MOHAMMED-BEN-MUSA AL-KHARIZMI

(Né dans la province persane de Khwàrizm, vers 795.)

Son nom d'Al-Kharizmi , qu'on écrit aussi Al-Kv^arizmi et Al-Kharezmi, lui vient de son lieu de naissance. Il avait été, jusqu'à ces derniers temps, confondu avec Mohammed-ben-Musaben-Schaker, et son Traité d"* Algèbre, le premier qui ait été écrit chez les Arabes, et le premier aussi qui soit parvenu en Europe, avait toujours été attribué aux trois fils de Musa-ben-Schaker; une bibliographie arabe qu'on a déchiffrée naguère a fait reconnaître l'erreur, qui, du reste, avait peu d'importance, Al-Kharizmi se trouvant presque contemporain des fils de Musa-ben-Schaker.

Voici ce que dit à ce sujet M. Nesselmann^ dans son Algebra der Griecken :

« M. Chasles ne semble pas avoir tiré parti avec assez d'attention des travaux de ses prédécesseurs; pour n'en citer qu'un exemple, il confond constamment deux mathématiciens arabes, appelés tous deux Mohamm.ed-ben-Musa, dont le plus ancien est toujours nommé, par les Arabes, du nom de son pays, Al-Kharezmi, tandis que le plus jeune, pour le distinguer de rautre, reçoit encore le nom de son grand-père et s'appelle Mohammedben-Musa-ben-Schaker. Je n'aurais pas parlé de cette erreur

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s'il n'avait pas été facile à l'auteur de l'éviter, car déjà Cossali avertit de ne pas faire la confusion ».

Je le veux bien, mais l'erreur était consacrée par les témoignages de Léonard de Pise, de Lucas de Burgo, de Cardan, de beaucoup d'autres et enfin de Venturi et de Libri. Je ne voudrais assurément pas rabaisser le mérite de la découverte, mais je pense que les Allemands en auront beaucoup à faire de cette importance pour être dispensés de toute modestie.

Al-Kharezmi fut un des principaux savants qu'Al-Mamoun attira à sa cour et investit de missions scientifiques. Il paraît avoir été envoyé dans l'Inde pour en rapporter les connaissances scientifiques des Brahmes, mais on n'est pas certain qu'il ait dépassé l'Afghanistan. En tout cas, il n'aurait pas pris une connaissance bien exacte des travaux d'Aryabhata et de Brahma-Gupta , car il est certain qu'on ne trouve pas trace dans ces auteurs des méthodes géométriques qu'il emploie pour établir la formule de résolution de l'équation du second degré. C'est au reste une des preuves qu'il n'a pas visité les principaux centres intellectuels de l'Inde.

Outre son Traité d'Algèbre^ dont une ancienne traduction latine a été publiée par M. Libri et dont M. Rosen a donné en i83i une version anglaise avec le texte arabe, Al- Kharizmi a laissé un extrait d'un Traité d'Astronomie, d'après les Indiens, qu'il appelle Sidhind (sans doute du motSiddhânta) et un Traité d^ Arithmétique, dont M. Boncompagni pense avoir retrouvé, dans la Bibliothèque de Cambridge, une traduction intitulée Algoritmi de numéro Indorum, qu'il a publiée en iSSy.

C'est probablement du nom de notre auteur que s'est formé le mot Algoritme, qu'on trouve si fréquemment reproduit dans les

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ouvrages du moyen-àge et de la Renaissance, mais défiguré sous toutes sortes déformes : Alchoarismus^ Alkauresmus, Alchocharithmus, etc. M. Reinaud avait émis cette opinion en 1845, dans son Mémoire sur Vlnde^ et tous les traités d'Algorisme découverts depuis cette époque ont confirmé cette hypothèse, mais surtout celui qu'a publié M. Boncompagni, où on lit presque à chaque alinéa : dixit Algoritmi.'

D'un autre côté, c'est Al-Kharizmi qui a donné son nom à l'Algèbre.

« Le nom complet de la nouvelle Science, dit M. Rodet, est en arabe Al-jèbr wa'l-muqâbala; les Italiens l'ont traduit très exactement par Scientia restaurationis et oppositionis ^ car i*^ tous les Arabisants sont d'accord quQJabara veut dire « raccommoder un membre cassé^ résoudre une fracture » ce que prouve d'ailleurs le nom du chirurgien en espagnol, Algebrista; 2"" tous les dictionnaires arabes et persans et Cossali lui-même disent qir en mathématiques, jabara sigmfÏQ « rendre entière une fraction ».

ce Les Indiens commençaient toujours par chasser les dénominateurs de leurs équations; ainsi ils ramènent l'équation du second degré à la forme

ax- -i- bx -^ c ^= o,

^ et c pouvant être positifs ou négatifs, et c'est cette pratique qu' Al-Kharizmi a désignée par Al-jèbr (résolution de la fracture). Ensuite les Hindous soustraient de part et d'autre les quantités égales et c'est ce qu' Al-Kharizmi a rendu par Al-muqdbala, car qdbala veut dire « mettre en parallèle, en pendant ». « Mais Diophante ne chasse pas les dénominateurs et dis- M. Marie, — Histoire des Sciences, II. n

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tingue en deux règles séparées, la compensation des parties déficientes et Vablation des parties additives; et Al-Kharizmi, disciple à la fois des Hindous et de Diophante, fait souvent confusion, c'est-à-dire applique aux opérations indiquées par l'algébriste grec les mots Al-jèbr et Al-muqâbala, traductions en arabe des mots employés par les Hindous pour désigner les deux opérations qu'ils effectuent.

« Al-Kharizmi, pour les confondre, a pensé sans doute que « combler un déficit « ou « ajouter un manquant », c'était bien " raccommoder » ; quoi qu'il en soit, c'est de cette erreur d'Al- Kharizmi que seraient nés la confusion qui a régné jusqu'ici dans l'interprétation des mots Al-jèbr jt^a'l-mtiqdbala, ainsi que le désaccord qui séparait à cet égard les lexicographes des mathématiciens; du reste, la confusion était encore augmentée parce que l'on voyait Al-Kharizmi employer d'autres mots que jabara pour exprimer l'opération de rendre entière une fraction. »

Le Traité d'Algèbre d' Al-Kharizmi a été traduit en latin, on ne sait trop à quelle époque, sous le titre :

Ve7^ba filiorum Moysi filii Schaker, Mahumeti, Hameti, Hasen.

C'est sans doute ce qui a donné lieu à l'erreur qui a si longtemps duré sur le véritable auteur de ce traité. La copie manuscrite de cet ouvrage que M. Libri avait découverte à la Bibliothèque nationale, était bien intitulée :

Liber Maumeti filii Moysi Alchoarismi de Algebra et Almuchabala.

Mais la différence des titres, à ce qu'il paraît, n'avait pas donné l'éveil.

C'est dans le premier volume de son Histoire des Mathéma-

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tiques en Italie que M. Libri a inséré la traduction latine qui existait à la Bibliothèque Nationale.

Cet ouvrage est très important pour l'histoire, parce qu*il formera la base des travaux de Léonard de Pise, de Lucas de Burgo, de Tartaglia et de Cardan. Nous allons en donner l'analyse, en nous servant de la traduction publiée par M. Libri.

Cette traduction n'est, à ce qu'il paraît, pas complète, mais elle contient toute la méthode et nous suffira.

L'ouvrage se compose de quatre parties principales et d'une cinquième qui n'est qu'un recueil de problèmes dont nous extrairons seulement quelques énoncés.

Les quatre parties qui touchent à la méthode sont tellement disparates qu'elles ne paraissent pas avoir même origine.

La première contient sans démonstration les énoncés des règles de résolution des équations du second degré dans les six cas correspondants aux formules modernes :

X- — q, X- =^px^ X —q, X- -^px :^q, x'-^q =:px, X- —px -+- q.

La troisième partie contient, avec tous les détails convenables, la théorie de la multiplication d'un binôme par un binôme, dans les quatre cas correspondants à nos formules modernes:

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les démonstrations, il est vrai, n'y existent pas à proprement parler, mais elles sont remplacées par des explications à peu près suffisantes et telles que l'on peut imaginer que l'auteur se rend directement compte des règles qu'il énonce et non plus seulement par application des théorèmes d'Euclide sur la composition d'un rectangle dont les côtés sont des sommes ou des différences de lignes.

Il serait évidemment impossible d'hésiter à admettre que l'auteur eût été embarrassé par le cas où les deux facteurs multipliés entre eux auraient été égaux.

Il est par trop facile de passer des produits

ou

(x-h](x-k), aux carrés

[x^h)-, et

(X- hr-,

La première et la troisième partie, rapprochées l'une de l'autre, comprenaient donc toute la théorie des équations du second degré, la première fournissant les formules de résolution et la troisième les moyens de les vérifier, par la substitution.

On peut dire même qu'il ne restait pour ainsi dire rien à faire pour amener la théorie de la résolution des équations du second degré à son état actuel, dés qu'on était arrivé à la pleine possession des formules et des moyens de les vérifier. Il n'y avait tout au plus qu'un petit renversement à faire.

Mais cette première et cette troisième partie n'ont pas d*appli-

De Diophante à Copernic.

cation dans l'Algèbre d'Al-Kharizmi. La résolution de l'e'quation du second degré complète, dans les trois cas qu'elle présente, en est absolument indépendante; elle s'obtient, dans la seconde partie, par des combinaisons de figures, de l'espèce des casse-tétes, qui n'ont plus rien de commun avec l'Algèbre proprement dite.

Quant à la quatrième partie, c'est un mélange bizarre de règles enfantines pour obtenir la somme ou la différence de deux expressions composées du carré de l'inconnue, de l'inconnue et d'un nombre, et d'une ébauche de la théorie des règles du calcul des radicaux du second degré.

Il paraît impossible d'admettre que les quatre parties aient pris naissance dans la même cervelle.

Je crois que la première, la troisième et la quatrième sont d'origine arabe, imaginées ou reproduites par Al-Kharizmi; mais que la deuxième a une origine bien plus ancienne; elle serait sans doute due aux Hindous, antérieurs à Aryabhata.

Quoi qu'il en soit, je vais d'abord reproduire cette deuxième partie avec les détails qu'elle mérite, -en raison de son extrême originalité.

Nous passons les cas trop faciles où l'équation est incomplète, et nous nous bornons à l'examen des trois cas où l'équation est de l'une des formes