LE LIVRE DES NOMBRES POLYGONAUX

Ce livre a en partie pour objet d'éclaircir ce que Théon de Smyrne avait laissé dans le vague, et de démontrer ce qu'il se bornait à énoncer; mais Diophante y a joint un certain nombre de questions dont nous nous bornerons à citer un exemple.

Proposition X.

Un nombre étant donné, trouver de combien de façons il peut être considéré comme polygonal.

On voit que Diophante n'avait pas le sens bien net des conditions dans lesquelles une théorie peut présenter de l'intérêt.

On voit clairement par cette analyse ce dont on est redevable à Diophante et ce qu'il a laissé à faire.

On ne peut pas dire que l'Algèbre, même élémentaire, soit

De Diophanie à Copernic.

sortie constituée de ses mains, et cependant on ne peut nier qu'elle n'y ait pris un développement très remarquable.

Assurément Archimède et Apollonius avaient, lorsque l'occasion s'en était présentée à eux, effectué des combinaisons tout aussi ingénieuses et souvent plus compliquées que celles qu'on trouve dans Diophante; j^ vais même plus loin : il est évident qu'aucun géomètre grec, si médiocre qu'il fût, ayant à construire deux lignes A et B connaissant leur somme G et la différence de leurs carrés, égale au carré d'une ligne D, n'aurait manqué de construire d'abord la différence des lignes cherchées, égale à la troisième proportionnelle à G et à D; et il se serait peu occupé de savoir si les cinq lignes seraient ou non commensurables entre elles. Mais dans Diophante ces transformations forment un faisceau méthodique, elles constituent une doctrine, sinon dans l'intention de l'auteur, du moins en fait.

Gar si Diophante avait bien vu le but auquel il tendait, au lieu d'un millier de problèmes, peut-être, car il nous manque six de ses livres, il aurait simplement traité ces deux questions, qu'il pouvait parfaitement résoudre :

Question I,

Trouver deux nombres N et N', tels que

mN =b ;2N'=:jt7 et ^N±:rN'=5.

Question IL Trouver un nombre qui satisfasse à une condition telle que

771 Qii: ;zN ^=p.

Mais justement il évite toujours cette dernière question.

44 Quartième Période.