BOECE
(Né à Rome vers 470, mort en 526. )
Il appartenait à Tune des plus illustres familles de l'aristocratie romaine. Après avoir achevé son éducation à Rome, il fut, dit-on, envoyé à Athènes pour y suivre les leçons des maîtres qui y enseignaient alors, et aurait notamment étudié sous Proclus.
A son retour, il fut nommé patrice et le Sénat le chargea de haranguer Théodoric, lors de son entrée dans Rome.
Boëce obtint d'abord la faveur de Théodoric et fut mis par lui aux postes les plus importants de l'État; mais il gouvernait sagement, comme un philosophe, et son impartialité ne pouvait être goûtée des barbares. Il fut accusé devant le roi de soutenir injustement la population soumise et de comploter avec l'empereur d'Orient la ruine de la domination des Ostrogoths en Italie.
Théodoric résista longtemps aux suggestions de ses compagnons d'armes, mais finit par céder et par livrer Boëce à ses ennemis : l'infortuné philosophe subit un supplice horrible.
Il avait traduit un grand nombre d'ouvrages d'Aristote, de Platon et d'autres philosophes grecs. Outre le livre De la consolation^ il a laissé un traité d" Arithmétique ^ un traité de Géométrie et un traité de Musique.
Une édition de ses œuvres a été publiée à Venise en 1491.
M. Chasles lui a prêté l'invention ou au moins la connaissance de notre système de numération décimale; cette opinion a été hautement combattue par M. Libri.
D'après M. Chasles, Boëce se servait, sous le nom d'apices, de caractères nommés igin, andraSy ormis^ arbas, quimas, calais, '{eniSy temenias et celentis correspondant à nos chiffres i, 2, 3,4,
De Diophante à Copernic. 07
5, 6, 7i 8, 9; quant à Vabacus, ce serait un tableau divisé par des lignes horizontales et verticales, formant des cases dans lesquelles devaient être inscrits ces caractères, de façon que les unités de même ordre des différents nombres sur lesquels devait porter l'opération à effectuer, se trouvassent dans une même colonne verticale; la case correspondant à un certain ordre d'unités devait être passée, lorsque le nombre manquait de cet ordre d'unités.
Les opérations, d'ailleurs, se seraient faites sur ce tableau, comme nous les faisons aujourd'hui.
D'après le même géomètre, le zéro n'aurait pas tardé à apparaître sous le nom de sipos, de sorte que les occidentaux auraient eu, longtemps avant leurs relations avec les Arabes, un système de numération écrite, entièrement identique à celui dont nous nous servons aujourd'hui.
D'après M. Libri, tout cela ne serait que chimères et visions. Notre système de numération, d'origine hindoue, nous serait venu des Arabes au xn^ siècle; tous les écrivains de cette époque le disent; tous les traités d'Arithmétique le proclament; la question ne saurait donc être douteuse.
Cependant les preuves alléguées par M. Chasles sont tirées d'anciennes copies manuscrites de l'Arithmétique de Boëce, qu'il paraît avoir étudiées avec soin ; et il serait difficile d'admettre que ce qu'il dit y avoir vu ne s'y trouve pas. Tout au plus pourrait-on prétendre que les manuscrits en question contiendraient des intercalations faites depuis Boëce. Mais cette hypothèse présente encore des difficultés parce que Boëce, d'après M. Chasles, attribuerait la connaissance de ce système aux Grecs (à quelques Grecs bien peu nombreux sans doute, car aucun ouvrage grec antérieur à Boëce, écrit à Athènes, à Alexandrie ou à Constanti-
68 Quatrième Période.
nople n'en fait mention, et Eutocius même n'y fait pas allusion).
Que conclure? Je crois avec M. Libri que notre système de numération nous vient des Hindous et je pense que M. Chasles se trompe en lui donnant une origine grecque ou latine. Mais je ne vois pas pourquoi Boëce, qui avait voyagé en Orient, n'aurait pas pu être initié à l'Arithmétique des Hindous par un marchand grec de Constantinople, que ses voyages auraient conduit dans l'Inde.
On objecte, il est vrai, que Boëce est antérieur à Aryabhata ; mais il n'est guère probable qu' Aryabhata ait découvert seul tout ce qui S3 trouve dans son ouvrage où, sans doute, se trouvent bien des choses connues avant l'auteur en Hindoustan.
Cependant, pourquoi la tradition ne ferait-elle remonter qu'au XII® siècle l'introduction du système décimal de numération parmi les nations occidentales ? Pourquoi surtout cette introduction aurait-elle été regardée alors comme un événement tout nouveau, pourquoi aurait-elle fait époque? Cela s'expliquerait peut-être parce que, à partir de Boëce, les ténèbres n'avaient fait que s'épaissir sur toute l'Europe, jusqu'à l'invasion de l'Espagne par les Arabes, et que les connaissances qu'il avait pu acquérir en Grèce, n'ayant pas eu le temps de se répandre, avaient fini par ne plus laisser de traces.
M. Chaslesj à l'appui de cette opinion, cite un Traité de l'Abacus, de Raoul évêque de Laon, mort en 1 132, oii il serait dit que ce système de numération était tombé dans V oubli che\ les nations occidentales., et que Gerbert et Hermann lavaient remis en pratique.
Je ne vois d'invraisemblable dans tout cela que l'idée de M. Chasles d attribuer une origine grecque ou latine à notre
De Diophante à Copernic. 69
système de numération et de pousser l'exagération de son système jusqu'à se demander sérieusement, à propos dcVArenaire^ si Arciiimède ne connaissait pas le système de l'Abacus.
Si M. Chasles avait seulement voulu dire qu'Archimède connaissait TApa^ comptoir, damier, buffet, qui est dénommé dans le premier vers du jardin des racines grecques, sorte de machine à calculer dont on a retrouvé des spécimens d ms diverses contrées, notamment à Salamine, qui paraît avoir été employée à peu près partout dans l'antiquité, par les commerçants, et qui l'est encore en Chine, son hypothèse serait plus que probable. Mais je ne pense pas que ce soit ce qu'a voulu dire M. Chasles, car alors il ne s'agirait plus d'un fait scientifique comparable à l'invention de la méthode qui permit d'écrire tous les nombres avec neuf caractères seulement et le zéro.
Il ne s'agit pas en effet de la numération parlée des Grecs, qui fut toujours décimale, il s'agit de leur numération écrite. Or que les Abax, dans les colonnes ou les rainures desquels on faisait mouvoir des cailloux ou des jetons portant des marques distinctives, rappelassent la numération parlée décimale, cela n'aurait même pas lieu d'étonner, mais ne prouverait rien pour la numération écrite.
Au reste, on voit quelquefois les nations perfectionner leurs méthodes, jamais on ne les voit en changer totalement les bases. Je suis assurément bien éloigné de vouloir faire aux Grecs, même à Pappus et à Eutocius, l'injure de croire qu'ils n'eussent pas été mille fois capables d'inventer le système décimal de numération, avec les neuf chiffres et le zéro, si leur manière d'être et de penser les eût davantage portés aux spéculations arithmétiques. Il ne faut pas pour cela beaucoup de génie et ils auraient pu en re-
Quatrième Période.
vendre aux Latins de la décadence, aux Hindous, aux Arabes et à tous nos abacistes; ce qu'il fallait c'était une certaine disposition d'esprit, dépendant d'une certaine conformation cérébrale.
Si les Grecs avaient eu l'idée de réformer leur système de numération, ils n'auraient certainement pas imaginé des signes particuliers pour représenter les neuf premiers nombres. Ils auraient pour cela conservé leurs neuf premières lettres, dont l'usage était populaire, et les auraient simplement reproduites aux dizaines, au lieu de prendre les lettres suivantes, devenues inutiles, par l'invention du zéro. C'est toujours ainsi que se fait le progrès dans l'intérieur d'une même nation : car il faut nécessairement enter le nouveau sur l'ancien, pour le faire accepter ; l'histoire des novateurs le dit assez : tous ceux qui n'ont pas suivi ce précepte ont été lapidés, pendus, brûlés, ou au moins torturés, physiquement ou moralement.
La partie mathématique des œuvres de Boëce a été publiée à Leipzig en 1867 par G. Friedlin.
ANTHEMIUS.
(Né à Tralles en Lydie, mort à Constaiitinople en 534-)
II fut appelé à Constantinople par l'empereur Justinien pour y construire l'église de Sainte-Sophie. On lui attribue une expérience sur la force élastique de la vapeur d'eau et le sifflement qu'elle produit en s' échappant par une petite ouverture. Il paraît avoir eu l'idée d'employer la propriété de la tangente à l'ellipse.
De Diophante à Copernic. 7^
par rapport aux rayons vecteurs menés des foyers au point de contact, pour construire un réflecteur ellipsoïdal.
Il a laissé un ouvrage intitulé Des engins merveilleux.
ARYABHATA.
(Né en 475, mort vers 55o. )
\\hdihïX3i\t\di Cité des fleurs, Pataliputra, aujourd'hui Patna, oîi l'on suppose qu'il enseignait les Mathématiques. Pataliputra avait été la capitale d'un empire puissant fondée peu après la mort d'Alexandre, par un Hindou nommé Candragupta ( SavopdxoTTo; d'après Justin qui rapporte le fait) : et le roi d*Égypte avait enyoyéà ce chef un ambassadeur nommé Mégasthène. Ces faits permettent de conclure à des relations plus ou moins suivies entre les Hindous et les Grecs d'Alexandrie.
L'ouvrage que nous a laissé Aryabhata est intitulé Aryabhathijyant'/ûa. été publié en sanscrit, sans traduction, à Leyde, en 1874, par le docteur Kern. Il est divisé en quatre parties intitulées Harmonies célestes, Eléments de calcul, Du ternes et de sa mesure, Les sphères.
Cet ouvrage, écrit en vers, destinés sans doute à être appris par cœur dans les écoles par les élèves et commentés par les maîtres, ne se compose que d'énoncés souvent peu clairs , mais il nous est parvenu avec le commentaire d'un nommé Paramâdîcvara , et, quoique ce commentaire soit, à ce qu'il paraît^ peu clair luimême et quelquefois erroné, il a permis du moins de suppléer au laconisme d'Aryabhata.
La première et les deux dernières parties se rapportent, comme
72 Quatrième Période.
l'indiquent leurs titres, à l'Astronomie et incidemment à la Trigonométrie; la seconde présente pour nous beaucoup plus d'intérêt, et heureusement M, Léon Rodet, ingénieur des manufactures de l'État, en a publié à Paris, en 1879, une traduction en français, fort bien faite, qui nojs permettra d'en donner une analyse complète.
Ce Chapitre, dont M. Léon Rodet a joint le texte sanscrit à sa traduction, ne tient dans cette langue que trois pages et demie; il se compose de trente-trois énoncés de règles ou de théorèmes que nous ne reproduirons pas tous, parce qu'ils ne présentent pas tous de l'intérêt.
Les connaissances d'Aryabhata en Arithmétique et en Algèbre paraissent assez étendues et assez sûres; mais son ignorance en Géométrie est vraiment extraordinaire. Ainsi il donne pour mesure du volume de la pyramide la moitié du produit des mesures de la base et de la hauteur, et pour mesure du volume de la sphère, le produit de la mesure de la surface d'un grand cercle par la racine carrée de cette mesure, c'est-à-dire
Toutefois il donne une valeur remarquablement approchée du rapport de la circonférence au diamètre : « Ajoutez, dit-il, 4 à 1 00, multipliez par 8, ajoutez encore 62 000 ; voilà, pour un diamètre de deux myriades, la longueur approchée de la circonférence au diamètre. »
Ainsi il fait 7: égal à
ou 3, 1416.
M. Léon Rodet pense que cette valeur doit avoir une origine
De Diophante à Copernic. 73
grecque, parce que les Grecs seuls se sont servis de la myriade dans leur numération. Je ne vois pas à quel Grec on pourrait en attribuer le calcul, mais je vois que M. Léon Rodet croit comme moi qu'il aurait existé, même avant le v® siècle, des relations entre les Grecs et les Hindous. Voici au reste les preuves qu*il veut bien m'en donner: i*' Alexandre le Grand avait laissé en Bactriane et en Aryane (Afghanistan et Caboul actuels) des royaumes gouvernés par des Grecs et dans lesquels l'élément grec se développa ; 2'' les monnaies des premiers souverains du Penjâb, du Guzerate et duSurashtra (Soorath des Anglais), datant du 11* et du iii'^ siècle, sont dues à des artistes grecs. Celles du iv*" et du V'" siècle présentent même encore des vestiges d'inscriptions grecques ; 3*^ la terminologie astronomique des Hindous emploie plusieurs mots grecs ou traduits du grec; ainsi Varâha-Mihira, contemporain d'Aryabhata, astrologue du Maharaja d'Ujjayini (Oojein des Anglais) a intitulé son principal ouvrage Brhat- Sanhitâ^ traduction littérale de [j^sya^rj ffuvxa^iç.
M. Léon Rodet démontre très bien qu'Aryabhata savait résoudre l'équation complète du second degré à coefficients indéterminés.
Aryabhata énonce en effet la formule générale de résolution de cette équation à propos du calcul du nombre des termes d'une progression par différence dont on donne le premier terme, la raison et la somme des termes. Ce problème de kyrielles intéressait, à ce qu'il paraît, les Hindous, probablement pour l'observance des rites de leur religion.
L'équation à résoudre serait
n — I ni a H r
74 Quatrième Période.
et la valeur que l'on en tire pour n peut se mettre sous la forme
— 2^±V/^(2<2 — r)--i-8Sr
or, Aryabhata dit^ en traduisant la formule à rebours, suivant l'usage indien, mais, à la vérité, en un langage tel qu'il a fallu une certaine sagacité pour démêler le sens de la phrase :
« Multipliez la somme par huit fois la raison, ajoutez le carré de l'excès de deux fois le premier terme sur la raison, prenez la racine carrée, retranchez deux fois le premier terme, divisez par la raison, ajoutez i et prenez la moitié, voilà le nombre des termes. »
Il est probable que la résolution de l'équation du second degré avait été obtenue dès avant Aryabhata, mais je crois qu'on n'a pas encore trouvé de traces de la marche que les Hindous avaient suivie d'abord pour y arriver. Leur démonstration était sans doute celle que nous a transmise Mohammed ben Musa Al-Kharizmi et qui a été reproduite plus tard avec des modifications diverses, mais peu importantes, par Léonard de Pise et par Cardan. Ils l'auraient plus tard, paraît-il, dégagée de considérations géométriques.
Aryabhata donne ensuite la formule de la somme des carrés des n premiers nombres entiers, et celle de la somme de leurs cubes.
Le dernier terme^ celui-ci plus iin^ celui-ci plus le nombre des termes : du produit de ces trois nombres prenez le sixième, c'est le volume de la pile des carrés. C'est bien notre formule
Zà.n ;:
De Diophante à Copernic.
Le carré de la pile est le volume de la pile des cubes. C'està-dire
^nn^^(^A!L±Ay.
L'ouvrage se termine par la résolution en nombres entiers des équations indéterminées du premier degré.
On trouve, dans deux strophes qui précèdent celles que nous venons d'analyser, une méthode pour calculer une table des sinus de 3°|-en3«f
Pourquoi 3** ^7 Aryabhata dit : « Divisez le quart de la circonférence au moyen d'un triangle et d'un quadrilatère, vous aurez sur le rayon toutes les demi-cordes d'arcs que vous voudrez. « Cela, je crois, veut dire : Inscrivez dans le quadrant trois cordes égales, puis quatre; les premières sous-tendront 30*^ etles secondes 2 2*^1; la distance des deux premiers points de division sera donc 7"^!, dont la moitié est 3°|; ainsi la demi-corde de l'arc
joignant les deux premiers points de division sera le sinus de 30 1
Il serait facile de calculer le sinus de cet arc qui est
mais il faudrait pour cela employer la formule de bissection, qu'Aryabhata ne connaissait peut-être pas; il prend simplement l'arc de 3°|- pour son sinus. C'est-à-dire que, 3'^| valant 225', Aryabhata divise son rayon en minutes, comme les Grecs, et en compte 225 pour le sinus de 3*^1. Nous verrons tout à l'heure qu'il suppose dans le rayon 3438 parties ou minutes.
76 Quatrième Période.
Ainsi, ce n'est pas parce que le sinus de 3''f peut être obtenu par le calcul qu'Aryabhata prend cet arc pour point de départ de sa table. Il est probable que c'est simplement parce que l'arc en question est facile à construire au moyen de la règle et du compas.
Il est curieux d'observer que TArabe espagnol Arzachel, qui vivait en 1 100, s'est arrêté au même arc S''^. On peut, je crois, voir dans ce fait la preuve que la Trigonométrie des Hindous s'était répandue à cette époque parmi les Arabes.
Nous n'avons pas l'ouvrage où Arzachel expliquait la construction de sa table de sinus, mais Purbach nous en a transmis une analyse et s'est appliqué à développer l'idée d'Arzachel ; d'ailleurs, Régiomontanus, son disciple^ est revenu sur la méthode de Purbach, et en a étendu l'usage, de sorte que nous la connaissons assez bien.
Arzachel n'avait pas parfaitement compris le procédé d*Aryabhata, qui, du reste, s'il le comprenait lui-même, n'en a pas laissé la preuve, pas plus que les Hindous, ses successeurs, qui l'ont tous adopté. Le procédé d'Arzachel ( nous raisonnons dans l'hypothèse où il aurait voulu suivre les traces d'Aryabhata) ne vaut pas celui de son maître.
Nous avons dit qu'Aryabhata fait le sinus de 3° | égal à 22 5 ; la règle qu'il donne pour former les sinus des multiples de 3"^ se traduit par la formule.
, . . . , , sintna
sin m -+- I Uz — sinina = sini7ia — sinim — i]a ■. >
a désignant 3" |, et tous les sinus étant, bien entendu, exprimés en parties du rayon, divisé comme nous l'avons dit et comme cela va être expliqué un peu plus clairement.
De Diophante à Copernic. yj
Cette règle, appliquée de proche en proche, donne de la manière la plus simple les moyens de construire la table suivante, que M. Le'on Rodet a tirée du premier chapitre de VAryathathiyam c'est-à-dire des Harmonies célestes.
Arcs,
Sinus.
Différences.
