X -\- yY — 'o [x^y
capitule dont la chose x -\-y a une estimation qu'on peut trouver.
Le livre De Régula Aîi:{a forme une suite naturelle aux deux précédents. Dans le premier, Cardan, pressé de prendre posses-
De Copernic à Viète.
sion de son sujet, s'était arrangé de manière que les équations cubiques à résoudre eussent leur racine commensurable; dans le second, prévoyant le cas où les racines cubiques à extraire porteraient sur des irrationnelles du second degré, il prépare le calcul algébrique des expressions composées; dans le livre De Régula Ali\a^ il revient sur les règles établies dans le second, surtout au point de vue de la règle des signes, moins par plus et moins par moins.
La question n'avait pas lieu d'être posée par Diophante^ et je crois qu'il ne l'a pas posée en effet, mais elle était encore prématurée du temps de Cardan; car n'acceptant pas les solutions négatives des équations et s'arrêtant même devant les soustractions impossibles qui les fourniraient^ il n'a pas lieu de se poser la question de savoir comment ces solutions négatives satisferaient aux équations qui les auraient fournies; il n'a pas lieu de considérer des quantités négatives isolées.
Mais les mauvaises habitudes pédagogiques nées, soit de la paresse d'esprit des maîtres, paresse qui les portait à imposer à leurs élèves des règles à apprendre plutôt que des explications à écouter; soit de la croyance fausse à une plus grande facilité de s'assimiler les parties d'idées que les idées entières, portaient alors tout le monde savant, à pousser partout l'abstraction aussi loin que possible et, pour ainsi dire, au delà du point même où l'objet, séparé de l'ensemble dont il faisait naturellement partie, devait finir par n'être plus intelligible, perceptible, ni définissable.
Cette manie devait naturellement conduire Cardan à considérer dans
par exemple, 5 et — y/S séparément. C'est ce qu'il fit, à l'exemple.
Cinquième Période.
du reste, de ses prédécesseurs immédiats^ mais peu heureusement, car il serait bien difficile de dire s'il pensait que — par — fait plus, fait moins, ou fait les deux.
Non pas qu'il commette des erreurs lorsqu'il a à faire une multiplication de binômes, car, en pareil cas. s'il avait des doutes, il recourrait hardiment à un exemple : je veux dire que s'il était embarrassé pour multiplier
5 — y/3 par 7 — ^/2,
il examinerait la composition du produit de
5 — 2 par 7 — 3,
par exemple, et. au besoin, comparerait les résultats de ses essais au produit de
3 par 4.
C'est dans le raisonnement, qui, du reste, manque de base, qu'il laisse voir ses tergiversations.
Il dit très clairement, dans le Chapitre VI, intitulé De operationibus plus et minus, secundum communem usum :
Plus ductum in plus (ducere in veut dire multiplier par) , et diuisum per plus; et minus ductum in minus, et divisum per minus producunt semper plus, et ita{dQ même) plus in minus, vel minus in plus, vel plus divisum per minus ^ vel minus per plus, producit minus.
Mais il paraît que le commun usage n'est pas le sien, car dans le Chapitre XXII, intitulé De contemplatione plus et minus et quod minus in minus facit minus et de causis horum juxta péritatem, il professe une opinion différente.
De Copernic à Viète.
Il commence par répéter que la question est née de ce que l'on est obligé de considérer des expressions non réductibles, soit qu'elles contiennent des nombres dissemblables, rationnels et irrationnels, ou des nombres mêlés avec l'inconnue. Voici maintenant comment il traite la question : il suppose qu'on veuille faire le carré de i o moins 2, il prend AB = 10. BG — 2, puis il fait le
Fig. 18.
carré AE qui vaut 100 et le carré DF qui vaut 64; la différence est le gnomon GCE, qui doit valoir 36. Or, le rectangle GG vaut 16, ainsi que le rectangle DE, et ils sont certainement minus, puisque plus par minus faiit minus, mais ils valent minus 32, et si le carré DB était ^/m5, cela ne ferait que minus 28. Donc DB est minus 4. Donc minus par minus fait minus, et il invoque le témoignage d'Euclide! Mais Euclide n'a jamais décomposé le carré construit sur la différence de deux lignes qu'en parties ayant pour côtés ces deux lignes.
On lit un peu plus loin :
Igitur minus in minus, seu alienum in alienum (ce qui n'existe pas sur ce qui n'existe pas), et minus in plus, seu plus in minus, quod est in alienum^ seu alienum in id quod est , producunt minus solum, seu alienum.
G'est-à-dire : donc moins multiplié par moins, ou ce qui
264 Cinquième Période.
n'existe pas par ce qui n'existe pas, et moins multiplié par plus ou plus multiplié par moins, ne produisent jamais que moins, ou quelque chose qui n'existe pas.
Et idèo patet communis error dicentium qiiod minus in minus producit plus. Neque enim magis minus in minus producit plus quam plus in plus producat minus.
C'est-à-dire : et ainsi est mise en évidence l'erreur commune de ceux qui disent que moins par moins fait plus. Car m^oins par moins ne fait pas davantage plus, que plus par plus ne fait moins.
Ex hoc etiam patet quod diviso minus per plus exit minus, et diviso minus per minus exit minus et plus.
C'est-à-dire : il ressort aussi de là que moins étant divisé par plus il en sort moins et que moins étant divisé par moins il en provient moins et plus, parce que moins provenant indifféremment de moins par moins et de plus par moins, si on divise moins par moins on doit trouver moins ou plus.
Diviso autem plus per minus., nihil exit. C'est-à-dire : mais plus étant divisé par moins il n'en sort rien. Car, ou bien on trouverait plus, ou bien on trouverait moins, mais le quotient multiplié par le diviseur serait toujours moins, tandis que le dividende est plus.
Cependant, il éprouve un remords qui lui fait ajouter :
Et quia nos ubique diximus contrariiim, idèo doceho causam hujus, quare in operatione minus in minus videatur producere plus^ et quomodo debeat intelligi.
C'est-à-dire : et comme nous avons dit le contraire en divers endroits, j'enseignerai ici la raison pour laquelle, dans une opération, moins par moins paraît faire plus, et comment cela doit être entendu.
Il montre alors que Ton peut trouver plus comme moins, suivant la manière dont on a décomposé le résultat de l'opération. Il reprend alors le carré de 10 — 2, mais il l'exprime en fonction de I o et de 2 au lieu d'y mêler 8 ; et il trouve 1 00 — 2 . i o . 2 -f- 4, de sorte que — 2 x -- 2 fait 4- 4.
Il entremêle du reste tout cela de raisonnements sur la nature des quantités positives [et négatives que ne désavouerait pas Aristote; on l'excusera en songeant qu'un ouvrage classique, composé en France, il y a moins de quarante-cinq ans. pour les candidats à l'Ecole Polytechnique, était encore illustré de considérations de la même force.
\Senno de plus et minus.
Dans'ce discours Cardan reproduit d*abord son argumentation sur le signe du produit de deux quantités négatives et discute ensuite la solution que^Bombelli avait donnée, dans l'intervalle de ses propres publications, du cas où l'équation du troisième degré a trois racines réelles. Il fait un grand nombre d'objections à la théorie de Bombelli, qu'il expose cependant assez clairement.
Nous utiliserons ce Sefmo de plus et minus dans notre étude sur Bombelli, dont nous n'avons pas l'Algèbre.
Nous nous bornerons ici à rapporter le préambule de ce discours, parce qu'on y saisit encore plus clairement l'opinion bien formelle de Cardan que moins par moins fait moins.
Voici ce préambule :
« Alias scripsimus quantum ex demonstratione necessariiim visumfiiit qiiod totum concludit quod minus in plus et in minus producit minus. Ergo diviso minus per minus, producitur modo
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plus de modo minus. Vel si sunt duo minus divisa, poterunt prodeuntia esse plus et minus. Omnia vero quœ dividuntur per plus sunt similia diviso, ideo divisa plus per plus, producitur plus et diviso minus per plus exit minus, quod patet ex multiplicationihus.
Cest-à-dire :
a Nous avons écrit ailleurs que moins multiplié par plus, et moins multiplié par moins, produisent moins. Il en résulte que moins divisé par moins produit tantôt plus et tantôt moins. Ou bien si deux quantités négatives sont divisées l'une par l'autre, ce qui proviendra pourra être plus ou moins; mais toutes les choses qui sont divisées par plus donnent des semblables à ce qui est divisé : c'est-à-dire plus étant divisé par plus produit plus; et moins étant divisé par plus, il en sort moins. Ce qui est évident par la multiplication. »
Cependant cet apophtegme est immédiatement suivi d'un galimatias relatif au cas où un diviseur sera composé d'une quantité négative jointe à une quantité positive, galimatias auquel je n'ai rien compris, mais qui semble tendre à un amoindrissement de l'assertion précédente.
Il est très fâcheux que depuis près de cent ans qu'on n'apprend plus en France que le latin de la bonne époque, le gouvernement n'ait pas fait traduire en français les plus importants des ouvrages de Sciences écrits dans le jargon du moyen âge et de la renaissance, car ces ouvrages vont être totalement perdus pour nous, tandis que les étrangers les lisent encore couramment.
Nous n'avons rien trouvé à extraire des derniers ouvrages de Cardan, mentionnés plus haut, qui sont en grande partie remplis de mauvaise Physique et de mauvaise Mécanique.
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Si Cardan était un homme supérieur, il serait intéressant de connaître les fautes dans lesquelles il est tombé; mais ce n'est pas le cas.
