II

numero c. À. cum adduntur ei radices eius quæ sunt in numero €. »#. In numero veniente ex multiplicatione radicis unius in radicem alterius et hoc volui demostrare postquam hæc demostrata sunt : dividam 10. in duas partes et ponam minorem partem censum, maiorem vero 70. minus censu et addam super minorem partem 2. radices eius et erit census 22. res quæ equantur multiplicationi radicis minoris partis in radicem maioris hoc est multiplicationis radicis census in radicem 10. minus censu quæ multiplicatio est radix 10. censuum diminuto censu census et hæc est radix differentiæ quæ est inter censum census 210. census ; deinde multiplicemus censum 22. res in se venient census census 24. cubi 2/4. census et multiplicemus radicem 10. censuum minus censu census qui equantur censui census in se vemient inde 10. census minus censu Census qui equantur Censui Census 24. cubis, 24. censibus. Âge itaque in eis secundum Algebra et erit 2. census census 24. cubi equales 6. censibus : dimidia ergothæc ommia et erit census census 22. cubi equales 3. censibus ; divide hæc omnia per censum et exibit census 22. res equales 3. dragmis. Âge ergo in his secundum Algebra et invenies rem esse I. quæ multiplica in se venient 7. pro quantitate census et quia nos posurmus minorem partem censuum et census est 1. ergo minor pars est 1. reliquum quod est usque in 10. scilicet 9. est maior pars. Et si volumus uti figura suprascripta possumus alio modo procedere et est ut ponas quadratum a. g. maiorem partem et quadratum €. A. minorem et abscindatur a maiort &. 2. et radices seiu

(467 ) quæ sint superficies a. ©. quare d, c. erit 22. et quia h. e. equalis est c. d. erit similiter 4. e. 0. quare superficies e. 7. continet 2. radices quadrati c. 4. ergo cum adduntur super quadratum c. . et radices eius scilicet superficies 1%». e. provenit inde superficies e. e. et cum tolluntur ex quadrato 4. g. radicis eius scilicet superficies a. c. remanet superficies £. g. quæ est equalis superficiei c. e. sunt enim super equales bases et iisdem equidistantibus; his itaque itellectis faciam quadratum c. . censum et quadratum a. S. 10. minus censu, et addam super censuum c. À. superficies d. m. et m. e. quæ sunt 4. radices eius cum unaquaque linearum d. c. ete. À. sit 2. super quæ. omnia addam quadratum /. 4. quod est 4. dragmæ cum unaquaque linearum /. 7». et mn. L. sit 2. est enim J: inequalis d, c. et mn. l. rectæ L. e. et sit totum quadratum d. e. constat ex cessu c. 4. et ex 4. radicibus eius et ex 4. dragmis et est quadratum d. e. equalis quadrato a. g. scilicet 10. dragmis minus censu érgo census, 24 res 24. dragmæ equantur 10. dragmis minus censu, Adde ergo utrique parti censuum et tolle ab utraque parte 4. dragmas erunt 2. census 24. res equales 6. dragmis : quare dimidium eorum scilicet census 72. radices equatur 3. dragmis; est enim superficies c. e. census 72. radices eius : ergo superficies c. e. 3. dragmæ et provenit ex c. g. in g. e. hoc est ex g. À. in g.e. ergo ex g. L. in g. e. veniunt 3. quibus si addatur quadratum numeri 4. r. quod est 1. habebuntur 4. pro quadrato numeri g. n. ergo g. n. est 2. de quibus si tollatur 2. 7. remanebit 9. 4. x. quo in se multiplicato reddit 1. pro censu c. À. hoc

est pro minori parte quo extracto de 10, remanent et pro maiori parte.

Item divisi ro. in duas partes et divisi 10. perunamquamque ipsarum partium et multiplicavi unum exeuntium in alium et provenerunt > 6. Notandum est primum quod quando et aliquo numero fiunt partes et per unamquamque ipsarum partium dividitur esse numerus erit multiplicatio unius exeuntium in alium

sicut aggregatio earundem, ad quod demostrandum dividatur aliquis numerus a. in duas partes quæ sint b. g. et dividatur a. per D. et veniet e. et a. per g. venient d. dico quod multiplicatio d. in e. est sicut aggregatio d. cum e. quod sic probatur cum dividitur * a. per b. provenit e. ergo cum multiplicetur b. per e. provenit a. similiter cum dividitur a. per g. provenit d. cum multiplicatur g. per d. provenit a. multiplicatio quidem per ex à. in e. est sicut multiplicatio g. in a. quare sicut à. ad g. ita a. ad e. Coniunetum ergo sicut d. et g. ad g. ita d. et e. ad d. e. matanti ergo sicut d.et e. ad b. et g. ita e. ad g. sunt enim numeri 2. g. equales numero a. ergo est sicut d. ete. ad a. ita e. ad g. sed sicut e. ad g.ita ductum ex d. in e.ad ductum ex d. in 9 , scilicet ex ducto 4. in g. provenit à. ergo est de e. ad g. ita productum ex d. in e. est ad a. fuit etiam sicut e. ad g. ita coniunctum ex 4.

( 469 ) et e. ad a. ergo comiunctum ex d. e. ad a. est sicut ductum ex d. in e. ad à. quare equalis ut multiplicatio d, in e, coniuncto eorumdem et hoc volui demostrare. Possunt enim hæc aliter imvestigari si immemor non fuerit de his quæ superius demostrata sunt videlicet cum omnium duorum numerorum unusquisque dividatur per alium et multiplicetur unum ex euntibus in alium quod inde semper provenit etiam et quando aliquis numerus divisus fuerit in duas partes et dividatur ipse numerus per unamillarum duarum partium quod id quod provenit ex divisione addiäit semper super id quod provenit ex divisione alterius partis in 1 psam partem et hæc ita surnt ; ponamus aliquem nu-merum &, divisum in partes b. c. et dividatur o. per b. et veniet res et dividatur a. per à. et veniet 1. plus et dividatur b. per c. et veniet denarï et a. per c. et venient 1, plus ergo cum dividitur a. per b. provenit res et dragmæ et cum dividitur a. per c. provenit denariis et 1. dico quod multiplicatio rei et dragmæ per denarium et dragmam ut equalis congregationi eorumdem. Verbi gratio ex aggregatione quidem eorum proveniunt 2. et res et denarii quæ etiam proveniunt ea mulüplicatione unius ipsarum partium in alium quia cum dividitur dragmæ in dragmam provenit r. et ex re in denarium provenit 1. et sic habes 2. et ex ducto 1. quod est cum denariis in rem provenit res similiter ex ducto r. quod est cum re in denarium et sic habes 2. et rem et denarium pro multiplicatione rei et dragmæ in denarium et dragmam sicuti habuisti per congregationem eorum et postquam hæc manifesta sunt et apta dicemus : divisi 10. in duas partes et per unam-

(470 ) quamque ipsarum divisi 10. et provenerunt + 6. Âge in his secundum quod in consimili quæstione superius dicta sunt et invenies vel pone pro una partium 2. minus re et pro alia 8. et rem et multiplica unam

ipsarum in aliam et illud totum per = 8. et quod

provenerit oppone cum 100. quæ proveniunt ex ducto 10. in se. Âge secundum algebra et invenies rem esse nihil quare una ipsarum duarum partium erit 2. et alia 8. Et si posuerimus unam illarum duarum partium 2. et rem aliam 8 minus re et multiplicabimus 2. et rem in 8. minus re et iilud totum ducemus per + 6. quod provenerit erit equale 100. dragmis. Unde cum egerimus secundum Algebram in his inveniemus rem esse 6. quibus additis cum 2. et extractis de 8. veniunt 2. pro una partium 28. per alia. Et si dicemus feci duas partes de 10. et per unamquamque ipsarum divisi 20. ét provenerunt +12. quia 10. sunt de 20. accipe + de? 12. erunt +6. quia in que proportione sunt 10. ad 20. in eadem est numerus qui provenit quando dividietur 10. in duas partes et dividantur 10. per unamquamque ipsarum duarum partium ad numerum qui provenit ex divisione 20. in easdem partes ut inferius demostrabo : quare dic divisi 10. in duas partes et divisi 10. per unamquamque ipsarum et provenerunt 46. Age in his ut supra dictum est et invenies unam partem de 10. esse 2. aham 8. et ut demosiremus quæ promisi in hac quæsione : sint duo numeri a. b. et dividatur «. in duas partes quæ sint c. d, et dividatur a. per €. vemient e. et dividatur a. per d. veniet f. et dividatur &. per c. veniat g. et dividatur 4. per d. veniat . dico quod est

471 ) sieut &. ad D. ita g. f. ad numerus 9. 4. quod sic probatur quia cum dividatur a. per c. provenit e. ergo ex c: in.e. provenit a. similiter cum dividatur &. per c. provenit g. ergo ex c. in g. proveuit À. scilicet exc. in e. provenit a. quare est sicut a. ad &. itae. ad g. similiter quia cum numeri /. À. multiplicantur per 4. faciunt numerus a. D. quare est sicut a. ad b. ita f. ad 2. fuerit enim sicut a. ad b. ita e. ad g. ergo est sicut 4. ad 4. ita numeri e. f: ad numeros ÿ. A. Ünde si a. proponamus 10. et 4. 20. et dividantur 10. in duas partes et unamquamque ipsarum dividantur 10. et veniant numeri e. /, et dividantur 20. per easdem partes de 10. et veniant numeri g. L. qui sunt

+17. ut propositum fuit erit itaque ut demostratum est sicut a. ad à. ita e. f. ad g. L. scilicet ad + 12 : sed a. ex b. est medietas ; quare numeri e. f. ex numeris g. h. scilicet ex + 17. sunt+ scilicet + 6. ut prædixi. Et si numerus 4. esset plus vel minus de ro. semper itaque proportione essent 10. ad ipsum numerum in eadem essent numeri e. f. ad numeros 9. k. Unde potes secundum hunc nodum in omnibus similibus quæstionibus procedere. Sed si vis sine inventione numerorum e. f. ininventione duarum partium de ro. aliter procedere ponamus iterum numeros a. b. et ex a fiant 2. partes quæ sint 9. d. in quibus dividamus numeros a. b. et venient numeri e. f. et g. k. ut supra dico quod multiplicatio g. in d. producta in summam minorem g. k. est sicut multipheatio a. in D. quod sic probatur quia ut dictum est cum multiplicatur c. in g. provenit b. si addicerimus numerum 4. in mulüi-

plicatione erit multiplicatio ç. in sg. scilicet hoc est

( 472 ) c. in d, ducta in g. sicut multiplicatio d. in b. Item quia cum dividitur Ÿ. per d. provenit À. ergo si multiplicetur 4. per À. provenit à. Unde si communem addiderimus numerum c. erit multiplicatio d. in 2. ducta in c. hoc est multiplicatio c. in 4. ducta in b. sicut multiplicatio c. in 2. fuerit etiam multiplicatio e. in d. ducta in g. sicut d. in b. ergo multiplicatio ein d. ducta in coniunctum ex numeris £. À. est sicut id quod provenit ex c. in b. et ex d. in b. scilicet numeri c. d.sunt sicut a. ergo multiplicatio c. in 4. ducta in summam numerorum g. L. est sicut a. in à. et hoc volui demostrare. Unde ponamus a. 10. et D. 20. et dividantur 10. in duas partes quæ sint c. d. in quibus cum dividuntur 20. proveniunt + 2. qui sunt numeri g. h. et ponamus numerum c. rem quare numerus d. erit 10. diminuta re et multiplicemus c. per d. scilicet rem in 10. minus re venient 10. res diminuto censu quibus ductis in + 12 scilicet in numeros s. À. erit id quod provenit equale 20. dragmis, scilicet multiplicationi numeri a. in numerum #. hoc est de 10. in 20. oppone ergo in his et restaura secundum Algebra et invenies unam partem esse 2, et aliam 8. vel pone unam partem de 1015. et rem et aliam 5. mious re et multiplica unam earum in aliam erunt 25minus censu quæ duc in + 12 et habebis similiter equale 200 dragmis. Et si dicemus de 10. feci duas partes et per unamquamque partium divisi 20. et multiplicavi unum exeuntium numerorum in alium et proveniunt 25, pone iterum numeros a. b. et ex a. fiant 2. partes quæ sunt c. d. et per unamquamque ipsarum dividantur a. et D. et proveniant numeri €. f.

(47 ) etg. k. Jam scis per ea quæ dicta sunt quod est sicut b. ad a. ita numeros £. À. ad numeros e. f. Unde si D. duplus est ex a. dupli sunt g. . exe. f. et est etiam sicut a ad à. ita e. ad g. et f. k. Unde si dupli sunt g. h.ex e. f. duplusest g. ex e. et À. ex f. multiplicatio ergo 2. in À. erit quadrupla multiplicationis e. in f. et si tripli sunt numeri g. 4. ex f. erit multiplicatio g. in À. nonupla multiplicationis e. in f. et si umeri g. h. medietas fuerint numerorum e. f. erit multiplicatio g. in À. quarta pars multiplicationis e. in f. et sic intelligas in quolibet casu. Unde si ponamus 2. 20. et 4. 10 erunt numeri g. dupli numerorum e. f. quare ex g. in à. provenit quadruplum numeri venientis ex e. in f. scilicet ex g. in D. propos'tum est venire 25. quare quarta eorum pars scilicet = 6. veniet ex e. in f. Demostratum est enim quod multiplicatioe. in f. est sicut aggregatio e. cum f. ergo numerie. f. sicut ; 6. Unde revertere ad questionem et dic ex 10. feci duas pertes et per unamquamque divisi ro. et provenerunt = 6. Age post hæc secundum quod dictum est superius et invenies. ÂAliter aiaceant numeri præscripti ordine eodem et multiplicetur c. im d. et veniat £. ex g. im 4. veniat 4. dico quod multiplicatio #. in /.. est sicut multiplicatia 2. in se et erit 0. medius in proportione inter 4. et /. et sic probatur quia cum #. dividitur per c. provenit g. et si multiplicatur c. in g. provenit b. Communiter addatur numerus d. erit multiplicatio c.in g. ducta in 4. sicut d. in b. scilicet multiplicatio c. in g. ducta in d. est sicut multiplicatio c.in 4. ducta ing. sedex c.in d. provenit £. ergo multiplicato c. in d. ducta in d. est sicut £. in £g. quare

multiplicauo 4 in g. est sicut multiplicatio 4. in b. Communiter addatur in multiplicatione numerus À. et erit multiplicatio 2. in d. ducta in 4. sicut multiplicatio #. in g. ducta in À. sed ex g. in h. provenit 1. ergo ex Æ. in Z. provenit sicut d. in d. ducta in 4. sed ex d. in 4. provenit ?. quia cum dividitur à. per d. provenit 2. ergo ex ducta D. in d. et productu in k. est sicut 2. in se ergo ex . in /. provenit sicut ex Ÿ. in se et hoc volui demostrare. Nunc revertamur ad quæstionem et dic divisi 10. in duas partes quæ sint c. et d. et in ipsis divisi numerum Ÿ. qui sit 20. et provenerunt numeri g. k. et multiplicavi g. in k. et proveniet /. qui est 25. deinde pone c. rem quare d. erit 10. minus re et multiplica rem in 10. minus re et illud totum duces in /. scilicet in 25. et quod provenit erit equale 400. dragmis scilicet multiplicaüoni d, in se vel pone c, 5. minus re et d. erit 5. et res et multiplica 5. minus re in 5. et rem et illud totum per 29. habebis similiter equale 400. dragmis vel aliter quia multiplicati Æ. in Z. est sicut b. in se numeri k. L. l. in continua proportione sunt , est enim sicut l. ad.b. ïta b. ad k. Unde si multiplicaverimus 0. in se et summam quæ est 400. diviserimus per /. per 25. venient 16. pro numero #. scilicet numerus #. provenit exe. in d. et numeri c. d. sunt 10. ergo dic divisi 10. in duas partes et multiplicavi unam earum per aliam et provenerunt 26. Age in his secundum algebram et invenies unam illarum partium esse 2. et aliam. Rursus divisi ro. in duas partes et per unam illarum divisi 40. et unde per aliam et multiplicavi unum ex

euntium numerorum in aliam et provenerunt 125.

( 476 ) quia 40. quadrupla sunt de 10. et 50. sunt quadrupla. multiplica 4 per 5. veniunt (venient) 20. de. quibus divide 125. venient + 6. qui sunt id quod provenit quando ex 10. fiunt duæ partes et dividetur 10. per unamquamque ipsarum. Âge deinceps ut dictum est alias pro una duarum partium de 10. propone 5. et rem pro alia 5. minus re multiplica anum eorum venient 25. diminuto censu quæ multiplica per 125. quod proverierit eritequale. 2000. dragmis scilicet multiphcationi de 40. et de 50 et sic studeas operari in simihbus. Et si dicemus tibi de 10 feci duas partes et per unamquamque earum divisi 10. et quod ex utraque divisione provenit duxi in se et provenit + 20 accipe radicem de + 20. quæ est + 4. et erit illud quod provenit ex ipsis duabus divisionibus suprascriptis : operare deinceps ut supra : et si dixerit divisi 10.'in duas partes et per unamquamque divisi 10. quod provenit multiplicavi in se et provenerunt 30. dragmæ ; pone pro una duarum parüum 5. etremet pro alia 5. minus re et duc unam earum in aliam et erunt 25. diminuto censu quæ multiplica in se erunt 625. et census census diminutis 50. censibus quæ multiplica per 30. erunt 18 et 50. et 30. census diminutis 1500. censibus quæ equantur 1000. dragmis quæ proveniunt ex quadrato de 10. multiplicato in se. Adde ergo utrique parti 1500. census et tolle ab utraque parte 1000. remanebunt 30. census census et 8250. dragmæ equales 1500 censibus. Reduc ergo hæc omnia a censum census et est ut dividas ea per 30. et erit census et dragmæ = 291. remanebunt + 33. quorum radice abice de 25. remanebunt 25. di-

( 476 ) minuta radice ; 333. pro quantitate census quorum radix erit res quam rem adde cum 5. et tolle eadem 5. et habebis quæsitum.

tem divisi 10. in duas partes et per unamquamque divisi 40. et quod provenit multiplicavi in se et provenit 625. Pone pro una parte 5. et rem pro alia 5. minus re et duc unam earum in aliam et illud totum per 25. scilicet per radicem de 625. et quod provenit equabitur 40. dragmis scilicet multiplicationi de 10. in 40. Âge deinceps ut supra et invenies unam ipsarum partium 2. aliam 8.

Divisi 10. in duas partes et per unam illarum dis 10. et quod provenit multiplicavi per aliam partem et provenerunt + 20. Pone pro unam illarum duarum partium rem et aliam 10. diminuta re et divide 1° per rem exibunt 10. divisa per rem quæ multiplica per 10. minus re veniet 100. minus 10. rebus divisa per rem quæ equantur + 20 : multiplica ergo hæc totum per rem venient 110. minus 10. rebus quæ equantur rebus = 20. Adde ergo utrique parti 10. res. . ... equales 100. dragmis : divide ergo 100 per + 30 venient. ..:.. pro quantitate rei : Residuum quod est. .... 6. est alia pars. Etsi dicemus übi duplum 3. cuiusdam census multiphcavi per 30. et quod provenit fuit equale addioni 30. dragmarum et 3. eiusdem census, pone pro ipso censu rem et multplica 30. res per 30. venient 900. res quæ equantur 30. rebus et 3. dragmis. Tolle ab utraque parte 30. res, remanebunt 8. et o. res Fu 30. dragmis; divide ergo 30 per 870. veniént — dragmæ pro quantitate rel.

Je regrette beaucoup de publier l’algèbre de Fibonacci (le chapitre xv° de l4bbacus qui précède contient toute l'algèbre ) sans pouvoir l'accompagner d’un commentaire destiné à l’illustrer et à l'expliquer. Mais n’ayant inséré ici cet écrit que comme une pièce justificative, et le nombre des pièces de cette nature étant déjà très grand dans cet ouvrage, j'ai dû me borner au texte, que j'ai publié d’après le manuscrit de la bibliothèque Magliabechiana, sans y faire aucun changement. Je crois, au reste, que les géomètres verront avec plaisir le premier essai original sur l'algèbre qui ait été fait parmi les Chrétiens , et je me trouve heureux d’avoir enfin réalisé, au moins en partie, le projet de Commandino et de Bernard (1). Je n’ajouterai done ici qu'un petit nombre d’observations absolument indispensables pour l’intelligence du texte.

Cossali (2) a donné la traduction algébrique de tout ce qui, dans l’algèbre de Fibonacci, se rapporte à la résolution des équations du second degré; ainsi je me bornerai à ce que j'ai déjà dit, à la page 36, de ces équations et des équations dérivatives (3). Rela-

(x) J'ai déjà dit (p. 26) que Commandino avait voulu publier la Pratique de la Géométrie. Edouard Bernard, plus tard, eut l’idée de publier une collection des ouvrages des anciens mathématiciens, parmi lesquels devait se trouver l’Abbacus de Fibonacci { Fabricii bibliotheca græca, 2° édition, lib. x1r, c. 23).

(2) Storia dell Algebra, tom. 1,p. rets v.

(3) Voyez ce que dit Fibonacci de ces équations à la page 448 et suiv. de ce volume.

tiveme nt aux notations algébriques, il faut remarquer que, d'ordinaire, on plaçait anciennement un point après les lettres ou les nombres , pour les séparer des autres mois, sans. que ces points eussent aucune sisnification particulière (1), et que, pour exprimer l'addition de deux quantités, Fibonacci les écrivait à la suite l’une de l’autre, comme le faisaient les Hindous (2). Ordinairement le géomètre de Pise représente par des lignes les quantités algébriques, et il désigne ces lignes tantôt par une seule lettre, tantôt par deux. Mais quelquefois aussi il exprime les quantités par des lettres, sans employer de figures géométriques. On peut supposer, à la vérité, que ces figures manquent dans le manuscrit que j’ai fait copier, et qu’elles se trouvaient dans l'original : cela est évident pour différens endroits; mais je n’ai pas voulu les rétablir, comme il aurait été facile de le faire, pour ne rien changer au manuscrit qui m’a servi de texte, et parce que je crois, d’après l'examen que j'ai fait de plusieurs anciens manuscrits, que souvent l’auteur indiquait alors une coustruction sans tracer la figure, que le lecteur devait faire en lisant. Au reste, les personnes qui se sont occupées d'analyse rempliront facilement cette lacune. Le texte aussi est,

(1) Ainsi Ünea a. b. veut dire simplement lnea ab.

2 2 3 (2) Dans l’Abbacus de Fibonacci, 3 À exprime 1 + 2 et Fi a est

à égal à a + 4.

dans certains passages, évidemment défectueux , mais je n'ai pas voulu me hasarder à le rétablir pour ne pas m'’égarer (1). Le manuscrit de la bibliothèque Magliabechiana, que j'ai cité, est le seul qui me soit connu où se trouve en entier l’Æbbacus de Fibonaceï. A la bibliothèque de Saint-Laurent et à la bibliothèque Riccardi de Florence il y a d’autres manuscrits, qui ne contiennent que des fragmens , des abrégés ou des traductions de cet ouvrage : si j'avais pu les comparer avec celui de la bibliothèque Magliabechiana, je serais parvenu probablement à rétablir complètement le texte; mais dans l'impossibilité où je me trouve de faire ce travail, j'ai dù me borner à suivre scrupuleusement le manuscrit le plus complet qu’on a bien voulu faire copier pour moi. |

La . e I I 4 J (1) Il est évident par exemple que les nombres — 1979, - 9Mqui

se trouvent aux lignes 10, 11 et 12 de la page 448 doivent être rem-

La I 2 4 L2 . . . . L .

placés par les nombres ë RE Pi 93; mais ici aussi j'ai reproduit

fidelement le manuscrit.