dA ^ dB

Z -h X — ; hX — ; h

-,, - d A ^, dB

.. rrzo,

dont on éliminerait X, X',

[o8 Trei:{ième Période.

Mais les quantités X, X', etc., sont en réalité des inconnues de la question, comme on va le voir, et les équations [3) les fourniront en même temps que les conditions d'équilibre.

Ces équations (3), en effet, contiendraient encore les conditions d'équilibre des m points proposés, entre lesquels la relation A = o viendrait à être supprimée, pourvu qu'en même temps ces points vinssent à être soumis à de nouvelles forces dont les composantes fussent, pour le point [x^y, :(],

dk dA dA

dx djr d:{

pour le point {x' y' :()

dA dA dA

La condition A = o équivaut donc à l'introduction de ces forces; ou, en d'autres termes, les liens matériels qui obligent les points considérés à remplir la condition A == o réagissent sur ces points, et leurs réactions ont pour composantes, au point (x,j^, ^),

dA dA dA

^Tx' ^IP' ^1^'

au pomt (x,j^ , ^

^A . dA dA

Il en serait de même séparément de chacune des autres conditions B = 0, C = o, ...

De Lagrange à Laplace. 109

Les équations précédentes donnent lieu à une autre remarque importante. La condition A = o, par exemple, pourrait être considérée comme l'équation d'une surface sur laquelle chacun des points, dont les coordonnées y entrent, pourrait se déplacer, les autres restant fixes, sans que les liens fussent rompus.

Si, par exemple, on y regardait x, y, \ comme seules variables, ce serait l'équation d'une surface sur laquelle le point {x,y^ ^) pourrait se déplacer, les autres restant fixes, en tant au moins qu'on n'aurait égard qu'à cette seule relation A = o.

Or il est facile de voir que la force appliquée au point (x, y, ^)

que Ion obtiendrait en composant a -t—, X --r— ? A -7- et qui,

comme on Ta vu, équivaudrait, pour le point (x, j^, ^),àla

réaction des liens qui assujettissent les points du système à

l'équation A r= o, il est facile, disons-nous, de voir que cette

force serait normale à la surface que représenterait l'équation

A = o, si l'on y regardait x,y^ \ comme seules variables.

Les coefficients angulaires du plan tangent à cette surface au

. ^ , , . ^ dA d\ dA

point [x^y, i) seraient en effet -j-, -j-, -^ ; par conséquent,

les équations de la normale à ce plan, menée de l'origine, seraient

\dx) \dy) UJ

cette normale serait donc parallèle à la résultante des trois forces

iio Treizième Période.

Considérons maintenant une suite de points matériels contigus formant une ligne flexible, extensible ou non, ou une surface aussi flexible, et de même extensible ou non, ou enfin un volume variable de figure, compressible ou non.

Les composantes de la force appliquée en chaque élément de la ligne, de la surface ou du volume seront données en fonction des coordonnées de l'un des points de l'élément (parce qu'elles ne pourraient pas varier d'une manière appréciable, dans l'intérieur de cet élément) et rapportées d'ailleurs à l'unité de longueur, de surface ou de volume. Les composantes de la force véritablement appliquée à cet élément seront donc ces mêmes fonctions connues des coordonnées d'un de ses points, multipliées respectivement par l'étendue de l'élément.

Ainsi, en désignant d'une manière générale par x, y, :{ les coordonnées d'un des points de la masse, et par de l'élément dont ce point fera partie, les composantes de la force qui y sera appliquée auront pour expressions les produits par de de trois fonctions X, Y, Z des coordonnées x^y, ;(. Ce seront

y^de, Y de, Zde.

Cela posé, les conditions d'équilibre exigeraient que^ la masse des points considérés venant à subir un déplacement quelconque, compatible avec ses liaisons, la somme des travaux correspondants des forces qui les sollicitent fût constamment nulle.

Or, pour déterminer le mouvement de la masse entière, on pourra imaginer que les coordonnées d'un point quelconque de cette masse subissent des variations extrêmement petites repré- * sentées par des fonctions oxy ly, 8^ de ses coordonnées x^y^ ^;

De Lagrange à Laplace.

en sorte que ce serait le choix de ces fonctions qui déterminerait le déplacement d'ensemble de la masse entière. Dans cette hypothèse, on devra avoir

^{Xdecx-\-Yde^jr-^Zde^:{) — o,

quelles que soient les fonctions 8jc, ^jr, S^c, pourvu que le déplacement correspondant au choix de ces trois variations soit compatible avec les liaisons du système, et la somme, qui sera une intégrale simple, double ou triple, selon qu'il s'agira de points formant une ligne, une surface ou un volume, s'étendant à toute la masse.

Si le lieu des points considérés était extensible ou compressible, la loi suivant laquelle Textension ou la compression dépendrait, en chaque point, de la pression exercée, établirait des relations entre les variations des points de l'ensemble, voisins les uns des autres, et ces relations rempliraient l'office des équations A = o, B = o,..., du paragraphe précédent.

Supposons, pour plus de simplicité, qu'il s'agisse d*un fil inextensible : la condition à laquelle devront alors satisfaire deux points infiniment voisins sera que leur distance mutuelle reste constante.

Si ^iXi ^ ^t X -{- dx,y -H dy^ ^ + ^^ sont les coordonnées de deux points infiniment voisins du fil, dans la position d'équilibre, le premier venant en [x ^Zx^y -\-ùjr, ^-1-8^), par suite du déplacement virtuel, le second parviendra en

X ^ dx -\-o{^x -^ dx), y-+-dy-{-o{y-\-dy], \ î + ^^ + 2(^4-i;f^);

les caractéristiques 8 désignant ici des fonctions infiniment petites

Treizième Période.

et d'ailleurs distinctes de x, y et :{, qui restent les mêmes lorsqu'elles portent sur x -h dx,y -t- dy^ ^-^d:{; tandis que la caractéristique d désigne pour x un accroissement constant et arbitraire, et pourj^ et :{ des accroissements correspondants, mais dépendant de dx, en raison de la figure affectée par le fil. Or, concevons à Sx une forme 9 (x), 8(x -h dx) sera représentée alors par

9(x-i-^jf) ou par 9(x) -f- cp'(x)^x, c'est-à-dire par

ou, pour abréger,' par Bx -h d{^x).