorumdem quæ proportio dicitur duplicata cum quadrati surgant ex multiplicatione duorum equalium numerorum. Et cum numeri fuerint quatuor erit sicut factus ex multiplicatione positorum ad factum ex additione eorumdem; ita cubus unius-
.cuiusque positorum ad cubum sui consimilis quæsi-
torum quæ proportio dicitur triphicata cum eubi surgant ex multiplicatione trium equalium numerorum.
à ( 355 }) Et cum numeri fuerint quinque erit siquidem proportio positorum ad eorum consimiles quæsitorum quadruplicata in his quæ diximus superius et in sex numeris cadet proportio quincuplata , et cætera.
Nam si cognoscere vis utrum radices inventorum tetragonorum scilicet + 1 et de 3 et de = 7 sint ad invicem in quisitis proportionibus scilicet sicut 3. est ad 3. ita radix de + 1. sint ad radicem = 3. et sicut 4. sunt ad 5. ita radix de = 3. sint ad radicem de = 9. multiphicabis ergo + 1 et = 3. per 18 in quibus reperiuntur ++ et habebis 28 et 63. et quoniam 28 sunt ad sicut tetragonis binarii ad tetagonum ternarii hoc est sicut 4 ad 9. cognoscitur quod radix de © r. est ad radicem de 23. sicut 2 ad 3. similiter invenies radicem de + 3. esse ad radicem de 2 5. sicut { sunt ad 5. cum = 3.sint ad + 5. sicut tetragonis quaternarii ad tetragonum quinarii. Îtem si vis cognoscere utrum multiplicatio radicum trium inventorum tetragonorum surgat ia ascensione additionorum ipsarum mulliplica ; 1 per + $. quam multüiplicationem multiplica per 22 5 erunt == 30. cuius numeri radix est summa multiplicationis radicum trium tetragonorum dictorum. Iterum ut habeas junctiones ipsarum junge tres numeros inventos superius in quibus proportionibus scilicet 8 et 12 erunt 35. et accipe tetragonum primi numeri scilicet 64 et tetragonum de 35. scilicet 1295. quia im qua proportione est tetragonus primi positi numeri ad tetragonum junctionis trium positorum numerorum, ita primus inventus tetragonus est ad tetragonum junctionis radicum trium inventorum tetragonorum , hoc est sicut 64, sunt ad 1225. ita © :
( 896 ) est ad tetragonum summæ junctionis trium radicum suprascriptarum; quare multiplicanda sunt 1225 per
> 1. et dividenda multiplicatio eorum per 645. et
invenies similiter 2 30. pro tetragono junctionis trium prædictarum radicum : possumus multas varias quæstiones de similibus in tribus numeris vel in pluribus proponere secundum quod in duorum numerorumi quæstionibus superius fecimus quorum omnium solutiones per ea quæ dicta sunt satis aperte inveniri possunt.
Incipit pars tertia de solutione quarumdam quæstionum secundum modum algebræ et almichabile scilicet ap-
proportionis et restaurationis.
Ad computationem quidem algebræ et almuchabile tres proprietates que sunt in quolibet numero considerantur, que sunt radix quadratus et numerus simplex. Cum itaque aliquis numerus multiplicatur in se et provenit aliquid , tunc factus ex multiplicatione quadratus est multiplicati et multiplicatus sui quadrati est radix : ut cum multiplicatur 3. in se venunt 9. sunt enim 3. radix de 9 et 9. sunt quadratus ternarii, et cum numerus non habet respectum ad quadratum vel radicem tunc simpliciter numerus appellatur ; hbæc autem in solutionibus quæstionum inter se equantur sex modis ex quibus tres sunt simplices et tres compositi : primus quidem modus est quando quadratus qui census dicitur equatur radicibus; secundus quando census equatur numero. T'ertius quando radix equatur numero. Unde cum in aliqua quæstione invenientur
census vel partem unius census equari radicibus vel numero debent redigi ad equationem unius census per divisionem ipsorum in numerum censuum. Vérbi gratia cum duo census equatur decem radicibus divides radices per numerum census scilicet 10 per 2. exibunt radices 5. que equantur uni censui hoc est radix census est 5 et census est 25. quia quot radices equantur censui, sit unitates sunt in radice census. Item si tres census equantur radicibus 12. tunc tertia pars trium censuum equatur tertiæ parti de radicibus 12. hoc est unus census equatur quatuor radicibus; quare radix census est 4 et census est 16. similiter cum in census + 3. equantur radicibus 21. divides 21 per + 3. et invenies quod unus census equatur radicibus 6; et si + unius census equatur 5. radicibus divides 5 per + hoc est multiplicabis 5 per 2. quæ sunt sub virga et divides per 1. quod est suprascripta virga exibunt 10. ergo unus census equatur 10. racidibus; et si + unius census equantur 8. radicibus tunc census
Le
equabitur radicibus 12. quia divisis 8 per + veniunt 12. hæc omnia intelligantur cum census augmentatus vel diminutus equalitur alio numero. Sed ut hæc apertius habeantur, ponatur 5. census equari debuerunt 45. divides ergo 45 per 5. venient denarii 0. qui equantur censui hoc est census est 9. et radix elus est 3. similiter cum census + 4 equatur denariis 26. divides 26 per + 4. scilicet 78 per 13. exibunt 6. qui equatur unus census, quare radix eius est surda cum $it radix numeri non quadrati. Et cum unius census equantur denarii 12, tunc census equabitur denariis 16. quia divisis 12 per ? scilicet 48 per 3.
(358 ) venient 16. quare radix census est 4. similiter facies cum radices vel partes unius radicis equantur numero, his autem ostensis reliquos tres modos compositos demostremus. Primus enim modus est quando census et radices equantur numero; secundus quando radices et numerus equantur censibus ; tertius modus est quando census et numerus equantur radicibus. Unde cum inaliqua quéstione invenietur census augmentatus vel diminutus cum compositione radicum et numeri tunc omnia reducerda sunt ad censum unum. Verbi gratia duo census et decem radices equantur denariis 30. ergo unus census et 5. radices equantur denariis 15. simili quoque modo, si tres census et 12 radices equantur denariis 39. divides hæc per numerum censuum scilicet per 3. proveniet unus census et quatuor radices quæ equantur denariis 13, item si inveniäntur radices 15 et denarii 60. qui equantur censibus 5. divides hæc omnia per numerum censuum seilicet per 5. et invenies quod unus census equatur tribus radicibus et denariis 12. Îtem si # unius census et radices 10. equantur denariis 20. divides hæc omnia per <. scilicet multiplicabis radices 10. et dedarios 20 per 5 exibunt 50. et denarii 100. quæ divides per 4 et sic invenies quod unus census et radices = 7. equantur denariis 25. et sic intelligas in similibus. Et cum hec omnia operari sciveris et volueris invenire quantitatem census quæ cum datis radicibus equantur numero dato. sic facias : accipe quadratum medietatis radicum, et adde cum super numerum datum et eius quod provenerit radicem accipe de qua numerum medietatis radicum tolle et quod remanserit
( 359 ) erit radix quæsiti census. Verbi gratia census et decem radices equantur 39. dimidium itaque ex radicibus est >. quibus in se multiplicatis faciunt 25. quibus additis 39 faciunt 6,4. de quorum radice que est 8. si auferatur medietas radicum scilicet 5. remanebunt 3. pro radice quæsiti numeri census; quare census est 9. et ipsius decem radices sunt 30. et sic census et decem radices equantur 59. nam unde hec regula procedat per duplicem figuram ostendere procurabo. Adiaceat siquidem tetragonus 4. D. c. d. habens in singulis lateribus amplius quam ulnas 5. et accipiatur super latus a. D. punctus e. et super latus a. d. punctus f. et super latus 2. c. punctus g. et super latus c. 4. punctus . et sit unaquaque rectarum D. e, c. g. et €. k. et d. f. ulnarum 5. et complicantur rectæ e. A. et . g. et quia tetragonum est quadrilaterum EN À erit latus d, a. equalis lateri. D. 4. et cum de qualibet equalia auferantur quæ remanent erunt equalia quare si ex d. a. auferatur d. f. et ex D. a. auferatur b. e. quarum unaquæque est 5. remanebit siquidem e. a.
equalis rectæ /. a. sed recta a. e. equalis est recta /. £.
cum equalis sit recta /. 2. rectæ a. b. est enim recta i. g. equalis rectæ e. 2. propter eadem ergo , et recta e. a. equalis est rectæ a. f. cum recta e. L. sit equalis rectæ a. d. et recta z. b. rectæ f. d. tetragona ergo sunt quadrilatera e. f. et g. h. ponam itaque processu quæsito quadrilaterum e. f. quod est ignotorum laterum cuius radix est unaquaque rectarum e. i. et £. f. sed rectæ e. r. duplicata est superficies recti angulo b. 1. quæ est quinque radices census e. f. cum ipsa superficies aplicata sit super radicem eius et sit unaquaque rectarum e. D. £. g. similiter et superficies d. constat ex 5. radicibus census e. f. cum sit aplicata super radicem ipsius scilicet super latus a. f. et sit >. unaquæque rectarum /. 4. et z. k. sed quia census et 10. radices equantur denariis 39. erunt ergo 39 prædictæ tres superficies quæ sunt e. f. b. a. i. d. quibus addantur 25. scilicet tetragonum g. k. cuius unumquodque latus est 5. habebuntur 64. pro toto tetragono a. b. c. d. quorum radix scilicet 8. est longitudo uniuscuiusque lateris eius, quare si auferatur ex b. a. recta b. e. scilicet 5 de 8. remanebunt 8 pro
linea €, «. ergo radix quæsiti census est 3 et census
est 9. pro addito cum decem suis radicibus faciunt 59. ut oportet. Âliter sit census quæsitus tetragonum e. £. et super latus 4. e. applicentur decem radices; enim scilicet superficies recti angula 4. B. cuius numeri quodque latum 4. e. et . d. sit 10. et dividatur recta h. e. in duo equa super £. et quoniam census :. d. et elus 10. radices d. k. equatur denartis 39. ergo tota superficies recti angula +. /. est 39. quæ superficies constat ex &. <. in À. <. recta quidem e, À. equalis est recte c. e. cum sit tetragonum quadrilatorum e. ergo exductu «. e. in <. b. proveniunt 39. quibus addatur tetragonum lineæ e. c. quod est 25. habebuntur 64. pro tetragono lineæ £. c. quare radix de 64. scilicet 8. est recta f. c. de qua si auferatur recta e. c. quæ est 5. remanebunt 3. pro linea c. +. ergo radix census e. 1. est 3. et census est 9. ut per alium modum invenimus, Et cum ceciderit in solutione alicuius quæstionis quod census equatur radicibus et numero tunc quadratum medietatis radicum addes super numerum et super radicem eius quod provenerit addes numerum medietatis radicum et hbabebis radicem quæsiti census. Verbi gratia census equetur decem radicibus et denariis 39. Addam siquidem quadratum medietatis radicum seilicet 25. super 39 erunt 64. quorum radix scilicet 8. scilicet medietatem radicum proveniet 13. pro radice quæsita census; quare-census est 169. Nam si unde hec regula procedit scire vis aiaceat tetragonum a. b. c. d. cüius unumquodque latus sit plus quam 10. et protrahatur in ipso linea e. f. et sit 10. unaquaque rectarum e. c. et /. d. et dividatur e. e. in duo equa
super g. el sit census quæsitus tetragonum D. d. quare
decem radices erit superficies c. d. cum sit aplicata super latus e. f. quod est equalis radici ipsius eensus
hoc est lineæ a. D. et est 10. unaquaque linearum c. e. et f. d. remanebit superficies /. b. 39. quæ proveniunt ex ductu jf. e.ine. b. scilicet f. e. est equalis rectæ b. c. ergo ex b. e. in b. c. proveniunt 39. quibus si addatur quadratus lineæ e. g. veniunt 64. pro quadrato lineæ 2. g. cuius radici addatur linea g. c. scilicet 5. venient 13, pro linea D. c. quæ est radix quæsiti census quare census est 169. Et cum occurerit quod ceusus et numerus equentur radicibus scias hoc fieri non posse nisi numerus fiat equalis vel minor quadrato medietatis radicum quod si equalis fuerit habebitur pro radice census numerus medietatis radicum: et si qui censu equatur radicibus fuerit minor quadrato medietatis radicum et si id quod remanserit non :erit radix quæsiti census tunc addes id quod extraxisti super numerum de quo extraxisti habebis radicem quæsiti census. Verbi gratia census et 40. equatur 14. radicibus dimidiatis siquidem radicibus veniunt 7. de quorum quadrato de 49 extrahe 40. remanent 9. quorum radicem quæ est 3. extrahe de medietate ra-
1365 ) dicum scilicet de 7. remanebunt 4. pro radice quæsiti
census, ergo census est 16. quibus additis eum 40
| ps
factunt 56. quæ sunt radices 14. eiusdem census cum exducta radice quæsiti census et sic census erit 190. quo addito 40 faciunt 140. quæ sunt radices de 14 de 100. cum ex multiplicatione radices de 100 in 14. provenient 140. et sic non-solvetur quæstio cum diminutione solvetur sine dubio cum additione, et si unde hæc regula procedat nosse vis adiaceat linea a. b. quæsiti et dividam eam in duo equalia super g. et in duo inequalia super d. et constituam super unam ex inequalibus portionibus tetragonum, constituantur primum super minorem portionem quæ est d. b. tetragonum d. +. et protrahatur «. e. in directo in punctum £. et sit recta c. £. equalis rectæ a. b. et copuletur recta &. a. ét quia recta €. D. est radix census d. «. et recla a. b. est 14. erit tota superficies a. :. radices 14. ex censu d. :. Et quia census et 40. equatur racidibus 14. erit superficies 4. e. 40. quod proveniet ex d. e. in d. a. hoc est ex D. d. in d. a. quibus 40. si addatur quadratus scitionis d. 9. habebuntur 49. scilicet qua-
dratum lineæ g. b. quare quadratum lineæ d. g. est 9.
quorum radix scilicet 3. est linea g. d. cui si addatur linea g. a. erit 10. tota linea a. d. et si auferatur Lg d. ex g. b. remanebunt 4. pro linea d. b. quæ est radix census d. . et supra linea a. d. constituatur census a. { ut in hac alia figura remanebit superficies Z. 6.
40. quod provenit ex /. d. in d. b. hoc est ex a. d. in d. b. quæ 40. si extrahantur ex quadrato lineæ a. b. remanebunt 9. quorum radix scilicet 3. est linea g. quare a. d. est 10. Ergo radix census a. b. est 10. et census est 100. ut prædiximus. Cum his autem sex regulis possint solutiones infinitarum quæstionum reperiri : sed oportet eos qui per eorum modum procedere volunt, scire ea quæ diximus in multüiplicatione et divisione et extractione seu additione radicum et binomiorum atque recisorum quibus perfecte cognitis quedam quæstiones super hæc proponantur.
E xpliciunt introductiones ÆAlgebræ ct Almuchabile, in-
cipiunt quæstiones etusdem.
Si vis dividere 10. in duas partes, quæ in sirmul
( 365 ) multiplicatæ faciant quartam multiplicationis maiores partis in se, pone pro maiori parte radicem quam appellabis rem, remanebunt pro minore parte 10. minus re, qua multiplicata in re venient 10. res minus censu et ex multiplicata re in se proveniet census, quia cum multiplicatur radix in se provenit quadratus ipsius radicis : ergo decem res minus censu equantur quartæ parti census. Quare quadruplum ipsarum equabitur censui uni : ergo multiplica 10. minus censu per 4. venient 40. radices minus 4. censibus quæ equantur censui. Restaura ergo 4. census ab utraque parte erunt 5. census quæ equantur 40. radicibus : quare divide radices 40 per 5 exibunt radices 8. quibus equatur census ; ergo portio pro qua posuisti rem est 8. quibus extractis de 10. remanent 2. quæ sunt alia portio, et sic perduximus hanc quæstionem ad unam ex sex regulis ad eam videlicet in qua census equatur radicibus ad quam etiam reducemus hanc in qua divisi 10. in duas partes ex quibus multiplicavi unam per aliam et in id quod provenit divisi quadratum unius portionis et provenit + I. pone iterum rem pro una portione remanebunt 10. minus re, et multiplica rem jñ 10 minus re venient 10. res minus censu. Et multiplica rem in se veniet census quem divide per 10, res minus censu quod sic fit : tu scis quia ex ipsa divisione provenit + 1. ergo si multiplicas ex eadem per divisorem provenit utique divisus numerus, scilicet census multiplica ergo 10. res minus censu per + 1. exibunt 15. res minus censu et dimidio quæ equantur censui. Restaura ergo censum + 1. ab utraque parte et erunt censui + 2. qui equantur radicibus 15.
quare divide &5. radices per + 2 exibunt G. radices quæ equantur censui. Quare census est 36. quorum radix scilicet 6. est una ex duabus portionibus, reliqua autem erit 4. Item divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum in se et quod provenit mulüiplicavi per ? 2. et id quod provenit fuit 100. scilicet quadratus de 10. sic facies : pone pro ipsa portione ipsam reni quam multiplica in se venient census que multiplica per + 2 venient census Z 2. qui equantur 100. divide ergo 100 per Z 2 venient 56. quibus equatur census : Quare radix eorum quæ est 6. est una ex duabus portionibus et sic perducta est hæc quæstio ad secundam regulam im qua census equantur numero. Item divisi 10 in duas partes et divisi maiorem earum per minorem el id quod provenit fuit + 2. sic facies : pone rem pro una ex suprascriptis portionibus ; quare alia erit 10. minus re et divide 10 minus rc in rem , quia ex ipsa divisione veniunt + 2. mulüplica divisionem per + 2 venient res + 2. quæ equantur 10 minus re. Adde ergo res utrique parti et erunt res 2 3. quæ equantur 10. divide ergo 10 per numerum rerum scilicet per + 3. veniet quod una res equabitur tribus denarui : quare una ex suprascriptis portionibus 3. a quibus usque in 10 sunt 7. pro ao portione et sic reducto est hæc quæstio ad tertiam regulam ubi radices equantur numero.
Divisi in duas partes 12 et multiplicavi unam earum per 27 et quod provenit fuit equale quadrato alterius partis, sic facies : pone rem pro una partium remancbunt 12 minus re pro alia , quibus muliplicatis per 27 faciunt 324. minus 27. rebus et multiplica
(367 ) rem in res scilicet primam partem in se proveniet census qui equatur denarñs 324. minus 27 rebus, quibus rebus additis utrique parti veniet census et 27. res quæ equantur denariis 324. et sic reducta est hæc questio ad unam ex tribus com positis regulis ad eam videlicet in qua census et radices equantur numero. Unde ut procedas secundum ipsam regulam multiplica + 13 scilicet dimidium radicum in se erunt + 182. quæ adde cum 32. rerum + 26. quibus radicem invenias sic fac quartas ex his erunt 2025. cui numero radicem invenias eriltque 45. quæ divide per radicem de 4. quæ sunt sub virga scilicet per 2 exibunt + 22. de quibus extractæ medietates radicum remanebunt 9- pro radice census, quæ sunt una pars a quibus usque in 12 desunt 3. pro secunda parte. Multiplicavi 1. plus de = unius numeri per unum plus de eiusdem et provenerunt 73. pone pro ipso numero rem ergo vis multiplicare 2 rei uno addito per + rei plus uno. Mulüplica ergo 2 per + rei proveniet medietas census et multiplica unum per unum faciet r. et unum in < rei, et unumin ; r'el veniet res et = rei et sic ex eorum. multiplicatione habebitur medietas census et res + 1. et denarius unus qui equatur denariis 73. Abice ergo denarium unum 2b utraque parte remanebit mediétas census et res 73 que equantur denariis 72. resintegra itaque censum tuum et habebis censum et res + 2. quæ equantur 144. quare dimidia radices exibunt =. Quas multiplica in se ve-
nient 2 77 quæ adde crim 144 erunt = 146. quibus
radicem invenies ordine demostraio scilicet multiplica 146 per 144. et adde unum erunt centesimæ quadra-
gesimæ quartæ, 21,075. cuius numeri radicem divide per 2 scilicet per radicem de 144. que sunt sub virga et habebis — 12 pro radice quæsita de qua extrahe
medietatem radicum scilicet € 1. remanebunt = 10
pro numero quæsito super ? quorum si addatur 1
venient + 8. etiam et addito uno super À ipsorum
n venient 9 et ex — 8. multiplicatis in 9 surgunt 73. ut propositum fuit.
Divisi decem in duas partes et addidi simul quadratos ipsorum et provenerunt + 62. pone itaque rem pro prima parte et multiplica eam in se venient census, simul multiplicata secundam partem in se quæ est 10. minus re quam multiplicationem facies sic ex 10. in 10 vemiunt 100. et ex re diminuta in rem diminutam provenit census additus et ex 10 multiplicatis bis in rem diminutam proveniunt 20. res diminutæ et sic pro multiplicatione de 10. minus re in se habentur 100. et census 20. rebus diminutis quare si addantur cum quadrato primæ partis scilicet cum censu erunt 100. et duo census minus viginti rebus quæ equantur denariis + 62. Adde ergo viginti res utrique parti erunt 100. et duo census quæ equantur 20. rebus et denariis + 62. Abice igitur + 62. ab utraque parte remanebunt duo census et denariis + 37. quæ equantur 20. radicibus et sic producta est hæc quæstio ad tertiam regulam compositarum ubi census et numerus radicibus equantur, quare ut ipsam immiteris regulam divide numerum et radices per numerum censuum scilicet per 2. hoc est dimidia ea eveniet quod census et denarii + 18. equantur radicibus 10. dimidia ergo radices venient 5. quæ mul-
üplica in se erunt 25. de quibus extrahe + 16. remanent + 6. quorum radicem scilicet + 2. extrahe de medietate radicum scilicet de 5 remanebunt = 2. quæ sunt una prædictarum partium à quibus usque in 10. desunt + 7. quæ sunt secunda pars. Et si extracto quadrato minoris partis de quadrato maioris remanent 90. sic facies quadratum unius partis scilicet censum de quadrato alterius extrahe scilicet de 100 et censu viginti rebus diminutis remanebunt 100. diminutis 20. rebus quæ equantur 50. quare adde utrique parti 20. res et tolle de unaquaque 50 remanebunt viginti res quæ equantur 50. quare divide 50 per 20. veniunt : 2 pro minori portione.
Multiplica siquidem tertiam unius numeri per quartam eius et provenit ex multi plicatione idem numerus et denarii 24. pone pro ipso numero rem et multiplica ; rei per quartam eius veniet T; Census quæ equatur rei et denariis 24. Reintegra ergo censum scilicet multiplica hæc omnia Per 12. et veniet census qui equatur duodecim rébus et denariis 288. multiplica ergo 6. quæ sunt dimidium radicum in se erunt 36. quæ adde cum 288 erunt 324. super quorum radicem adde dimidium radicum erunt 24. quæ sunt radix census ergo quæsitus numerus est 24. et sic reducta est hæc quæstio ad secundam ex tribus reswlis compositis ubi census equatur radicibus et numero,
Divisi 10 in duas partes et divisi illam per istam et istam per illam et provenerunt = 3. In hac quæstione oportet quædam predicere etiam et demostrationibus demostrare Sit itaque prima illarum partium a. et secunda 4. et dividatur b, in a: et proveniat d.
