LIVRE I DES ARITHMETIQUES

La lettre d'envoi de ce livre à un certain Denis ne contient rien d'intéressant, si ce n'est que Diophante dit, en passant, que la matière qu'il traite est neuve, ce qui sera évident d'après l'analyse que nous avons donnée de l'Arithmétique de Théon.

Définition I.

Tous les nombres étant formés de la réunion d'unités, ils peuvent croître indéfiniment. Parmi ces nombres, les uns sont carrés; les nombres qui, multipliés par eux-mêmes, les reproduisent, sont leurs côtés; les cubes sont formés de la multiplication des carrés par leurs côtés; les quadrato-quadrati sont les carrés des carrés; les quadrato-cubi sont les produits des carrés par les cubes de mêmes côtés; enfin les cubo-cubi sont les carrés des cubes (Diophante ne va pas au delà).

Définition IL

Un carré s'appelle puissance (ouvaaiç), et il se note par le signe 8~ ; le signe du cube est x~ ; celui du quadrato-quadratus 80" ; celui du quadrato-cubus xB^ ; et celui du cubocubusxx". Les nombres (inconnus) dans lesquels aucune des

De Diopliante à Copernic. 25

qualités précédentes ne sont constatées s'appellent simplement nombres. L'unité est représentée par [j.\

Ces abréviations sont faciles à saisir : o^ signitis ouvauiç, x^ signifie xupoç (cube) et a" signifie tjt.ova; (monade, unité).

Bachet de Méziriac fait sur cette définition la remarque que le mot dynamis vient d'une locution employée par Euclide, qui appelle souvent le carré d'une ligne ce que peut cette ligne; c'est ce que j'avais remarqué dans Apollonius. D'après M. Léon Rodet, la même expression était usitée dans l'Inde à la même époque.

Au lieu des signes proposés par Diophante, nous emploierons, à l'exemple de Bachet, les lettres N, Q, G, ..., pour désigner le nombre, son carré, son cube, etc. Cette notation avait déjà été adoptée par Viète.

Définition III.

Il y est question des fractions ayant pour dénominateur le nombre, son carré, ou son cube, etc.

Diophante dit que les dénominations des nombres (inconnus) qualifiés-, serviront à former les dénominations de ce que nous

appellerions leurs inverses : ^ s'appellera une nombrième, (^piGaoa-ov); -^^ s'appellera un quadratième (ouvauosTov), etc.

Définition IV.

C'est une paraphrase de la définition II. Diophante y donne la règle pour trouver la dénomination (comme puissance) du

20 Quatrième Période.

produit de deux quantités dénommées (elles-mêmes puissances de l'inconnue). En d'autres termes, il s'agitde la règledes exposants, relative à la multiplication.

Définition V.

Un nombre quelconque multiplié par sa fraction liomonyme (son inverse) fournit l'unité.

Par exemple :

Définition VI.

Comme l'unité est non composée, toute chose multipliée par l'unité garde son espèce. Ainsi

Nx2=:2N; Qx3 = 3Q; 0x4=^40.

Définition VIL

Mais, les fractions dénommées, multipliées entre elles, forment des fractions autrement dénommées.

Ainsi deux fractions homonymes au nombre (inconnu), multipliées entre elles, forment une fraction homonyme au carré.

littéralement : un nombrième par un nombrième forme un quadratième: une fraction homonyme au carré, multipliée par une

fraction homonyme au nombre, forme une fraction homonyme au cube,

etc.

Définition VIII.

De même, une fraction ayant pour dénominateur le côté ou le nombre, multipHée par le carré, forme le nombre, ou le côté :

une fraction ayant pour dénommateur le nombre, multipliée par le cube, donne le carré :

jLxC = Q;

une fraction ayant pour dénominateur le carré, multipliée par le nombre, produit une fraction ayant pour dénominateur le nombre :

^x JN ^;

multipliée par le cube, elle produit le nombre :

^xC = N.

Ces dernières détinitions forment, comme on voit, Téquivalent de nos conventions relatives aux exposants.

Définition IX.

La multiplication de deux (quantités) défaillantes produit une (quantité! abondante; et la multiplication d'une quantité)

Quatrième Période.

défaillante par une (quantité) abondante produit une (quantité) défaillante.

Au reste, le signe d'une (quantité) défaillante est le psi (•]/] écourté et renversé, ^•.

Il est à remarquer que Diophante se sert souvent du signe r^. pour indiquer une soustraction et n'en a pas pour noter l'addition .

Il écrit à côté les unes des autres les quantités à ajouter sans les séparer par aucun signe. Ainsi il écrira

G. 3 Q.4 N.- M. 7, ou l'équivalent, c'est-à-dire

Cubes 3, Carrés 4, Nombres 2, Unités 7, pour signifier

3 fois le cube -+- 4 fois le carré -^ 2 fois le nombre 4- 7 unités.

Quant au principe même énoncé dans la définition, Diophante n'a jamais l'occasion de l'appliquer, parce qu'il n'effectue jamais d'opérations algébriques : il en donne les résultats, lorsqu'il y a lieu, mais il ne dit jamais comment il y arrive. Au reste, ces opérations se bornent à la formation du carré ou du cube d'une somme composée de deux parties; il dira, par exemple :

Le carré de 2N plus 3 est 4Q plus i 2N plus 9.

Le carré de 2Nr^. 3 est 40^^ 12N plus 9.

Le cube de 2N plus 3 est 8C plus 36 Q plus 54N plus 27, mais sans aucune explication.

Aussi je pense que Bachet de Méziriac aura attribué à son auteur ce qu'il pensait lui-même, ou ce qu'il croyait penser. Car

De Diophante à Copernic. 29

Diophante, certainement, n"a jamais considéré de quantités négatives isolées, comme Bachet semble le supposer.

Le principe ne peut tout au plus se rapporter qu'aux signes de termes dérivés de termes tous deux soustractifs, ou de termes l'un additif et l'autre soustractif, dans un produit de nombres composés. Mais alors il ne constitue qu'une remarque a posteriori., que Diophante n'avait pas même lieu de formuler.

Définition X.

C'est un simple conseil de ne pas confondre les quantités défaillantes avec les quantités abondantes. Il faut ajouter entre elles les quantités abondantes, ajouter entre elles aussi les quantités défaillantes, et retrancher les quantités défaillantes des quantités abondantes, mais en tenant compte des espèces, c'est-à-dire n'opérer que sur les semblables ; combiner les nombres entre eux ; aussi les carrés; de même les cubes, etc.

Définition XL

Si, dans une question à traiter (une équation), il se trouve de part et d'autre (dans les deux membres) des espèces abondantes identiques, en multitudes différentes, il faut retrancher les semblables des semblables, jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule multitude de chaque espèce.

De même, s'il y a de part et d'autre des espèces identiques, les unes abondantes et les autres défaillantes, celles qui sont abondantes d'un même côté doivent être ajoutées, ainsi que celles qui sont défaillantes d'un même côté ; ensuite on supprimera des deux côtés celles qui sont à la fois défaillantes -ou abondantes.

Quatrième Période.

Entin on s'efforcera de faire en sorte qu'il ne reste qu'une seule multitude d'une seule espèce.

Mais cette dernière observation se rapporte à la méthode : Dioiphante veut dire par là qu'il faut tâcher d'arriver à des égalités où ne se trouve plus que le nombre, ou son carré, ou son cube.

C'est qu'en effet il ne résout pas les équations de la forme

mais ramène toujours les questions qu'il se propose aux équations

aQ^b, aC^b,

Au reste, pour bien comprendre cette définition, il faut se rappeler que le nombre c'est l'inconnue, qui peut être mêlée à d'autres espèces, son carré et son cube.

Diophante n'appelle nombres ni les données, ni les coefficients; les coefficients sont des multitudes ou des fractions, selon qu'ils sont entiers ou fractionnaires. Quant aux données, ce sont des multitudes d'unités.

Question I.

Partager un nombre donné en deux parties qui aient entre elles une diff'érence donnée.

Soient loo le nombre et 40 la dilTérencc.

Que le moindre soit iN, le plus grand sera iN et 40 unités. La somme des deux sera donc 2N et 40 unités, mais elle doit

De Diophante à Copernic.

être 100 unités; donc loo unités sont égales à 2N et 40 unités. Je retranche les semblables des semblables, c'est-à-dire 40 unités de 100 unités, d'une part, et de 2N et 40 unités, de Tautre; il reste 2N égale 60 unités. Donc l'un des deux nombres est 3o unités et l'autre est 70 unités, et la démonstration est manifeste.

Nous devons à l'obligeance de M. Léon Rodet la traduction littérale de ce passage. Nous la reproduisons pour donner un exemple de la manière de parler et d'écrire de Diophante. U est l'initiale d'unité et remplace M, initiale de aovaç.

(c Partager le nombre prescrit en deux nombres de différence donnée.

« Soient le nombre i ooetla différence U 40, trouver les nombres. Soit posé le plus petit N i , le plus grand sera donc N i U 40. Donc tous deux ensemble deviennent N ?. U40; mais on donne U 100. Donc Uioo sont égales à N2 U40; alors, des semblables les semblables, je retranche des U 100, U40, et, de même, des deux nombres et des 40 monades, semblablement, U40, il reste N2 égaux à U60, Donc le nombre deviendra de U3o.

« En revenant aux hypothèses, le plus petit sera de U3o et le plus grand de U70, et la démonstration est évidente. »

Cette démonstration est suivie d'un tableau qui équivaut au

Nombre, 100, Différence, 40, Plus petit, X, Plus grand, x + 40, 2 .V 4- 40 = 1 00, 2x = 6o, X = 3o, Plus petit, 3o, Plus grand, 70.

32 Quatrième Période.

Question IL

Partager un nombre en deux parties qui aient une raison donnée.

Soient 60 la somme donnée et 3 la raison donnée.

Que le moindre des nombres cherchés soit iN, le plus grand sera 3N; mais il faut qu'ensemble ils égalent 60 unités; donc 4N égalent 60 unités; par conséquent iN égale i5 unités. Le plus petit nombre est donc 1 5 et le plus grand est 45.

Question XVII.

Trouver quatre nombres tels qu'ajoutés trois à trois ils produisent quatre nombres donnés. Il faut que le double de chacun des quatre soit moindre que la somme des trois autres.

Soient 20 la somme des trois premiers, 22 la somme des trois derniers, 24. la somme du troisième, du premier et du dernier, enfin 27 la somme des deux premiers et du dernier.

Faisons la somme des quatre nombres cherchés égale à iN; si de iN je retranche la somme des trois premiers, c'est-à-dire 20, j'aurai le quatrième, iN moins 20; de même le premier sera iN moins 22, le second iN moins 24 et le troisième iN moins 27. La somme des quatre sera donc 4N moins gS; mais elle doit être iN, donc 3N égale 93 et iN égale 3i. Les nombres cherchés sont donc : le premier g^ le second 7, le troisième 4 et le quatrième 1 1.

La condition de possibilité du problème, que Diophante formule à la suite de l'énoncé, indique bien qu'il en sait plus long qu'il ne veut en avoir l'air.

De Diophante à Copernic. 33

En ertet les équations du problème sont

:^ -X-u-^X rrr C,

Il -\- X -\- V --=^ d ^

'on en tire, par exemple,

a-^c-hd — nb

d'où résulte que a -^ c ^ d doit dépasser 2b. Mais, pour trouver cette condition, il a bien fallu que Diophante fît, mentalement, le calcul sur des données quelconques, littérales, si l'on veut.

Question XXX.

Trouver deux nombres dont la somme et le produit soient des nombres donnés.

Supposons que la somme doive faire 20 et le produit 96. Soit 2N la différence des deux nombres ; le plus grand sera 10 plus iN et le plus petit 10 moins iN; le produit sera donc 100 moins iQ, qui doit égaler 96. Par conséquent iQ égale 4, N égale 2, et les nombres sont 1 2 et 8.

On voit que Diophante évite de former l'équation du second degré dont la résolution fournirait les deux nombres cherchés. J'ai déjà dit que jamais il ne considère une équation entre le nombre, son carré et des unités.

M. Marie. — Histoire des Sciences^ \\. 3

34 Quatrième Période.

Dans le texte^ aussitôt après l'énoncé, Diophante ajoute : mais il faut que le carré de la moitié de la somme des deux nombres à trouver surpasse leur produit d'un carré.

C'est qu'en effet la solution qu'il donne conduit d'elle-même à notre formule usuelle : les nombres cherchés sont égaux à la moitié de la somme donnée, plus ou moins la racine carrée de la différence entre le carré de cette demi-somme et le produit donné.

En effet, dans l'exemple,

Q=4, d'où

mais 4 provient de loo moins 96 et 100 est le carré de {20 ; la formule de Diophante est donc bien

Viïï-^'

et il prouve parfaitement qu'il le sait, quoiqu'il ne le dise pas, car autrement il n'aurait pas pu énoncer la condition qu'il indique.

On peut remarquer que cette condition est à la fois la condition générale de possibilité du problème et la condition de solubilité par des nombres exacts.

Diophante prépare toujours ses questions de façon que les nombres cherchés soient commensurables; il choisit d'aboAi les nombres qu'il proposera de chercher, et il forme en conséquence les seconds membres des conditions auxquelles ces nombres doivent satisfaire.

De Diophante à Copernic .

Nous remarquerons encore, à propos de ce problème, qu'il serait difficile de supposer que Diophante n'ait pas aperçu l'analogie qu'il présente avec la question de Géométrie qui consiste à partager une ligne donnée en deux parties dont le rectangle soit égal à un carré donné; or, dans cette hypothèse, la figure même lui aurait révélé notre formule de résolution

Ainsi il est doublement impossible qu'il ait ignoré cette formule. Mais en la donnant naïvement, il se serait privé du plaisir de multiplier les questions.

Question XXXII.

Trouver deux nombres dont la somme soit un nombre donné et dont les carrés aient entre eux une différence donnée.

Soient 20 la somme donnée des deux nombres et 80 la différence donnée de leurs carrés. Représentons la différence des deux nombres par 2N; le plus grand sera 10 et iN et le plus petit 10 moins iN. La différence de leurs carrés doit être 80, mais elle est 48 N ; donc 40 N doit faire 80, par conséquent N égale 2, et les deux nombres cherchés sont 12 et 8.

Il est évident qu'ici encore Diophante a préparé sa question de façon que les nombres inconnus fussent rationnels.

Il a pensé deux nombres au hasard, 12 et 8, il en a fait la somme 20, il a fait leurs carrés 144 et 64, dont la différence est 80, et il propose de les retrouver d'après ces conditions.

Sa méthode n'en est pas moins générale, mais il est évident

36 Quatrième Période.

que ce qui Tempéche de la présenter convenablement est la crainte que le premier venu devienne ensuite aussi habile que lui.

Remarquons encore que Diophante se borne à dire que la différence entre (lo-^iN)- et(io— iNj- est 40 N, sans aucune explication.

Je pense que cela tient à ce qu'il n'a pas les démonstrations abstraites des règles qu'il applique

( I o 4- I N )- = î 00 -f- 20 N -F Q, et

(10 — iN)--- 100 — 20N -+- Q;

on ne trouvera ces démonstrations que dans Viète. Diophante tire sans doute ces règles des théorèmes d'Euclide, et il n'en dit rien, parce que l'aveu serait un peu humiliant.

Question XXXIII.

Trouver deux nombres dont la différence et le produit fassent deux nombres donnés.

Soient 4 la différence donnée et 96 le produit donné ; supposons que la somme des deux nombres soit 2N, le plus grand sera iN plus 2 et le plus petit iN moins 2. Il faut maintenant que le produit soit 96, mais ce produit est i Q moins 4 ; donc 1 Q moins 4 doit faire 96; donc iQ égale 100, d'où N égaie 10; par suite les deux nombres sont 12 et 8.

Question XXXIV.

Trouver deux nombres ayant entre eux une raison donnée et tels que la somme de leurs carrés ait avec leur somme une autre raison donnée.

De Diophante à Copernic.

Chacun des deux nombres s'exprime au moyen de Tautre, puisque leur rapport est donné; il n'y a donc aucune difficulté.

Question XL.

Trouver deux nombres en raison donnée, et tels que le carré du plus petit soit en raison donnée avec la somme de ces deux nombres.

Supposons que le plus grand doive être triple de l'autre et que le carré du plus petit doive être double de la somme des deux. Soit 3N le plus grand des deux nombres, le plus petit sera iN, et son carré seia iQ; quant à la somme des deux nombres, elle sera 4N; il faut donc que iQsoit double de 4N,ou que iQ égale 8N ; il en résulte que iN égale 8. Donc le plus petit des deux nombres e«;t 8 et le plus grand 24, et ils satisfont à la question.

Question I.

Trouver deux nombres tels que leur somme ait une raison donnée avec la somme de leurs carrés.

La question est indéterminée, mais, dans le cours de la solution, Diophante ajoute la condition que les deux nombres cherchés aient entre eux une raison donnée.

Quant à la solution, elle est trop facile pour que nous la rapportions.

Question II.

Trouver deux nombres en raison donnée et tels que leur différence ait une raison donnée avec la différence de leurs carrés.

38 Quatrième Période.

La raison de la différence des carrés des deux nombres à la différence de ces deux nombres est la somme des deux nombres; mais Diophante ne fait pas cette remarque, soit qu'elle ne se soit pas présentée à son esprit, ce qui serait étonnant, car le théorème lui était fourni par la Géométrie, soit qu'il n'ait pas voulu recourir à la Géométrie; quant au calcul algébrique, je crois qu'il ne le possède pas encore.

La même remarque s'applique à la question V,où l'on donne la raison de la différence des carrés de deux nombres à la somme de ces deux nombres.

Question III.

Trouver deux nombres en raison donnée, dont le produit ait une raison donnée avec leur somme ou avec leur différence.

Question IV.

Trouver deux nombres en raison donnée, dont la somme ait une raison donnée avec la somme de leurs carrés.

Question VI.

Trouver deux nombres, connaissant leur différence et l'excès de la différence de leurs carrés sur la différence donnée.

Diophante pourrait trouver immédiatement la somme des deux nombres, mais il ne procède pas ainsi, nouvelle preuve qu'il ne manie pas facilement le calcul algébrique.

Question VU,

Trouver deux nombres tels que la différence de leurs carrés surpasse la différence des deux nombres d'un nombre donné, et ait avec cette différence une raison donnée.

De Diophante à Copernic. Sg

La solution comporte encore la même remarque.

Questions VIII à XV IL

Dans ces différentes questions on propose de diviser un carré donné en deux carrés, ou de diviser une somme de deux carrés en deux autres carrés, ou de trouver un nombre, qui, ajouté ou retranché à deux nombres donnés, en fasse des carrés, ou dont les excès sur deux nombres donnés soient des carrés; ou de diviser un nombre en deux parties qui, ajoutées à un carré, donnent des carrés, ou telles que si l'on en retranche un carré on trouve des carrés; ou de trouver deux nombres, en raison donnée, qui, ajoutés à un carré donné, produisent des carrés.

Toutes ces questions se résolvent de la même manière. Prenons par exemple la première, et soit i6 le carré qu'il faut partager en deux carrés. Diophante suppose le premier carré représenté par iQ, dont le côté est iN, et il prend pour le côté du second carré un multiple arbitraire de N, diminué du côté 4 du carré 16. Le second carré est donc formé d'un certain nombre de Q, diminué d'un certain nombre de N et augmenté de 16, et il doit être égal à 16 moins iQ; en réduisant, comme 16 disparaît, il reste une égalité telle que

mQ-::7zN, ou

mN := 77,

ce qui donne pour N une valeur rationnelle.

Bachet de Méziriac dirait que c'est plaisant et délectable; je ne veux ni le contredire ni enchérir sur lui.

Les autres questions du second livre diffèrent des précédentes

40 Quatrième Période.

quant à la forme, mais le fond reste toujours le même et h méthode de solution se reproduit toujours.