censuum census remanebit pro quadrato quan
( 416 ) ütatis a. c. 18. census diminuta radice 320. censuum census ut dictum est. Nam ex 4. c. in a. b. hoc est ex radice 8. censuum in radicem 10. censuum provenit radix 80. censuum census cujus duplum sunt duæ radices 80. censuum census. Ex duæ radices 80. censuum census sunt una radix de 320. censuum census et quia radix 10. censuum diminuta radice 8. censuum equatur radici 200. denariorum et eorum quæ dicta similiter sibi invicem equabuntur quare 18, census 320. diminuta radice 320. censuum census equabuntur 200 denariis. Reduc ergo hæc omnia ad censum unum et illud est multiplices ea per + 4 et per radicem de 20. Nam ex multiplicatione de + 4. et radices de 20 in 18. census diminuta radice 320. censuum census, ut inferius demostrabo et ex multiplicatione + 4 et radices 20. in denariis 1700. proven'unt 900. et radix 800,000. ergo census equatur denariis 900. et radici 800,000. quorum radix quæ est 20. et radix de 500. erit res, hoc est minor numerus cui si addantur 5. habebunt pro maiori numero 25. et radix 500 denariorum. Modus autem inveniendi radicem de 900. et radicis 800,000. est ut de quadrato medietatis 900. quod est 202,500. auferes quartam de 800000. remanebit 2500. quorum radicem quæ est 50. adde super 50. scilicet super medietatem de 900. erit oo et de 4500. abice 400. et accipe radicem de 500 et de 400. et venient 20. et radix de 500. ut pro primo numero inventum est. et si vis scire modum reducendi 18. census diminuta radice 320. censuum census ad unum censum considera quod quando aliquod recisum multiplicatur in suum binomium vel
quando multiplicatur binomium ahiquod in suum recisum egreditur numerüs roncinatus, dicimus enim recisum 18. minus radice 320. cuius binomium est 18 et radix 320. quibus in simul multiplicatis faciunt 4. quia ex ductuü 18. in se veniunt 324. addita et ex ducta radice 320. addita in radicem 320. diminutam veniunt 320. diminuta, quibus extractis de 324. et remanent 4. diminuta diximus, eodemque modo si multiplicamus 18. census minus radice 320. censuum census in suum binomium scilicet in 18. censu et radicem 320. censuum census egredientur inde 4. censuum census : inde si diviserimus 18. census et radicem 320. censuum census per censum et quod provenit scilicet 18. et radicem 320. multiplicaverimus in 18. census diminuta radice 320. censuum census egredientur inde 4. census tantum, quare si multiplicaverimus 18 census minus radice 320. censuum census in quartam de 18. et radicis 320. scilicet in + 4. et in radicem de 20. nimirum unius censüs provenit et hoc est quod volui demostrare.
Possumus aliter ad solutionem huius quæstionis venire ; sed sicut quedam plus demostranda videlicet cum fuerint tres quantitates continue proportionales in ea quam habet aliqua alia data quantitas ad aliam quantitatem erit multiplicatio minoris quantitatis illarum duarum quantitatum in coniunctum mediæ et maioris illarum trium quantitatum sicut multiplicatio maioris erunt earumdem duarum quantitatum in coniunctum eiusdem mediæ et minoris illarumtrium quantitatum. Verbi gratia sint tres quantitates a. b. c.
continue proportionales in eaquam habet quantitas 4. II. 27
ad quantitatem e. et sit d. minor quame. et sit sicut d. ad e. ita a. ad b. et &. ad c. dico quod factum ex d. in
quantitates b. c. est sicut factum ex e. in quantitates
a. b.quod sicprobatur ; quoniam est sicut a. ad b.itab.
ad c. eritconiunctosicut a. et b. ad à. etc. permutatio ergo erit sicut quanttates a. b. ad quantitates .c. [ta b. ad c. sed sicut . ad c. ita d. ad e. ergo sicut 4. ade, ita quantitates a. D. ad quantitates 2. c. quia multiplicatio d. coniuncti ex quantitatibus 2. c. equatur multiplicationi quantitatis e. in coniunctum quantitatum a. 6. ut prædixi quibus intellectis redeam ad quæstionem suprascriptam et ponam d. radix de 8. et e. radix de 10. et j. sit 8. et h. sit 10. et esto sicut f. ad k. ia a. ad c. et sit c. quinque plus quam a. et ponam inter numeros /. À. numerum g. medium in propurtione et numerum b. inter numeros à. e. dico quod primum numéros a. b. c. proportionales esse in ipsam quam habet quantitas Z. ad quantitatem e. quoniam d. seipsam multiplicans numerum /. fecit et e. seipsam multiplicans numerum 4. fecit et posita est g. quantitas inter numeros Î. h. in proportionem mediam quare est sicut d. ad e. ita f. ad 2. et g. ad h. et est sicut /. ad À. ita À. a. ad c. sed sicut f. ad h.ita quadratum quod est a. numero /. ad quadratum quod est a. numero g. sicut in geometrica ‘mit est enim similiter sicut a. ad c. hoc est sicut prima ad tertia ita quadratum quod est ad prima a. ad quadratum quod est secunda D. ergo quia est sicut f. ad h. ita a. ad c. erit sicut quadratum quod est ab f. ad quadratum quod est 4. numero g. ita quadratum quod est ab a. sd quadratum quod est a. numero Ÿ. quare
erit sicut f. ad g. ita a. ad b. scilicet J. ad 8. est sicut d. ad e. ergo est sicut Z. ad e. ita 4. ad 4. sed est sicut a. ad 6. ita b. ad e. ergo est sicut 4. ad e.'ita a. ad à. et 2. ad à. numeri ergo.a. b. e. continui sunt in proportione quam habet quantitas ad quantitatem et quare multiplicatio ex 4. in numeros b. c. et sicut multiplicatio e. in numeros a. 4. ut superius demostratum est. Sed qualiter inveniantur numeri &. c. demostrare volo : quoniam est sicut f. ad k. ita «. ad e. et 2. superat numerum f. ita 2 et numerus e. numerum &. in D. est sicut 2 ad 5. ita f. ad à. et ita 2. ad c. quare si multiplicaveris numeros f. k. per 5. scilicet 8. et 10. et summas quæ sunt 40. et 5o.- diviseris per 2. habebis 20. pro numero a. et 25. pro numero c. et quia numeri &. b. c. continui proporticnales sunt erunt multiplicatio numeri 4. in numerumM C. quæ est 5oo. sicut multiplicatio numeri 4. in se quia numerus D, est radix de 500. et sic invenimus primum numerum esse 20 et radix de 500. et secundus numerus addit 5 super ipsum et est 25. et radix de 5oo ut per alium modum invenimus, et notandum quod si radices 4. e. sibi invicem commensurabiles essent ita quod proportio quadrati radicis d, ad quadratum radicis e. esset sicut proportio quadrati numeri ad quadratum numerum essent itaque numeri @. b. sibi invicem commensurabiles et coniunctum ex eis facerit numerum retrocinatum. Verbi gratia sic d. radix de ». et e. radix de 8. qui -sunt quadrati radicum de d. e. est enim proportio de 2. ad 8. sicut proportio quadrati numeri 4. ad qua- -dratum numerum 16. et quia volumus invenire duos
numeros quorum unus excedat alterum in 5. et sit multiplicatio maioris eorum ‘in radicem de 2. sicut multiplicatio maioeis in radice de 8. multiplicabimus 2 et 8. qui sunt quadrati radicum d. e. per 5. prædicta et dividemus quæ provenient per b. quæ sunt differentia quæ est inter 8 et 2. et habebimus pro numero &. + 1. et pro numéro c: habebimus + 6. quare numerus Ÿ. qui est medius inter utrunque est duplum de 2 1. scilicet + 5. cuius etiam tertius numerus SCilicet = 6. duplus extitit. Unde addamus numeros a. b, in urum habebimus 5. pro minori numero, et si addamus. numeros D. c. in simul scilicet 2 3. et + 6. faciurit 10. pro maiori numero et est proportio coniunctorum @.- D. ad coniunctos b. c. hoc est ad 10. sicut proportio d. ad e. est enim radix de 2. medietas radicis de 8 et >. similiter sunt medietas de 10. et sic in similibus studeas operari.
Multiplicavi quoddam avere in duplum eius et endici venientis summæ addidit 2. et illud latum multiplicavi per avere prædietum et provenerunt unde denarii 30. pone pro 1pso avere reém et multiplica eam
in duplum eius et veniet duo census quorum radici ‘’adde 2. et habebis radicem duorum censuum et denarios 2. quæ multiplica per rem et proveniet radix duorum censuum census et duæ res quæ equantur denariis 30. Redige duorum censuum census ad censum et hoc est ut multiplices illud per radicem de : quia cum muluplicatur radix duorum censuum census per radicem ducrum censuum census proveniunt duo census censuum. Unde si diviserimus radicem duo-
rum cénsuum census per censuum veniet utique radix
de 2. in qua si multiplicaverimus radicem duorum censuum census egredientur inde mode duo census tamen -quia si multiplicaverimus radicem duorum censuum census per medietatem radicis de 2. hoc est per radicem de + veniet inde unus census diximus et multüiplica similiter duas res per radicem de + veniet radix duorum censuum et sic habebis censum et radicem duorum censuum quæ equantur multiplicationi de 30. in radicem de + quæ multiplicatio est radix de 450, et sic in hac quæstione census et radices equantur numero : dimidia ergo radices veniet radix medietates denarii quam multiplica in se veniet = quem adde cum radice de 450. habebis pro quæsito avere radicem de 450. et medietatem unius denarii, de quorum radice extrahe radicem de + remanebit radix radicis 450. et medietatis denari, diminuta
inde radice de + unius integri; et notandum quia quando dividitur radix aliquid censuum census per censum non est aliud nisi dividere numeri per numerum et cum dividitur radix numeri per numerum tunc dividendus est nnmerus cuius radix dividitur per quadratum numeri in quo radix dividitur. Verbi gratia volumus dividere radicem de 32 per 4. hic dividenda sunt 32. per quadratum de 4. et radix eïus quod provenit scilicet de 2. est id quod proveniet ex divisione eodemque modo cum dividimus radicem duorum censuum census per censum tunc dividemus duos census census per censum census et radix eius quod provenit scilicet de 2. est illud quod provenit ex divisione ut diximus. Item cum multiplicatur radix alicuius numeri per rem aut per res ut sicut multi-
plicare radicem numeri per numerum scilicet cum multiplicatur radix numeri per numerum tunc multiplicatur quadratus radicis per quadratum numeri et radix eius quod provenit est id quod quæretur. Verbi gratia cum volumus multiplicare radicem 8 per 4. multiplicamus 8 per 6. etradix venientis summæ scilicet denarii 128. est summa quæsitæ multiplicationis. Similiter cum multiplicamus res per radicem debemus ipsas res multiplicare in seetillud quod provenit multiplicare per numerum radicis et provenientis summæradicemaccipereet ideo cum multiplicaverimus superius duas res in radicem de + intelleximus multiplicationem duarum rerum in se de qua proveniunt 4. census quibus ductis in =veniunt duo census radicem quorum diximus provenire ex ipsa multiplicatione.
Divisi 10. in duas partes et divisi maiorem per minorem et minorem per maiorem et aggregavi eas quæ provenerunt ex divisione fuerunt radix 5. denariorum : sit una ipsarum partium a, reliqua sit 2. et dividatum 2. per a. et proveniet g. d. et a. per b. et proveniet d. e, dico primum quod multiplicatio a. in B. producta in g. e. est equalis duobus quadratis numerorum a. ?. exemplum que cum dividitur 4. per a: provenit g. d. si multiplicatur g. d. in a. provenit 4. ergo si multiplicatio g. d. in a. ducatur in #. erit sicut b. in se. Rursusque cum dividetur a. per &. provenit d. e. ergo si multiplicatur d. e. in b. provenit a. quare si multiplicatio d. e. in b. ducatur in 4. provenit, et sic a, ducta in se; propterea si ducatur a. in b. etillud quod provenit ducatur in g. e. erit sicut coniunctum quadratorum numerorum @. b. et quia 1ta est pro a.
( 43) pone rem remanebunt pro b. 10. minus re. et duc à. in se veniet census et 10. minus re in se venit 100. et census diminutio 20. rebus quas adde cum censu erunt.. erunt et census et denarii 100 diminutis 20. rebus, deinde multiplica a. in D. scilicet rem in 10. minus re exibunt 10. res diminuto censu quod totum multiplica per g. e. quam quantitatem possumus radicem esse. 5. denariorum quæ venit radix 500. censuum diminuta radice 5. censuum census qui equantur 2. censibus et 1000. denariis diminutis 20. rebus. Restaura ergo 20. res et radicem 5. censuum census utrique parti et erunt radix 5. censuum census et census et denarii 100. equales 20. rebus et radici 500. censuum. Redige hæc omnia ad censum unum hoc est ut multiplices hæc omnia per radicem de 5. diminutis 2. denariis. Nam ex multiplicatione radicis 5. censuum census et denariorum censuum in radicem 5. diminutis 2, provenit census quia cum multiplicatur radix 5 et denarii 2. in radicem de à. minus 2. et provenit 1. et mulüplicatione 100. in radicem 5. minus 20. pro venit radix 50000. diminutis 200. denariis et ex multiplicatione 20. rerum et radicis 500. censuum in radicem 5. minus denaris 2. veniunt 10. res tamen quia ex multiplicatione radicis 5. in radicem 500. censuum provenit radix 2500. censuum scilicet 50. res et ex multiplicatione 2. et diminutorum in 20. res pr oveniunt 40, res diminuta quibus extractis de 5o rebus modo inventis remanent 10. res : multiplicatio quidem 20. rerum in radicem de 5. quæ est addita relinquimus cum sit equalis multiplicationi radicis 5oo. censuum in 12. diminuta et sic ex multiplica-
tione 20. rerum et radicis 500. censuum in radicem 5. minus 2, proveniunt 10. res tamen quæ equantur uni censui et radici 50000. minus 700. et sic radices equantur censui et numero et nos ponamus hoc in figura ut quæ dicere volumus clarius videantur. Sit superficiei rectangulæ latus a. D. equale rei et D. c. sit 10. et sic superficies a. c. continebit 10. res ct quia 10. res equantur uni censui et radici 50000. minus 700. auferamus a. superficie a. c. quadratum a. e. quod si census remanebit ex superficie a. c. superficies f. c. quæ est radix 59000. ex b. c. in c. d. et dividatur linea b. c. in duo equa ad punctum d. et erit linea Z. c. quæ est 10. divisa in duo equalia ad punctum e. quare si ex quadrato numeri D. e. quod est 25. auferamus multiplicationem ex b. c. in e. c. quæ est radix 50000. minus 70. remanebunt 225. diminuta radice 50000. pro quadrato numero d. e. quare si radix eius auferatur qui est numerus d. e. ex b. c. hoc est ex 5. remanebunt pro numero B. e. 5. minus radice differentiæ quæ est inter 225. et radicem 50000. et hæc sunt una res scilicet una duarum partium de 10. reliqua vero est numerus e. c. qui est 5. et radix differentiæ quæ est inter radicem de 50000. et radicem de 225. et si vis invenire radicem de 225. minus radice de 50000. multiplica 225. in se erunt 50625. de quibus abice 50000. remanebit 625. quorum radix quæ est 25. dimidia vemient + 12. quæ abice ex medietate de 225. quæ est 112. remanebit 100. et adde + 12. super 3 112 erunt 125. de quibus duobus numeris radices accipe et minorem de maiori extrahe remanebit radix de 125, minus 10. pro radice de 225. dimmuta radice
(425 ) 50000. qui estnumerus e. d. cui si addamus d. c. scilicet 5. habebitur pro tota e. c. radix de 225 minus 5. quæ sunt maior pars et si extraxerimus e. d. ex b. d. scilicet radix de 125. minus 10. de 5. remanebunt pro -minori parte scilicet pro numero #. c. 15. minus radice der25.
Possumus enim aliter solutionem ejusdem quæsüonis invenire et est ut pones unam duarum partium rem, aliam vero 10. minus re et ex divisione 10. minus re in rem veniat denarii quarlæ ex divisione rei in 10 minus re venit radix 5. diminuto denario, et quia cum dividitur minus re per rem provenit denarius si multiplicabitur denarius'in rem venient utique 10. minus re quia semper cum multiplicatur numerus dividens per exeuntem provenit divisus, similiter quia cum dividetur res per 10. minus re provenit radix 5. diminuto denario. Si multiplicaveris radicem 5. minus denario in 10. minus re provenit inde res, sed ex multiplicatione radicis 5. minus denario in 10. minus re proveniunt 10 et radix boo. diminufa radice 5. censuum et re et 10 denariis quæ multiplieatio sic fit multiplicatur primum radix 5. per 10. provenit radix 500. addita et radix 5. in re diminuta provenit radix 5. censuum diminuta et denariis diminutis in 10. addito inveniunt 10. denariü diminuti et ex multiplicatione denarn diminuti in rem diminutam proveniunt 10. addita diminuta re et sic per multiplicationem radicis 5. diminuto denario in 10. minus re provenit radix 500. ét denarii 10: minus re et radicibus 5. censuum et denariorum 10. quæ equantur rei : adde ergo utrique parti 10. denarios et tolle ab utraque
parte rem et erunt 10 et radix 500. diminutis duabus rebus et radices 5. censuum quæ equantur 10 et denario, dividamus per 10 et veniet 1. et radix 5. censuum diminuto + rei. et diminuta radice = census qui equantur uni denario et quia ex ducto denario in rem provenit 10. minus re si id quod est equale uni denario scilicet radix 5. et 1. minus quinta rei et minus radice Æ. census multiplicetur in rem veniet similiter ex ipsa multiplicatione 10. minus re, quare multiplicemus rem in radicem 5. et in 1. diminuta quinta rei et radicem <..census et venient radix 5. censuum et res diminuta 2 census et radice £. census census qui equatur 10. mfhus re : adde ergo utrique parti rem + census et radicem = census census et erit radix + census census et = census et denarii 10. equales radici 5. censuum et 2. rebus. Reduc ergo radicem : census census et quintam census ad censum unum et est ut multiplices id per radicem de 500. minus 20. denariis et provenit census; deinde ut reducas denarios 10. qui sunt cum censui et radicem 5. censuum et duas res quæ apponentur censui, multiplica eam per radicem 500. dimirutis 20. et venient 10. quæ equantur census et radici 50000. minus denariüis 200. ut superius invenimus deinde operabis ut supra et habebis propositum.
Est enim alius in modus solvendo similes quæstiones quem demostrare nequeo donec quædam huic operi necessaria demostrentur. Si duo numeri qualescumque fuerint et dividatur secundus per primum et primus per secundum et quæ ex utraque divisione provenerint in simul multiplicata fuerint nimirum in 1. ad cuius
rei evidentiam sint duo numeri 4. 6. et dividatur 6. per a. etveniat g. d. et a. per &. veniat d. e. dico quod
sig. d. multiplicetur in d. e. egredietur ex ipso multiplicatione a.quod sic probatur, quia quod dividetur b. per a. provenit g, 4. ergo si multiplicetur g. d. per &. provenit 3. quod etiam provenit si multiplicetur in À. quare est sicut 2. ad a. ita g. d. ad unitatem. Rursus quia cum dicitur a. per à. provenit d. e. si multiplicetur d. e. in b. provenit a. sed si a. ducatur in se provenit similiter a. quare est sicut unitas ad d. e. ita b. ad a. sed sicut 4. ad à. ita fuerit g- d. ad unitatem, ergo est sicut g. d. ad d. c. unitas ergo media est inter g. d. et d. c. quare multiplicatio g. d. in d, c. est sicut multiplicatio unitatis in se sed ex ducto in se provenit ergo ex ducto g- d. in d.e. provenit et hoc volui demostrare. Nunc revertamur ad quæstionem et dividatur 10. in duas partes et divisi ilam per istam et istam per illam et aggregavi in simul quæ ex ipsis divisionibus provenerunt et fuit latum hoc radix 5. dividenda est erso radix 5. in duas partes quarum una multiplicata per aliam faciat 1. sintque partes g. d. et d. e. et tota g. e. sit radix 5. et, dividatur g- e. in duo equa ad punctum e. et erit unaquaque Pars g. c. et c. e. radix de + 1. et multiplicetur g. c. in se provenit + 1. et auferatur inde multiplicatio ex e. 4. in d. e. quæ est 1. remanebit : pro quadrato numeri d. c, cum radix quæ est + est
( 428 } numerus d. c. quo ablato ex g. c. remanebit pro g. d. radix =, 1 minus medietate denarii, et addita g. c. super c. e. erit totus d. e. radix de + 1. et medietas denarii : ergo cum dividitur maior pars de 10 per minorem provenit radix + 1. et denarii + et cum dividitur minor pars per minorem provenit radix + 1. minus + denario : possumus enim has partes aliter invenire pone pro una duarum partium rem, alio erit radix 5. minus re et mulüplicetur res in radicem 5. minus re venit radix 5. censum diminuto censu quæ equantur uni adde ergo censum utrique parti et erit census et denarius 1. quæ equantur radici 5. censuum : dimidia ergo radicem 5. censuum et erit radix + 1. de qua abice 1. qui est cum censu remanebit + cuius radicem quæ est + abice et radice + 1. remanebit radice + 1.minus + pro una duarum partium reliqua vero erit radix + 1. et medietas denaru. Inventis itaque his partibus pone pro maiori parte 10. rem, minor vero erit 10 minus re et divide 10. minus re per rem venit et radix + 1. minus + quæ multiplica per rem venit radix unius census et +. minus medietate rei quæ equantur se minus re : adde ergo utrique parti medietatem rei erit 10. minus mediétate rei quæ equantur radici de censu + 1. quare multiplica 10. minus medietate rei in se erunt 100. census diminutis 10. rebus et multiplica radicem census + 1. in se et provenit census + 1. adde ergo utrique parti 10. res et tolle ab utraque parte 5 census veniet census et 10. res quæ equantur 10, denariis : operare deinceps secundum in hoc Algebra et invenies maiorem partem scilicet rem esse radicem de 125. diminutis 5.
denariüis reliqua vero pars erit 15. diminuta radice de 125. ut superius invenimus . Et nota quod cum habuistis superius radicem unius census et + diminuta medietate unius rei equari 10. denariis et addidimus utrique parti dimidiam rem tunc potuimus addere utrique partirem et essent radix census + 1 et medietas rei equalis 10. denariis et si secundum hanc processionem vis procedere , multiplica 10. in se erunt 100. et multiplica radicem census + 1. et medietatem rei in se et proveniunt census L r. et radix census census = 1 et hæc equantur denariis 100. unde ut reducamus hæc ad unum censum multiplicabis ea per + 1. minus radicé de + 1. et erit census equalis denaris 150. minus radice de 12500. quorum radix quæ est radix de 125. minus 5 erit res hoc est maïor pars.
Et si volumus procedere per inventionem minoris partis pone eam rem, minor vero pars erit 10. minus re et quia ex divisione 10. minus re in rem provenit radix de +1. et medietas denarii multiplicabis in rem et veniet 10. minus re sed ex multiplicatione radices de + 1. et medietatis denarii in rem provenit radix census + 1. et medietas rei; ergo hæc equantur 10 minus rei. Unde si ab utraque parte abstuleris medietatem rei remanebit radix census + 1. equalis 100. diminuta re + 1. quia si multiplicabis utramque partem in se erit census + I: equalis denartis 100. et censibus + 2. diminutis 30 rebus. Adde ergo utrique parti 30. res et tolle ab utraque parte censum + 1. et veniet census et denarii 10. quæ equantur 30 rebus. Age in hoc secundum Algebra ut invenies rem scilicet
minorem partem esse 15 minus radice de 125. ut
superius invenimus. Et nota iterum quando habuisti radicem census + 1. et medietatem rei equalem denariis 10. minus re et extraxisti ab utraque parte medietatem rei; tunc potuisti addere utrique parti rem et esset radix census + 1. et res = I. equales 10 denariis. Unde si multiplicamus hæc omnia in se habebimus census + 3 et radicem esse census = 11. equales denariis 100. Unde ut redigamus hæc omnia ad proportionem unius census multiplica ea per : 3. minus radice = 11 et venit censu equalis denariis 350. minus radice 112b00. quorum radix quæ est 15. diminuta radice 125. erit res hoc est minor pars, maior vero pars est radix 125. minus 5. Possemus in his aliis modis procedere sed ista quæ diximus sufficiant et scias secundum hanc divisionem 10. divisa esse media et extrema proportione quæ esto sicut 10. ad maiorem partem : ita maior pars ad minorem; quare multiplicabis 10. in minorem partem scilicet in 15. minus radice 125. faciunt equale multiplicationi maioris partes in se : in qua proportione si 10. dividere vis pone maiorem partem in minorem vero 10. diminuta re in qua mulüplica 10. erit 100. diminutis 10. rebus et multiplica rem in se veniet census qui equatur 100. diminutis 10 rebus. Adde ergo utrique parti 10, res et erit census et 10. res equales denariis 100. Âge ergo. in his secundum Algebra.
Divisi 16 in duos et divisi qualibet illarum partium per aliam et multiplicavi quod libet exeuntium in se et super 4, dragmas pone pro maiore parte rem pro numeri 17. minus re et dividatur 17. minus re in rem et veniat numerus «. bd. et ex re divisa in 197.
( 431 ) minus re veniat Ÿ. c. et aggrega multiplicationes ex a. b. in se et ex &. c. in se erunt 4. et quia numerus a. e. divisus est in duo sailicet in a. 4. etin b.e. erit multiplicatio dupli a. b. in D. c. cum quadratis numerum &. b. et b. c. equalis quadrato numeri a. c. sed ex quadratis numerorum a. b. b. c. proveniunt 4. etex duplo a. bin b. c. veniunt 2. quibus additis cum 4. faciunt 5. pro quadrato numeri 4. c. ergo a. c. est radix de 6. Divide ergo eam in duas partes per modum superius demostratum ut ex minore ducta in maiorem veniat 1. et erit minor pars radix r. minus radice < et maior erit radix + r. et radix
=. ergo cum dividitur 17. minus re scilicet minor pars in rem provenit radix + 1. minus radice + in re et venit radix census + 1 minus radice medietatis census quæ equatur denariis 17. minus deinde multiplica radicem unius census et dimidii minus radice medietatis census in se venient census minus radice trium censuum census quæ equantur multiplicationi 17. minus re in se hoc est denariis 144. et uni censui diminutis 24. radicibus. Adde ergo utrique parti 24 res et tolle ab utraque parte censuum et veniet census et 24. res diminuta radice trium censuum census quæ equantur denariis 144. multiplica ergo censuum minus radice trium censuum census in suum binomium hoc est in 12. radicem trium et venient duo census diminuti quare multiplica unum censuum diminuta radice trium censuum census in medietate sui binomii hoc est in Let in radicem de + veniet unus census diminutus
et multiplica 24 res similiter in = in radice de À ve-
niunt 12. reset radix 432. censuum et sic habes ab
una parte 12. res et radix 37. censuum diminuto censu quæ equantur multiplicationi re 144. in = etin
radicem de + hoc est denariis 72. et radici 15552.
Adde ergo censum utique parti et erunt res 2157. et radix 432. censuum quæ equantur censui denariis 72. et radici de 15552. quæ radix est 17. radices 108. dimidia ergo radices 412. et radicem 437. erunt 6. res et radix de 108. quæ multiplica in se veniunt 144. et 17 et radices de 108. de quibus abice numeros quisunt censu scilicet 72. et 17. radices de 108. remanebunt 72. quorum radicem abice ex medietate radicum remanebit 4. et radix de 108. diminuta radice 72. pro quantitate rei scilicet pro majori parte ; reliqua vero pars est 2. et radix de 72. quam etiam partem invenies si ponas minorem partem rem maiocrem vero 12. minus re et dividas 12. minusre per rem venit+ 1. etradix medietatis dragmæ quæ multiplicata in rem veniunt radix census + 1. et radix medietatis census quæ equantur 17. minus re : multiplice hæc omnia in se erunt duo census et radix trium censuum equales 144. et censui diminutis 24. rebus adde ergo utrique parti 2.{. res et tolle cénsum ab utraque parte remanebit radix trium censuum et census 224. res quæ equantur 144. dragmis. Redige hæc omnia ad censum unum et est ut multiplices ea per radicem 9 diminuta medietatis dragmæ et erit census et radix 433. censuum diminutis 12 radicibus equales 12. radicibus de 108. minus 72. dragmis : multiplica ergo medietatem radicem quæ sunt censui scilicet radix de 108. diminutis 6. radicibus in se
( 435 ) erunt 144. Giminutis 12. radicibus de 108. super quæ adde 12. radices de 108. diminutis 92. dragmis remanebunt 72. de quorum radice abice radicem de 108 minus 6. habebis minorem partem radicem de 72. et dragmas 6. diminuta radice de 108. ut superius invenimus.
Divisi 10. in duas partes et divisi quamlibet illarum per aliam et multiplicavi quodlibet exeuntium in se ipsum el minui minus ex malori et remanent 2. dragmæ: pone minorem partem rem et maiorem 10. diminuta re et divide 10. minus re in rem et veniet a. ex re divisa in minus re veniet b. jam scis quia ex a. ducta in D. provenit 1. quare si multiplicatur quadratus numeri a. in quadratum numeri 6. veniet quadratus unitatis scilicet 1. quare ponamus pro numero D. radicem unius census et pro numero a. radicem unius census et duarum dragmarum et multiplica 2. in se venit census et a. in se venit census et 2. dragmeæ. Dimimuto ergo censu scilicet quadrato numeri 2. ex censu et duabus dragmis boc est ex quadrato numeri a. scilcet censum per census et duas dragmas venient census census et duo census qui equantur uni dragmæ : deinde ponamus quadratum c. e. qui sit equalis censui census : quare unumquodque latus ipsius erit census et addamus iineæ 4. e. quæ est census lineam e. L. quæ sit et jaceat e. L. in directo lineæ d. e. et compleatur figura recti-angula g. 4. quæ provenit ex g. e. ine. €. L. hoc est ex censu in..... quare superficies g. h. est 2. census ergo tota superficies €. À. census census et duo census et equan-
tur uni dragmæ quia exe. c. in 4. À. provenit dragma IL. 28
scilicet ex censu in censu et duas dragmas : dividamus e. h. in duo equalia in f. £. et quia ex b. in d. 4. provenit 1.et d. e. equalis est e. d. ergo exe. d. in d. h. provenit 1.-cui si addamus quadratum unitatis e. f. habebitur pro quadrato numeri d. {. super quorum radicem si addideris unitatem . f. scilicet erit totus d. k. radix 2. et una dragma hoc est quadratus numeri a. Cuius radix quæ est numerus a. ducatur in .... veniunt 10. minus re : quare si multiplicaverimus quadratum census in quadratum numeri a. scilicet in radicem 2. dragmarum et in dragmam veniet quadratus 10. minus hoc est 10 dragmæ et census diminutus 20. rebus ; sed ex multiplicatione census in radicem 21. provenit radix duorum censuum census et unus census qui equatur dragmis 100. et censui diminutis 10. rebus. Adde ergo 20. utrique parti et tolle ab utraque parte censum remanebit radix duorum censuum census 220. res quæ equantur 100 dragmis; sed ut religamus hæc omnia ad censum unum multiplica ea per radicem + dragmæ quia cum multiplicemus radicem 2. censuum census in radicem — dragmæ provenit census et cum multiplicamus 20. res in radicem -- provenit radix 700. censuum et cum multiplicatur 100. in radicem -— provenit radix 5000 dragmarum : ergo census et radix 700. censuum equantur radici de 5ooo dragmarum. Utere si vis in hoc suprascripta figura et pone quadratum c. e. censum et superficies g. k. radicem 1200. censuum : quare e. À. erit radix 1200. dragmarum qua divisa in duo equa in /. erit unaquæque quantitatum e. f. f. k. radix So. quare ex ductu quantitatis d. e. in d. k. cum qua-
drato quantitatis e. f- est sicut 4. f. in se : sed ex d. e. in d. k. hoc est ex c. d. in d. À. provenit radix 5000. dragmarum et ex ductu e. . in se proveniunt 90. ergo ex ductu c. f. in se proveniunt radix 5000. et 50 dragmæ : quare numerus d. f. est radix radicis 5000 dragmarum de 50. de qua si auferatur 4, f. scilicet radix de 50. remanebit pro quantitate d. e. quæ est res radix radicis 5000. dragmarum et de 50. diminuta radice 50 dragmarum quæ sunt minor pars residuum quod usque in 10, scilicet 10. et radix 50. diminuta radice radicis quinque milium 250. dragmarum est malor pars quam habebis si pulsaveris eam rem et minorem 10. diminuta re quia cum diviseris 10. minus re in rem veniet radix radicis duarum dragmarum et minus dragmæ quem si multiplicaverimus in se veniet radix duarum dragmarum minus dragma quam etiam si multiplicaveris in censum scilicet in quadratum rei veniet radix duorum censuum census diminuto censu quæ eéquatur 100. et censui diminutis 20 rebus : adde ergo utrique parti 20. res et tolle ab utraque parte censum veniet 20. res et radix duorum censuum census diminutis duobus censibus. Redige hæc ad censum unum et est ut multiplices ea per 1. et radicem = dragmæ qua cum multiplicatur radix duorum censuum census diminutis duobus censibus in medietate sui binomii scilicet in 1. et in radicem : dragmæ veniet unus census diminutus et cum mulüplicentur 20. res in r. et in radicem +; Veniunt 20. res et radix 700. censuum et cum multiplicatur 100. in 12. in radicem = venient 100 et radix quinque milium. Et sic 20. res et radix 700. censuum dimi-
nuto censu equantur 100. et radici 5000 dragmarum.
Adde ergo censum utrique parti et erunt 20. res et
radix 200. censuum equales censui 2100. dragmis et radici 5000. dragmarum. Dimidia ergo radices et age in eis secundum Algebra et invenies rem scilicet maiorem partem esse 10. et radix 50. diminuta radice radicis 2000. et dragmarum 50. ut superius diximus. Divisi 10 in duas partes et per unamquamque ipsarum divisi 10. et quæ ex divisione exierunt fuerunt 5. dragmæ. Notandum est primum quod quando aliquis numerus dividitur in duas partes et per unamquamque ipsarum dividitur ipse numerus quidquid aggregatur ex duabus divisionibus est 12 plus eo quod aggregatur ex duabus divisionibus uniuscuiusque parts in aliam exemplum dividatur numerus a. in partes et dividatur c. per L. et proveniet d. e. et b. per c. et proveniat e. f. dico quod si dividatur a. per à. c. egredientur inde 12. plus numero d. f. quod sic probatur quia 2. c. sunt equales numeri a. e. cum dividitur a. per à. sicut cum dividuntur numeri b. c. per à. sed cum dividitur 4. per 4. provenit 1. et cum dividetur c. per b. provenit d. e. ergo cum dividantur numeri 4. e. hoc est numerus a. per b. provenit unus plus eo quod provenit ex c. diviso per à. Item cum dividitur a. per e. est sicut cum dividuntur numeri c. b. per c. sed cum dividitur c. per e. provenit r. et cum dividitur à. per c. provenit e. f. ergo cum dividuntur numeri c. b. per c. provenit 1. plus eo quod provenit ex divisione ex à. in c. quare cum dividitur a. per numeros . c, veniunt 2. plus eo quod provenit ex duabus divisionibus quæ fiunt exe. per
( 457) b. et ex b. per c. Ego quia exemplum ponitur 10. dividere in duas partes et per unamquamque dividere 10. et ipsis divisionibus veniunt 5. tolle 2. de 5. remanent 3. et divisi 10. in duas partes et divisi illam per istam et istam per illam et proveniunt 3 dragmæ. Operare seeundum quod dicta sunt superius et habebis quæsitum. Utere in hoc via alia quæ est ut dividas 10. in duas partes et ponas minorem partem rem >. minus re, alha vero 5. et rem et multiplica unam in aliam venient 55. diminuto censu quæ duc in 3. veniunt 25. et diminutis tribus censibus et multiplica unamquamque partium in se et provenient 50. et duo census quæ equantur dragmis 75. diminutis tribus censibus. Adde ergo utrique parti 3. census et tolle ab utraque parte 50. census equales 25 dragmis : divide ergo 25 dragmas per 5. venient 5. dragmæ pro quantutate spi : quare radix earum est res. erg0 minor pars erit 5. diminuta radice 5. dragmarum et maior erit >. et radix de 5. Generaliter divide 3. prædicta in duas partes quarum una multiplica per aliam faciat 1. erit minor pars 2 1. minus radice À 1. et maior erit + 1. et radix de + 1. et ex hoc manifestum est quia cum dividatur 10 in duas partes et dividetur maior earum per minorem tunc provenil + 1. at radix = dragmæ quare multiplica exeuntem per dividentem et veniet inde divisus numerus : ergo si multiplicaveris £ r. et radicem de + 1. per 5. minus
re proveniet numerus divisus. Sed ex ducta + 1. et
radix + 1. in 5. minus re veniunt +7. et radix de 231.
diminuta re = 1. et radix census + 1. equantur drag-
mis 2. et rei, quare adde utrique parti rem + 1. et
radicem unius census et + census et tolle ab utraque parte 5. remanebit res + 2. et radix census + 1. quare equantur dragmis + 2. et radici de 21. multiplica ergo unamquamque islarum duarum partium in se et erunt census + 7. et radix + II. Census census quæ equantur dragmis + 37. et 5. radicibus de + 31. quæ sunt una radix de + 781. Reduc ergo omnia hæc ad unum censum et est ut multiplices omnia quæ habes per dragmurum diminuta radice + venit census equalis dragmis 5. ergo res est radix 5. dragmarum quæ addita et diminuta ad 5: venient pro minori parte 5. minus radice 5. dragmarum et alia erit 5. et radix 5. dragmarum ut superius diximus; et si vis facere quoque multiplicatis + 37. et radix 781 per + dragmarum diminuta radice = dragmarum multiplica 2 39 per = veniunt + r1. addita et ER ; radicem de : per ne des apcipers — de 781. veniet — 39. diminuta ve radix ++ pars ex-
tractis de + 11. remanent 5. pro summa PA multi-
plicationis. Nam multiplicatio de = in radicem de +781. a equatur multiplicationi radices = diminutæ — —. Possumus etiam in his et in PRETES uti via alia et est ut dividas 10. in duas partes et ponas minorem partem 5. minus re et malorem vero quinque et re et dividantur per utramque partem et venient 5. ut dictum est. Multiplica secundum hnnc modum 5. minus in 5. et rem venient 25. diminuta censu,
quæ multiplica per 5. que venerunt ex duabus divi-
sionibus prædictis in diminutis 5. censibus quæ
equantur 100. scilicet multiplicationi de 10. in se ut
inferius demostrabo. Sed adde primum utrique parti
5. census et tolle ab utraque parte 100. remanebit 5. census equales 25 dragmis, quare census est 5. dragmæ ut dictum est. Adde deinceps ut supra et invenies propositum. Âdiaceant duo numeri 4. b. et à. et c. et dividatur &. c. per à. b. et proveniat d. e. et dividatur etiam a. c. per b. c. venient e. f. dico quod multiplicatio a. 4. in à. c. ducta in d. f. est sicut multiplicatio a. c. in se quod sic probatur : quoniam cum dividitur a. c. per a. b. provenit d. e. si multipheetur d. e. per a. b. provenit numerus a. c. communis adiaceat numerus b. c. erit multiplicatio 4. e. in a. b. ductu im 2. c. sicut multiplicatio a. c. in numerum b. c. Rursus cum dividitur numerus &. c. per numerum b. c. provenit numerus e. f. ergo cum multiplicetur e. f. in numerum #. c. provenit numerus 4. b. et erit muluplicatio e. f. in . c. ducta in à. b. sicut multiplicatio a. c. in a. b. ergo multiplicatio 4. c. communis adiaceat numerus 4. e. in a. b. ducta in 4. e. cum multiplicatione e. f. in a. b. ductu in à. b. est sicut multiplicatio a. c. in b. c. cum multiplicatione a. c. in a. b. sunt sicut multiplicatio a. c. in se et multiplicationes d. e. et e. f. in a. b. ductæ in à. c. sunt sicut multiplicatio d. f. in a. b. ducta in 4. c. sed multiplicatio d. f. in a. b. ducta in b. c. est sicut multiplicatio a. à. in b. c. ducta in d. f. ergo multiplicatio numeri a. D. in b. c. ducta in d. f. est sicut multiplicatio 4. c. in se et hoc est quod volui demostrare. Unde si a. c. sit 10. et ipsa 10. sint divisi in partes a. b. et b. c. et ex divisione 10. in 4. b. et in à. c. proveniunt 5. quæ sint numerus €. f. multiplicatio a. b, scilicet 5. minus re in à. c. hoc est in 5.
(46 } Le et reducta in 5. scilicet in d. f. sicut multiplicatio a. c. hoc est ex 10. in se sicut operati superius operati fuimus.
De quodam avere minui 12. radices eius et 4. dragmas et multiplicavi residuum in se ipsum et provenit ottuplum ipsius averis. pone pro Ipso avere censum qui si quadratus a. c. cuius unumquodque latus fit radix illius census et auferatur ab ipso superficies a. e. quæ sit dragmæ, et superficie f. c. auferatur superficies f. g. quæ sit 4. radices census &. c. remanebit superficies 2. c. pro residuo quod remanet ex prædicto avere ablatis ab ipsa et radice eius et 4. dragmas scilicet superficies a. g. ergo communi ponitur quod ex multiplicatione residui 4. c. in se proveniat ottuplum census erit superficies 2. c. quod est residuum prædictum radix 8. censuum sed superficies f. e. provenit ex f. g. ing. c. et f. e. est res cum sit equalis lateri a. b. quare numerus g. c. est radix 8 dragmarum, quia ex ducta re in radicem 8. prove-
nit radix 8. censuum scilicet superficies f. 2. est radix
715, census a. e. et provenitexe. f. in ©. g. ete. f. est res necessario sequilur numerum €. g. esse 12. quare €. C. est 12. et radix 8. dragmarum. Item superficies a. e. est 4. et provenit ex 2. e. in b. a. hoc est ex b. e.in B. c. si dividatur e. c. in duo equa ad punetum £. erit multiphicatio 2. e. in #. c. cum quadrato numeri e. 1. sicut multiplicatio à. £. in se est enim e. medietas de 2 et radicis 8 hoc est 1. et radix 2. dragmarum, quo binomio in se multiplicatio veniunt 3. et radix 8. quibus additis cum 4 quæ proveniunt ex 4. e. in b. c. faciunt 7. et radicem 8 quod quadrato numeri b. 1. quare À. 1. est radix 7. et radicis 8. dragmarum cui si addatur numerus £. c. qui est 1. et radix 2 dragmarum erit tota D. e. quæ est radix census a. c. radix 7. dragmarum et radicis 8 et una dragma et radix duarum dragmarum. Unde ut habeamus quadratum a. c. multiplica numerum #. c. in se cum sit radix census à. c. multiplicatio quidem 2. c. in se sicfit qua sic fit quia numerus 6. c. divisus in duo scilicet in b. ë. et £. c. erunt quadrati numerorum . £. et £. e. cum duplo multiplicationis z. c. in D. 1. sicut b. c. in se. Sed quadratus numeri D. ë. est 7. et radix 8 dragmarum quibus in simul junctis faciunt 10. et duas radices 8. quæ sunt una radix 32. et ex multiplicaüone z. c. in à. t, et ex radice trium et radices 8 in radicem 7. et radicis 8. provenit radix 29. et radix radicis 10. radicum 8. cuius radicis duplum est radix quadrupli scilicet ex 116. et radicis 40. radicum de 8. nam 40. radices. 8 sunt una radix 12800 dragmarum et sic processu a. c. hoc est pro quæsito avere habetur 10. et una radix de 32. et una radix de 116
( 442 } et radicis 1212800. quæ omnia reducta ad numerum sunt inter + 40 et = 40.
Est quoddam avere cuius 2. et radices et radix medietatis eius et radix tertiæ omni sunt equales censui pone pro ipso avere censuum et quia duæ res et radix medietatis census et radix tertiæ census equantur censui fac quadratum suprascriptum a. €. censum et duæ radicesipsius census sint superficies d. g. et radix medietatis census estosuperficies e. 2. et radix tertiæ census fit superficies 2. f. quare c. g. erit 27. e. 2. eritradix} dragmæ et 4. c. erit radix + dragmæ et sic tota b. c.quæ est res erit 12 et radix + et radix + multiplica ergo hæc in se et venient = 4. et radix 8. et radix + 5. et radix + unius dragmæ pro quantitate census hoc est quæsiti averis et si vis scire quomodo multiplicantur 2. etradix +et radix in se multiplica primum 2 in se et radicem
medietatis dragmæ in se et radicem tertiæ dragmæ in se et venient = — hoc est =. deinde multiplica duplum de 2 in radicem -= et veniet radix 8. et multiplica iterum duplum de 12 in radicem =et veniet radix de + 5. pos hæc multiplica radicem + in radicem : et veniet radix £ dragmæ quam radicem duplica
et veniet radix 2 dragmæ.
( 445 ) Est quodam avere cuius 2. radices et radix medietatis eius et radix tertiæ eius sunt 20. dragmæ ; pone pro ipso avere censum et dic quod duæ radices
census et radix = census et radix + census equantur 20. dragmis et tolle ab utraque parte duas res et erunt 20. dragmæ minus duobus rebus equales radici medietatis census et radici tertiæ census multiplica quidem 20. diminutis 2. rebus in se erunt 400. et 4 census diminutis 80. rebus quæ equantur multiplicationi radicem medietatis census et tertiæ census, quæ multiplicatio surgit in ? census et in radicem £ census. Adde ergo utrique parti 80 res et tolle utraque parte + census et radicem + census census erunt 400 dragmæ et census + 3 minus radice ? census census quæ equantur 80 rebus. Reduc ergo hæc omnia ad unuim censum
etestut multiplices ea per + dragmas et per radicem
122. <= in quibus multiplicatis 80 rebus veniunt.... Et si dixiris de quodam avere minui duas radices eius et radicem medietatis eius et radicem tertiæ eius et remanserat 20. dragmæ, pone pro 1psO avere censuum qui sit quadratus a. 9. et minue ab
ipso duas radices eius et radicem medietatis eius et
radicem tertiam quæ sit superficies a. c. ete. f. et
h. i. remanebit ex toto quadrato superficies 4. g. quæ est 20. manifestum est enim quod numerus D. c. est 20 et c. f. est radix = dragmæ quare totus numerus b. i. est 2. et radix = et radix + et numerus £. g. e. ignotus scilicet ex #. &. quæque res in £. 2. provene runt 20. scilicet D. #: equalis est numero 5. Æ. ergo ex D.g. in £. g. veniunt 20. dividamus itaque numerum Ÿ. &. in duo equalia quæ sint Ÿ. d.i.erit ergo multiplicatio b. g. in £. #. cum quadrato numeri &. d. sicut quadratus numeri g. d. ergo numerus g. d. erit notus , cui si addatur numerus D. d. qui est notus cum sit medietas de 2. et radices = et erit totus numerus g. b. qui est res notus quem si multiplicaverimus in se erit quadratus a. g. notus scilicet avere quæsitum. Et si dicemus tibi adde super quoddam avere 4. radices est et radicem medietates eius et radicem = elus et erunt 10 dragmæ quantus est census ; pone pro ipso avere censum qui sit quadratus à@. c. et adiungatur 4. radices eius et radix medietatis eius quæ sunt superficies d. e. quare numerus c. e. erit 4. et radix ? et radix + in ca quæ præmissa sunt , et quia tota superficies a. e. ponitur esse 10. et proveniant ex a. bin b. ce. hoc est b. e. in b. e. si addamus ad 10. quadratum medietatis numeri c.e. erit totus numerus . f. notus de quo si auferamus numerum f. €. remanebit numerus Ÿ. c. notus et quare b. c. est res si dicamus eam in se venit quadratus &. c. hoc est quæsitum avere notum.— Et si dicamus tibi super quodam avere addidi radicem eius et radicem medietatis eius et hoc totum multiplicam in se et provenit
quintuplum ipsius averis pone pro ipso avere censum
NT
( 445 ) a. g. et adiungatur ei superficies rectiangula d. e. quæ sit una radix ex quadrato a. g#. et radix medietatis eius, et erit numerus ©. e. c. et radix medietatis dragmæ numerus 9. d. sitres; nam ex multiplicatione rei in £. et in radicem medietatis dragmæ provenit radix una census et radix una census et radix medietatis eius et quia proponitur ex multiplicato numero a. e. in se provenit quincuplum quadrati a. g. erit numerus &. e. radix quinque censuum et provenit ex ducto a. b. in 6. e. et a. b. est res quare D. e. est radix 5. dragmarum quia cum multiplicatur res in radicem 5. dragmarum provenit radix 5. censuum hoc est numerus &. e. Unde si ex D. e. auferatur numerus g. e. quæ est 1. radix medietatis dragmæ remanebit pro quantitate rei, hoc est pro numero . 2. radix dragmarum diminuta dragmæ et radice medietatis dragmæ quod si multiplicaverimus in se veniunt dragmæ = 6. etradix duarum dragmarum diminuta radice 20. etradicem 10. dragmarum pro quantitate CEnsUs a. 2. hoc est pro quæsito avere. [tem super quodam avere addidi radicem eius et radicem medietatis eius et hoc totum multiplicavi in se et provenit 20 dragmæ. Intellige iterum in suprascripta figura quadratum @. g. esse censum et superficies d. e. radicem et census et radice medietatis eius et quia proponilur quod est coniuncto prædictorum multiplicato in se proveniunt 20. erit superficies a. e. radix 20. dragmarum et provenit ex re a. à. ducta in numerum 9. . e. scilicet ex a. b.in b. e. provenit census a. g. ct superficies 4. e. quæ est radix census et radix medietatis eius et sit
census et radix et res medietatis census equantur ra-
dici 20. dragmarum et est per ea quæ diximus numerus g- d. i. et radix medietatis dragmæ quare medietas
ipsorum quæ sit g. f. erit et radix... dragmæ et quia ex a. D. in b. e. hoc est ex b. g. in b.e. provenit radix 20. si addatur ei multiplicatio ex g. f. in se quæ est + et radix... dragmæ veniet radix 20. et radix ... dragmæ et usuper + unius dragmæ pro quadrato numeri b. f. quare si ex radice ipsorum auferatur numerus D. f. quæ est medietas dragmæ et radix... dragmæ remanebit pro numero D. g. scilicet pro re radix radicis 20. et radix... dragmæ et ex + dragmæ
CA ne CU
diminuta medietate dragmæ et radice . . . dragmæ pro quantitate rei 4. g. quæ est radix numeri quæsiti averis. Item super quodam avere addidi radicem medie-
tatis eius et multiplicavi aggregatum in se et provenit quadratus eius fit in suprascripta figura quadratus a.g. census et superficies d. e. radix + census et quia proponitur quod hæc in se multiplicata faciunt quadruplum census erit superficies a. e. radix 4. censuumet provenit ex re a. b. in numerum 6. ergo numerus 6. est radix dragmarum et sic 4. e. est 2. de quibus si tollatur g.e. qui est radix = dragmæ remanebit pro re d. g. 2..minus radice 2. dragmarum pro quæsito avere. Muluplicavi quoddam avere et radicem in avere et radicem 2. dragmarum et provenerunt 20. dragmæ pone pro ipso avere rem et multiplica rem et radicem 3. per rem et radicem 2. et veniet census 26. dragmæ et radix 12. censuum et radix 8. censuum quæ equantur 20. dragmis : tolle ab utraque parte sex remanebunt census et radix 12. censuum et radix 8. censuum quem equantur 14. dragmis, multiplica ergo medietatem radicum in se hoc est radicem 3. et radicem 2. dragmarum venient 5. dragmæ et radix 24. dragmarum quæ adde cum 14. erunt 10. et radix de 24. de quorum radice abice medietatem radicum scilicet radicum de 3. et radicem de 2. remanebit radix de 19. et radicis 24. dimiuuta radice 3. et radice 2. dragmarum pro quantitate rei hoc est quæsiti averis.
Cuidam averi addidi 2. dragmas et multiplicavi aggregatum in radicem tripli ipsius averis et provenit decuplum ipsius; pone pro ipso avere rem et adde ei 7. et multiplica aggregatum per radicem trium rerum et veuient 10. res hoc est decuplum rei : multiplica ergo 10. res in se venient 100. census et mul-
tplica radicem $. iterum in se venient 3. res et multiplica rem et 7. dragmas in se venient 1. census et 14. res et dragmæ 49. quæ multiplica per 3. res, venient 3. cub: 42. census et res 147. quæ equantur censibus 100. Abice ab utraque parte 42. census remanebunt 3. cubi 249. res quæ equantur censibus 58. divide hæc homnia per rem et venient 3. census et dragmæ 147. quæ cquantur 58. rebus ; reduc ergo hæc omnia ad censum unum hoc est divide ea per 3. exibi census et dragmæ 49. equales rebus + 19. dimidia ergo radices erunt +9. quæ-muitiplica in se erunt 4 92. de quibus abice 49. remanent + 44. quorum radice quæ est + 6. abice de medietate radicem remanebit 3 pro quantitate rei scilicet pro avere quæsito.
Super unaquaque duarum inequalium quantitatem quarum una est triplum alterius addidi radicum eius et multüiplicavi unum ex aggregatis in aliud et provenit decuplum maioris quantitatis ; pone pro minori quantitate rem et pro maiori 3. res et adde uniquique et earum radicem suam et multiplica unum per alium hoc est rem et radicem rei in 3. res et radicem 3. reruim, et veniunt 3. census et radix trium censuum et radix concuborum et radix 9. cuborum et radix 3. cuborum quia ex multiplicatione rei in 3. res veniunt 3. census et ex radice rei in radicem 3. rerum provenit radix 3. censum et ex re in radicem trium rerum provenit radix 3. cuborum et ex multiplicatione trium rerum in radicem rei provenit radix concuborum et hæ comnia equantur decuplo maioris quantitatis hoc est 30. rebus tolle itaque ab utraque parte
3. census et radicem 3. censuum remanebit 30. res diminutis 5. censibus et diminuta radice 3. censuum equales radici concuborum. Multiplicata quidem 30. res diminutis 3. censibus et diminuta radice 3. censuum in se et provenient 903. census et concessus census et radix 108. cénsuum census diminutis 180. cubis et diminuta radice 10800. censuum census quæ equantur maltiplicationi radieum 3: concuborum in se : nam ex multiplicatione radicis concuborum in se veniunt concubi et ex ducta radice 3. cuborum in se veniunt 3. cubi et sic habentur 12. cubi et ex duplo multiplicationis radicis concuborum in radicem 3. cuborum provenit radix 108. cuborum cubique radix est sicut radix 108. censuum census census. Tolle ab utraque parte radicem 108. censuum census census et adde utrique parti 180. cubos veniunt 192. cubi qui equantur censibus census 2903. censibus diminuta radice 10800. censuum census : divide hæc omnia per censum et erit 9. census 2903. dragmæ diminuta radice 10890. dragmarum quæ equantur rebus 192. quia cum dividitur cubus per censum provenit res divide hæc omnia per 9. utreducas ea ad unum censum et erit census et dragmæ À 100 diminuta radice dragmarum + 133. quare equantur = 71. Age secumdum altera in hocet est ut multiplices medietatem radicum in se et erunt+ 113. de quibus abice diminuta radice + 133. remanebit # +3. et radix dragmarum + 133. quorum radicem abice de Z 10. remanebit + 10. diminuta radice dragmarum : 13. et racis+ 133. pro quautitate rei scilicet minoris quantitatis.
. De quodam avere accipe radicem et radicem radicis
( 450 ) erus et radicem 2. radicum eius et radicem quincupli eius et bæc omnia faciunt 10. dragmas : pone pro ipso avere censum et acceptam radicem et radicem radicis eius et radicem 2. radicum eius et ra dicem quincupli eius et erit res et radix rei et radix 2. rerum et radix 5. censuum equales 10. dragmis. Proice ab utraque parte radicem 5. censuum et erit 10. diminuta re et diminulta radice 5. censuum equales radici rei et radici 2. rerum mulüiplica ergo 10. minus re et diminuta radice 5. censuum in se et erunt 100. et 6. census et radix 20. censuum census diminutis 0. rebus et diminuta radice 7000. censuum equales radici rei et radici 2. rerum ductis in se quæ sunt 5. res et radix 8. censuum. Adde ergo utrique parti 20. res et radicem 2000. censuum et erunt 100. dragmæ 6. census et radix 20. censuum census equales 23. rebus et radici 8. censuum et radici 2000. censuum. Reduc ergo totum quod habes ad censum et est quod ducas ipsum in + dragmæ diminuta radice + dragmæ et duc 6. census et radicem 20. censuum census in <. diminuta radice À ? dragmæ et provenit census et duc 100. dragmas in + diminuta radice £ + dragmæ et pro-
- 781. dragmarum et duc
venit = 37. diminuta radice
