LIVRE VI

Ce livre se compose exclusivement de rectifications et d'additions aux Sphériques de Théodose, et de commentaires sur le Traité des distances d'Aristarque de Samos et sur le Traité des phénomènes d'Euclide.

C'est dans la préface de ce livre que se trouvent les appréciations, malheureusement trop incomplètes, de Pappus, sur les traités des géomètres antérieurs, relatifs à la recherche des lieux : les Données et les Porismes d'Euclide, les traités d'Aristée, d'Apollonius et autres.

C'est aussi dans cette préface que, sous le titre : Les huit livres d^ Apollonius, se trouve l'énoncé du fameux problème du lieu à trois, à quatre ou à un nombre quelconque de droites, problème qui avait été abordé par Euclide, sans trop de bonheur, à ce que disait Apollonius, à propos duquel celui-ci se montre très fier,

Quatrième Période.

dit Pappus, et qui a donné à Descartes l'occasion d'imaginer son système de coordonnées et la Géométrie analytique.

Ce problème, si l'on donnait trois droites, consistait à trouver le lieu des points tels que le rectangle des lignes menées de Pun d'eux, parallèlement à des directions données^ aux deux premières droites, fût en raison donnée avec le rectangle d'une ligne constante et de la ligne menée du même point à la troisième droite, également sous une direction donnée ; si l'on donnait quatre droites, il fallait que le rectangle des lignes menées d'un point du lieu aux deux premières droites fût en raison donnée avec le rectangle des lignes menées aux deux autres; si l'on donnait cinq ou six droites, il fallait que le parallélépipède rectangle construit sur les lignes menées aux trois premières droites, fût en raison donnée avec le parallélépipède rectangle construit sur les deux dernières lignes et une constante, ou sur les trois dernières lignes. Si l'on donne plus de six droites, ajoute Pappus, comme il n! existe pas de chose contenue sous plus de trois dimensions, la condition sera que la raison composée des raisons qu'ont les lignes menées aux droites du premier groupe avec les lignes menées aux droites du second groupe, si les droites données sont en nombre pair, ou, dans le cas contraire, avec les lignes menées aux droites du second groupe et une ligne constante, soit égale à une raison donnée.

Cela montre d'abord que du temps de Pappus l'Arithmétique et la Géométrie n'avaient pas encore fait alliance. Mais cela prouve aussi, comme je l'ai déjà remarqué, que Pappus savait parfaitement que la raison composée de plusieurs raisons ne change pas lorsqu'on échange entre eux d'une manière quelconque les antécédents ou les conséquents des raisons composantes, sans quoi

De Diophante à Copernic. 53

il eût certainement pris soin de préciser l'ordre dans lequel on supposerait accouplées, pour former les raisons composantes, les lignes menées du point du lieu aux droites du premier et du second groupe. Car, autrement, le problème du lieu à 2W droites lui aurait paru devoir comporter bien des solutions.

Je ferai remarquer ici que ce principe de Tinterversibilité entre deux des antécédents ou des conséquents des raisons qui peuvent concourir à former une raison composée, se présentait de luimême avec évidence, pour les anciens, lorsqu'il ne s'agissait que de deux ou de trois raisons, parce qu'ils n'abandonnaient jamais le point de vue concret. En effet, Euclide démontre que la raison de deux parallélépipèdes rectangles est la raison composée des raisons des arêtes de l'un aux arêtes de l'autre; mais deux parallélépipèdes n'ont entre eux qu'une raison, tandis que à Tune des arêtes de l'un, considérée comme hauteur, par exemple, on peut adjoindre chacune des arêtes de l'autre, pour lui faire jouer le même rôle.

C'est là un exemple de Téternel avantage que les considérations concrètes auront toujours sur les considérations abstraites, au point de vue du degré d'évidence dans les démonstrations.

Malheureusement, le domaine concret est borné, de sa nature, par exemple, aux trois dimensions, en Géométrie.

Comment Pappus se rendait-il compte de l'exactitude du même théorème dans le cas d'une raison composée de plus de trois raisons; je n'en sais rien; peut-être n'était-ce que par induction. Mais il est certain, et c'est la seule chose que j'aie voulu prouver, qu'il n'avait aucun doute au sujet de ce théorème.

Cette préface se termine par le passage célèbre oîi Ton voit, avec raison, un énoncé du théorème de Guldin.

54 Quatrième Période.

Ce passage est extrêmement obscur^ parce que quelques mots, peut-être quelques lignes ont été effacés si malheureusement, que les idées ne se suivent plus. Cependant on y trouve certainement le sens que donne Montucla :,Les figures décrites par une révolution complète ont une raison composée de celle de ces figures et de celle des lignes semblablement tirées de leurs centres de gravité sur l'axe y et la raison de celles décrites par une révolution incomplète est celle des figures tournantes et des arcs décrits par leurs centres de gravité, (Montucla aurait dû dire, dans le dernier membre de phrase : est la raison composée de celle des figures tournantes et de celle des arcs décrits par leurs centres de gravité. Il a momentanément oublié qu'il prenait la parole au nom d'un ancien.)

Au reste, voici ce passage^ d'après Commandin et d'après M. Hultsch :

« Perfectorum utrorumque ordinum proportio composita est ex proportione amphismatum, et rectarum linearum similiter ad axes ductarum a punctis, quœ in ipsis gravitatis centra sunt. Imperfectorum autem proportio composita est ex proportione amphismatum^ et circumferentiarum, a punctis, quœ in ipsis sunt centra gravitatis^ factarum. Harum circumferentiarum proportio dividitur in proportionem ductarum linearum, et earum, quas continent ipsarum extrema ad axes... angulorum.

Ce latin, quoique déjà moins mauvais que celui du moyen âge, brave encore tellement toutes les règles grammaticales, qu'il est absolument intraduisible; mais on y voit bien cependant à peu près le sens donné par Montucla.

M. Hultsch, dans sa traduction, ajoute quelques mots, placés entre parenthèses :

De Diophante à Copernic.

«t Figurœperfecfd rot atione genitœ proport ionem habent compositam, et ex rotantibus et ex redis similiter adaxesductis a gravîtatis centris^ quœ in rotantibus sunt. (Figurœ) imperfectâ (rotatione genitœ proportionem habent conipositam) ex rotantibus et ex arcubus quos centra in his gravitatis descripserunt . Sed, horum arcuum proportionem apparet compositam esse et ex ductis [ad axes] et ex angulis quos harum extrcmitates continent^ si ad axes fîgurarum rotatione genitarum sint. »

Enfin, M. Léon Rodet a bien voulu nous communiquer sa traduction faite sur le grec :

(( Le rapport des rotations complètes est composé à la fois de celui des figures tournantes, et de celui des droites semblablement menées sur les axes, de leurs centres de gravité. Celui des (rotations) incomplètes (est composé) de celui des figures tournantes et de celui des arcs qu'ont décrit les centres de gravité de ces figures; et le rapport de ces arcs est évidemment composé de celui des droites menées, et des angles compris entre les extrémités de ces droites, quand bien même ces extrémités seraient tout auprès des axes de rotation. «

Nous avons déjà dit que nous admettons que Pappus ait le premier entrevu cette belle proposition; mais il est bien singulier qu'il n'ait pas pris la peine de la démontrer; d'autant qu'il en avait au moins deux occasions toutes naturelles : l'une dans son huitième livre, consacré à la Mécanique, et Fautre dans le cinquième, où il refait précisément la théorie des surfaces et volumes engendrés par des lignes ou des surfaces tournantes.

Le septième livre, dont nous venons d'analyser la préface, se compose de 2 38 lemmes relatifs :

56 Quatrième Période.

Aux Porismes d'Euclide et aux Lieux à la surface, du même géomètre ;

Au Traité de la section déterminée ;

Au Traité des lieux plans;

Aux deux traités : Des inclinaisons et Des contacts ;

Enfin, aux huit livres des Con/^we^ d'Apollonius.

Les plus importants sont ceux^ au nombre de 38, qui se rapportent aux Porismes d'Euclide. C'est parmi ces lemmes que se trouvent les propositions relatives à l'involution des six points de rencontre d'une transversale quelconque avec les côtés d'un quadrilatère et ses diagonales ; à l'hexagone inscrit dans une conique réduite à deux droites; au rapport an harmonique; à la polaire d'un point par rapport à un cercle, considérée comme lieu des points conjugués harmoniques de ce point par rapport aux points de rencontre du cercle avec une transversale quelconque menée par ce pôle.

Nous avons vu qu'Apollonius considère sous le même point de vue la corde des contacts des tangentes menées d'un point extérieur à une conique quelconque. Pappus ne s'occupe ici que du cercle^ quoique, évidemment, il connaisse parfaitement le théorème d'Apollonius. Cette circonstance semble indiquer que le théorème relatif au cercle se trouvait déjà dans Euclide.

Il convient de signaler encore dans la même partie du septième livre un théorème remarquable, qui suggère immédiatement une méthode de transformation des figures, analogue à celle que Poncelet a déduite de la considération des pôles et polaires par rapport à une conique. Voici ce théorème, qui constitue le lemme XVII sur les Porismes :

De Diophante à Copernic.

Soient deux droites qui se coupent, OX et OY, et deux points Hxes, P et Q, arbitraires, mais tels que la droite PQ passe par le point O. Si Ton prend un point quelconque C dans le plan de la figure, qu'on joigne CP, qui rencontre OX en A, et CQ, qui rencontre OY en B; enfin qu'on joigne AB, la droite AB sera liée au point C; et, réciproquement, le point Csera lié à la droite AB, car si l'on se donnait AB, les droites PA et QB détermineraient le point C par leur intersection. Or, et c'est en cela que consiste le théorème, si l'on fait décrire au point C une droite UV, la droite AB pivotera autour d'un point fixe T, qui sera lié à UV absolument comme le point C l'est à AB, c'est-à-dire qu'on obtiendrait ce point T en marquant les points de rencontre U et V de UV avec OX et OY, et joignant PU et QV, qui concourraient en T; d'où il résulte que, si T décrivait une ligne droite, UV passerait aussi par un point fixe.

Ainsi à une droite correspond un point, que l'on peut appeler son conjugué, et à un point correspond une droite, qui sera, si l'on veut, sa conjuguée. Alors le théorème s'énonce ainsi : Si une droite tourne autour d'un point fixe, son conjugué décrit une droite qui n'est autre que la conjuguée de ce point .fixe.

Il est curieux de remarquer que Poncelet a retrouvé ce théorème de Pappus comme une conséquence de la Théorie des transversales. Il l'énonce comme nous venons de le faire, pages 232 et 233 du tome II de son Traité des propriétés projectives des figures. Il ignorait, au reste, que ce théorème se trouvât dans Pappus.

Il ajoute : « Si l'on remplace la directrice linéaire du sommet C par une courbe quelconque du degré m, le côté AB enveloppera une autre ligne que la discussion apprend être généralement du

58 Quatrième Période.

degré m [m— i ) et qui sera réciproquement le lieu des sommets G correspondant aux tangentes de la courbe proposée.

« Il paraît fort inutile que nous nous appesantissions sur ce nouveau mode de transformation des figures, puisqu'il n'aurait, sur celui qu'offre la théorie des polaires réciproques, guère d'autres avantages que ceux qui peuvent résulter d'un peu plus de simplicité dans les constructions et l'exposition des principes. »

Ainsi, d'après Poncelet lui-même, le théorème de Pappus suggérerait immédiatement une méthode de transformation des figures, plus avantageuse que la méthode des polaires réciproques et entièrement analogue. Mais Pappus n'avait pas songé à l'application qu'on peul faire de son théorème. Ajoutons en terminant que cette méthode de transformation n'aurait pas aujourd'hui d'intérêt, parce qu'elle dépend, comme cas particulier, de la Théorie générale desjîgures corrélatives.

Ce curieux rapprochement nous a été indiqué par M. Rouché, à qui nous devons beaucoup d'autres observations que nous avons été heureux d'utiliser.

Nous passons aux lemmes relatifs aux traités De la section déterminée et Des lieux plans d'Apollonius. Ce sont des théorèmes oti l'involution de six points se présente de nouveau dans des circonstances diverses et particulières. La proposition LXI et les suivantes ont pour objet la solution d'un problème de maximum, que Fermât a pris pour exemple dans l'exposition de sa méthode De maximis et minimis. Il s'agit de trouver, sur une droite contenant quatre points, a et a', b et b' , un point m tel que la raison des rectangles {am^ a'm] et (^m, b'm), soit une raison donnée, et d'examiner les cas où le problème devient impossible.

De Diophante à Copernic. dq

Nous remarquons parmi les lemmes relatifs au traité De tactionibus la proposition CXVIl, où Pappus donne la solution du problème d'inscrire à un cercle un triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés. Mais le cas qu'il examine est celui où les trois points donnés sont en ligne droite.

Enfin, parmi les lemmes relatifs au traité des Lieux à la surface, nous trouvons, proposition GCXXXVIII, la démonstration de la propriété des coniques d'être les lieux des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe sont dans un rapport constant, propriété qui avait échappé à Apollonius, au moins pour Tellipse et l'hyperbole, car il la démontre pour la parabole.