PAPPUS
( Né probablement à Alexandrie vers 340 )
Pappus avait composé plusieurs ouvrages qui ne nous sont pas parvenus; ce sont : un Commentaire sur VAlmageste^ un Commentaire sur les Eléments d'Eiiclide, un Commentaire sur VAnalemme de Diodore. Peut-être en avait-il écrit d'autres dont nous n'avons pas même les titres. Il ne nous reste de lui que ses Collections mathématiques, d'ailleurs incomplètes. La traduction latine des six derniers livres de cet ouvrage a été publiée en 1 588 par Commandin, qui croyait les deux premiers totalement perdus. Mais une partie du second a été retrouvée depuis, elle a été publiée à Oxford par Wallis en 1688. Cette partie a trait aux inventions arithmétiques d'Apollonius; nous nous en sommes servis dans l'article consacrée ce géomètre. Enfin, M. Hultsch a donné dernièrement (Berlin, 1876- 1878) une nouvelle édition du grand ouvrage de Pappus, en grec et en latin.
Les Collections mathématiques paraissent avoir été écrites par Pappus pour offrir aux géomètres de son temps une analyse succincte des ouvrages les plus difficiles des anciens, et surtout les commentaires qui pourraient être nécessaires pour les entendre. Malheureusement nous n'y pouvons naturellement trouver que des indications fort vagues sur ce qu'il nous importerait le plus de connaître, c'est-à-dire sur les ouvrages qui ne nous sont pas parvenus, parce que ce qu'en dit Pappus, qui pouvait être très clair pour les contemporains, qui avaient les ouvrages entre les mains, demeure au contraire fort obscur pour nous ; d'ailleurs les préfaces de ses différents livres, qui contiennent ce qu'on pour-
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rait appeler ses causeries historiques, sont précisément les parties qui ont le plus souffert : il y manque à chaque instant des mots, des phrases et peut-être des subdivisions entières. Ce qu'il disait des Porismes d'Euclide, notamment, est si défectueux qu'on peut à peine aujourd'hui savoir ce qu'étaient ces Porismes.
Au milieu de ses commentaires, Pappus établit en grand nombre des propositions fort intéressantes, dont voici quelquesunes : si un point mobile partant du pôle d'un hémisphère, parcourt d'un mouvement uniforme un quadrant perpendiculaire à la base, pendant que ce quadrant fait, d'un mouvement aussi uniforme, une révolution entière autour de Taxe, l'espace compris entre la circonférence de base et la spirale décrite, sera égal au carré du diamètre de la sphère. C'est le premier exemple que Ton ait eu d'une surface courbe exactement quarrable.
L'étude de la surface hélicoïde rampante lui suggère ces remarques curieuses : la section de cette surface par un plan passant par une génératrice se projette, sur un plan perpendiculaire à l'axe, suivant une quadratrice de Dinostrate, et la section faite par un cône de même axe se projette sur le même plan suivant une spirale d'Archimède.
La théorie des transversales lui doit plusieurs théorèmes remarquables :
1° Si quatre droites fixes issues d'un même point sont coupées par une transversale quelconque, en quatre points placés dans Tordre a, b^ c, d, le rapport du rectangle ayant pour côtés ad et bc au rectangle compris sous ac et bd sera constant. C'est le principe fondamental de la transformation des relations métriques dans les figures homographiques, ou corrélatives.
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2° Si, un point pris dans le plan d'un triangle étant joint aux trois sommets, on mène à travers les six droites une transversale quelconque, le parallélépipède rectangle construit sur trois segments de cette transversale, détermines par ses intersections avec les six droites, et n'ayant pas d'extrémités communes, sera égal au parallélépipède rectangle construit sur les autres segments.
3^ Quand un hexagone a ses sommets placés trois à trois sur deux droites, les points de concours de ses côtés opposés sont en ligne droite. C'est un cas particulier du théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit à une conique.
4*^ Si a et a', b et b' , c et d sont les points où une transversale quelconque coupe les deux couples de côtés opposés d'un quadrilatère et le couple de ses diagonales, le parallélépipède rectangle construit sur trois segments de la transversale, n'ayant pas d'extrémités communes, est égal au parallélépipède rectangle construit sur les autres segments, ce que nous traduirions par Tune des équations équivalentes
ab.b'c.c'a' ^-^a'b' .bc' .c'a ab' . bec' a' :^ ac.c'b' .bd ab' . bc' . ca! r^ ad . cb' .bd .
C'est le début de la théorie de l'involution. que Desargues a beaucoup étendue : les six points a et d ^ b et b' ^ c et d , conjugués deux à deux, forment une involution.
Au reste Pappus ne se borne pas à démontrer les propositions que nous venons d'énoncer, il en fait au contraire de nombreuses applications. C'est ainsi, par exemple, qu'il établit la propriété
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du quadrilatère complet, que chacune des diagonales est divisée harmoniquement par les deux autres.
C'est très certainement Pappus qui a découvert le théorème sur la constance du rapport des distances d'un point d'une conique à l'un de ses foyers et à la directrice correspondante. Il le démontre en effet avec des détails que n'eût pas comportés une simple citation.
Quant au théorème connu sous le nom de Guldin^ il est énoncé dans les Collections mathématiques, comme nous le montrerons plus loin; et il y a lieu de l'attribuer à Pappus, quoiqu'il ne le démontre pas : d'abord parce qu'il ne se trouve dans aucun ouvrage antérieur, mais surtout parce que Pappus^ dans le passage où il en parle, paraît inviter les géomètres à en chercher la démonstration, ce qui prouve que le théorème était nouveau. Peut-être Pappus n'en avait -il pas une démonstration assez satisfaisante pour pouvoir la publier.
Descartes faisait beaucoup de cas de Pappus. Voici le jugement qu'il en porte : « Je me persuade que certains germes primitifs des vérités que la nature a déposées dans l'intelligence humaine, et que nous étouffons en nous à force de lire et d'entendre tant d'erreursdiverses,avaientdanscette simple et naïve antiquité, tant de vigueur et de force que les hommes éclairés par cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu au plaisir, Thonnéte à l'utile, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence, s'étaient fait des idées vraies de la Philosophie et des Mathématiques, quoiqu'ils ne pussent pas encore pousser les sciences jusqu'à la perfection. Or, je crois rencontrer quelques traces de ces mathématiques dans Pappus et Diophante a [Règles pour la direction de Vesprit.
4(S Quatrième Période.
Nous allons maintenant donner une analyse rapide des Collections mathématiques.
La traduction dont nous nous servons est celle de Commandin, rééditée en 1660, après sa mort, avec plus de soin que la première fois.
Cette édition ne contient encore que les six derniers livres; mais, comme nous l'avons déjà dit, nous avons, d'après Delambre, tiré de la partie du second livre, qui a été retrouvée depuis Commandin, ce qu'elle contenait d'intéressant, et nous n'y reviendrons pas.
Ce livre se compose de quatre petits traités distincts Le premier a trait au problème de l'insertion de deux moyennes proportionnelles. Pappus rappelle les solutions proposées par Ératosthène, par Nicomède et par Héron, et en donne ensuite une de lui.
Le second se rapporte à la construction des trois moyennes arithmétique, géométrique et harmonique entre deux longueurs. Pappus s'ingénie à réunir dans une même figure les solutions des trois problèmes.
Dans le troisième, Pappus se livre, on ne sait trop pourquoi, à une amplification sur la proposition d'Euclide, que la somme des distances d'un point de l'intérieur d'un triangle aux extrémités d'un côté est moindre que la somme des deux autres côtés. Il trouve admirables, puis très admirables, et enfin beaucoup plus admirables des lemmes un peu enfantins, dont voici le plus remarquable : On peut trouver dans l'intérieur d'un triangle non isoscèle des points tels que deux droites menées de l'un d'eux à
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deux points de la base fassent une somme plus grande que celle des côtés qui les entourent.
Le quatrième a pour objet la construction des cinq polyèdres réguliers et leur inscription dans la sphère. La solution indiquée par Pappus diffère, quant à la méthode, de celle qui se trouve dans le treizième livre des Eléments d'Eucilde.
Pappus s'y occupe d'abord du problème du cercle tangent à trois cercles tangents deux à deux extérieurement. A ce propos, il considère la figure nommée chez les anciens arbelos (serpe ^ serpette] dont Archimède s'était occupé dans ses lemmes, et qui se compose d'une suite indéfinie de circonférences tangentes à deux demi-circonférences et tangentes entre elles, comme l'indique l^fig. I.
Fig. I.
La hauteur du centre O de la première circonférence, au-dessus de la base AB de l'arbelos, est zéro fois le diamètre de cette première circonférence; la hauteur du centre O' de la seconde circonférence, au-dessus de la même base, est double du diamètre de cette seconde circonférence; la hauteur de O'' est triple du diamètre de O"; ensuite, le rapport devient 4, 5,6,
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Pappus revient ensuite sur les théories de la spirale d'Archimède, de la conchoïde de Nicomède et de la quadratrice de Dinostrate. Il développe les applications que l'on peut faire de ces courbes à la solution des problèmes de la rectification du cercle, de la trisection de l'angle, etc.
C'est dans ce livre que Pappus démontre les théorèmes que nous avons énoncés plus haut sur la spirale sphérique et sur la surface hélicoïde rampante, ou la surface de la vis à filet carré.
Pappus démontre d'abord que^ de tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, le plus grand est le polygone régulier , ce qui avait été fait par Zénodore; mais il étend les mêmes propositions aux solides.
Pour cela, il commence par refaire la théorie de la sphère, et il est remarquable que cette théorie est celle qui a prévalu dans l'enseignement moderne.
Il commence par évaluer la surface engendrée par un contour polygonal régulier tournant autour d'un diamètre du cercle circonscrit. Il trouve que cette surface est celle du cercle dont le rayon peut ce qui est contenu sous le diamètre du cercle inscrit au contour polygonal, et sous la projection de ce contour sur l'axe de révolution.
Il en conclut que la surface d'une zone sphérique est égale à celle du cercle dont le rayon peut ce qui est contenu sous le diamètre de la sphère et la hauteur de la zone.
Il démontre ensuite que le volume engendré par un triangle tournant autour d'un axe passant par un de ses sommets est égal à celui du cône qui aurait pour base un cercle égal à la surface
engendrée par l'un des côtés mobiles du triangle, et pour hauteur la hauteur du triangle correspondant à ce côté pris pour base.
Il en conclut, moyennant des théorèmes que nous n'énonçons pas, que le volume de la sphère est celui du cône qui aurait pour base un cercle égal à la surface de la sphère et pour hauteur le rayon de la sphère.
Il reprend alors la théorie des polyèdres réguliers, pour en comparer les éléments linéaires au rayon de la sphère circonscrite, et termine par faire voir que les volumes des cinq polyèdres réguliers inscrits dans une même sphère croissent avec le nombre de leurs faces.
