X -h ox -\- dx -h d ox; de même
y -\- dy -h B{y -\- dy)
et
:{-\-di-\-o{:r-^cli)
seront exprimés respectivement par
r -h ^y -^ dy -h d oy et
Cela posé, la condition que deux points infiniment voisins aient conservé leur distance mutuelle s'exprimera par l'équation
dx- + dy^ 4- di^ — (dx -{- d cx)^
-i-{dy-td^y)^-h(d:{-}-d^]^,
De Lagrange à Laplace. 1 1 3
OU bien
o = dx.d{ox)-^ dy.d{oy) 4- d:{.d[oi),
en négligeant la somme
qui serait du quatrième ordre, tandis que la précédente est du troisième.
L'équation précédente, que Ton peut écrire
devrait être supposée répétée pour chacun des points de la corde. 11 faudrait, pour continuer l'analogie, en multiplier les formules successives par des indéterminées X, X',. • ., ajouter les résultats au premier membre de l'équation
S(X^5 Zx-hYdsZy->rZds Z^] = o
et égaler séparément à zéro les coefficients de toutes les variations. Mais l'indéterminée X qui multiplierait Féquation
relative au point {x^y, :{), cette indéterminée, obtenue, s'il était possible, par le procédé applicable au cas d'un nombre limité de points, varierait continuellement avec x,y, ^; en d'autres termes si la solution pouvait être obtenue par ce procédé, elle fournirait X en fonction de x,y, i.
Il est donc naturel de substituer à la recherche impossible de la valeur numérique de X, correspondant à chaque point du fil, celle de la fonction propre à la représenter.
M. Marie. — Histoire des Sciences, IX. 8
114 Treiiçième Période.
Dans ce nouvel ordre d'idées, la somme qu'on aurait dû faire
devient l'intégrale
et l'équation de l'équilibre, elle-même, est alors, en remplaçant de par ds
fds{XBx-i-Y^jr-^^k) mais l'intégration par parties donne
En faisant la substitution, ordonnant par rapport à ox, oy et ^ séparément et indiquant les limites, l'équation d'équilibre devient
l ds ds ^ ds ^Jx„jo^-o
De Lagrange à Laplace. 1 1 5
(xo, j^o, ^o) et (jc,,j^„ i{,) désignant les coordonnées des extrémités du fil.
Or, pour que cette somme soit nulle quelles que soient les fonctions ^x, oy^ et ôj{, il faudra évidemment d'abord qu'on ait en chaque point
Xds-
Adx
Yds-
Zds-
Adz
(car on pourrait supposer toutes les variations, autres que celles qui se rapportent au point xjr:^^ infiniment petites par rapport à celles-ci), et, en outre, que les variations des coordonnées, aux points extrêmes du fil, satisfassent à la condition
Les trois équations entre (x, y, ;j), (X, Y, Z) et X, si l'on pouvait en éliminer X (qui du reste, en vertu de la théorie exposée dans le paragraphe précédent, représente la tension du fil en chaque point), donneront les rapports deux à deux des composantes X, Y, Z de la force appliquée en chaque point, si la figure du fil est donnée; ou bien ce seront les équations mêmes de la courbe affectée par le fil, si c'est la force qui est donnée en fonction de X, y, :(,
Quant à la condition relative aux limites, on y remplacera d'abord ).o et X, par leurs valeurs connues, d'après ce qui précède;
Trei:^ième Période.
les variations des coordonnées des deux points extrêmes y seront déterminées en partie, en raison des conditions géométriques données, et elle liera entre elles les variations restantes.
Application.
Cherchons, par exemple, la forme d'équilibre affectée par un fil flexible, fixé par ses deux extrémités et soumis seulement à l'action de la pesanteur.
L'axe des :{ étant pris vertical et dirigé de bas en haut, X et Y m seront identiquement nuls; Z, en supposant la densité du fil égale à i , sera — g'; les équations à résoudre seront donc
j'kdx
qui donnent immédiatement
ds ds ' ds °
Les deux premières, divisées membre à membre, donnent
dr C dx~C'
équation qui montre que la courbe cherchée est plane, ce qui permet d'introduire une simplification. En supposant en effet qu'on
De Lagrange à Laplace. 1 1 7
ait pris pour plan des :[x le plan vertical passant par les deux points fixes, les équations se réduisent alors à
^ dx ^ ^ , dr ^
d'oti l'on tire, par l'élimination de X,
OU
C'est Téquation différentielle de la chaînette.
Calcul des différences.
Les premiers éléments de cette théorie se trouvent, comme nous Tavons vu, dans les œuvres de Leibniz; Jacques Bernoullien a donné la formule fondamentale dans son mémoire sur le problème des isopérimètres ; Nev^ton avait auparavant résolu le problème de la parabole de degré m passant par m -h i points donnés, dont les abscisses fussent en progression arithmétique; c'est Lagrange qui a donné la dernière main à la théorie dont il s'agit; c'est à lui qu'on doit la solution générale du problème de l'interpolation; c'est lui qui a donné aux formules la forme élégante qu'elles ont aujourd'hui, et c'est d'après lui qu'on a pu substituer
Treizième Période.
à la pénible exposition de Newton une explication simple de sa méthode d'interpolation.
Le calcul des différences a pour objet principal la formation de règles propres à simplifier les calculs numériques destinés à donner les résultats des substitutions, dans une fonction d'une variable, de valeurs de cette variable formant habituellement une progression arithmétique.
Considérons une suite de nombres
Uq, Wj, U^t • • • ) u,fi ;
on nomme différences premières de ces nombres les différences Ces différences premières sont représentées par les symboles
AMo, AMi, ..., ^U;n-l.
On nomme différences secondes des nombres composant la suite, les différences
^U^ — AMo, AW2 — AMi, . . . , Am,„i — ^Um-iJ
on les représente par les symboles
et ainsi de suite.
Une différence de l'ordre j? dépend de^ 4- i termes, ainsi ^pU^ dépend de
Wo, Wi, u^t . . ., Up.
Par réciprocité, un terme de la suite dépend d'un des termes précédents et des différences de ce terme précédent jusqu'à l'ordre marqué par la différence des rangs des deux termes, c'est-à-dire
De Lagrange à Laplace.
que Up dépend de
Mo, AMo, A^Wo, ..., Aj,Mo.
Nous commencerons par chercher les formules qui traduisent ces relations importantes et que nous avons déjà rencontrées dans l'établissement des bases du calcul différentiel.
Exprimons d'abord une différence d'ordre^ en fonction des termes dont elle dépend :
Amo =: w, — Wo, par la définition même; d'un autre côté, Ami =«2 — Mi; il en résulte par soustraction,
A-Wo = «2 — 2Mi -f-Mo;
la formule de A2 Mo, en y augmentant les indices d'une unité,
donne
A^Mj = «3 — 2M2 + Mi;
et si l'on retranche A^ Mo de A^ u^, il vient :
A'mo ^= "s — 3 Mj -h 3 Ml — «0 ; la formule de A' Uq donne de même
A'Mi =: M4 — 3 M3 4- 3 M2 — Ml,
d'où, en retranchant,
A*Mo rrr M4 — 4M3 -f- 6M2 — 4M1 4- Mo;
etc.
On pourrait continuer ainsi indéfiniment; mais la loi de formation des différences successives ressort suffisamment de ce qui précède : les coefficients des différents termes qui composent la différence de Tordre p sont les coefficients de la puissance p du
I20 Treizième Période.
binôme X — a, c'est-à-dire que
pip — i]
Car pour passer de I^^Uq à A'?-*-^Wo, il faut ajouter le coefficient d'un terme de A'?m, au coefficient du terme précédent dans A^Wo-
Cherchons maintenant l'expression d'un terme quelconque en fonction d'un terme précédent et de ses différences successives.
On a, par définition,
Ml =: Uq -\- AMo
et
Ami = AmoH- A^Wo;
en ajoutant ces deux formules, il vient
Ui -h AMj = 1/2 = Wo h- 2 AMq -r- A^Wq.
Cette nouvelle formule, en y augmentant les indices d'une unité, donne
«3 =illi-{- 2 AWi -h A-Mj,
on en conclut^ par soustraction,
AM2 = Aî/o + 2 A-Wo 4- A^Wo ; et, en ajoutant Awg à u^,
«3 r=r Z/o + 3 AMo h- 3 A-Mo -h A^Wqi
et ainsi de suite; on voit que la formule générale est
Up — UQ-\-p Awo -+- ^-^ — A-Wo -h . . . + A/'Mo-
Lorsque les nombres qui forment la suite que l'on considère sont les résultats des substitutions dans une fonction /(x), de dif-
De Lagrange à Laplace.
férentes valeurs données à la variable, si Xo, x^^ x.^ . . . sont les valeurs attribuées à x, on a un type général et algébrique des nombres considérés, ce type QsXf[x)^ puisque les nombres désignés par Moî "ij "2 sont
f[x^), f[x,), /(Xa), ....
On peut se proposer d'obtenir de même une formule algébrique des différences premières, puis une autre pour représenter les différences secondes et ainsi de suite ; mais la première condition de réussite, dans cette recherche, est évidemment de fixer une loi de variation pourx. Il est clair en effet que si les nombres Xo, Xi . . . , Xm étaient complètement indépendants les uns des autres, on ne pourrait établir aucun lien entre les différences premières de la fonction, ni par conséquent exprimer ces différences au moyen d'une même formule.
On suppose, ce qui est la loi la plus simple et la seule pratique, que les valeurs de x soient en progression arithmétique.
Dans ce cas le type général des différences premières de la fonction est évidemment
h désignant la raison delà progression des valeurs de x.
Soit ç (x) cette fonction dt x ou h ^st une constante, il est clair que le type général des différences secondes de la fonction
sera de même
Ay(x) = cp(x + /i)-4,(x).
Cette formule type étant de même désignée par ^ (x), les différences troisièmes de la fonction seront encore représentées par
■i/[x + h)--if[x),
et ainsi de suite.
Si l'on suppose que la fonction /(jc) soit développable par la formule de Taylor dans Tintervalle des substitutions, on pourra écrire
on aura de même
et encore
En général on aura
Si l'on applique la méthode à un polynôme algébrique de degré m, la différence première de ce polynôme ne sera plus que du degré m — i ; la différence seconde ne sera plus que du degré m — 2, et ainsi de suite. La différence d'ordre m sera une constante.
Chacun des développements qui précèdent sera alors terminé, puisque la dérivée d'ordre m-h i sera nulle, ainsi que les suivantes.
^f(x) aura donc m termes, ùy^f\x) n'en aura plus que m — i, etc., la m^ème différence n'en aura plus qu'un seul; mais comme
A-/(^)=/m(Ar)A-+..., si le polynôme proposé est
De Lagrange à Laplace. i23
sa miè°^e dérivée étant
m(m — i) . . . 2. 1 Ao, la différence de l'ordre m de ce polynôme sera m{m— i) . . . 2. 1 Ao/^"^
Il résulte de là un moyen très simple d'obtenir les résultats des substitutions de nombres en progression arithmétique dans le premier membre d'une équation algébrique entière : il suffit d'en faire directement [m -h i ), on peut ensuite prolonger le tableau des résultats, sans plus avoir à faire que des additions.
Nous avons vu que la question avait été résolue par Leibniz.
Prenons pour exemple un polynôme du quatrième degré
AT* — 2x^-h 5x2— 3 AT H- 4 :
supposons que nous voulions faire des substitutions entières, et prenons i pour raison de la progression formée par les valeurs de X.
Nous commencerons par substituer les nombres o, i, 2, 3, 4 : les résultats des substitutions seront
les différences de ces résultats sont
les différences secondes sont
les différences troisièmes
enfin la différence quatrième est
[24 Trei^^ième Période.
Toutes les différences quatrièmes ayant pour valeur constante 24, 24 est donc la différence entre la dernière différence troisième calculée et la suivante; celle-ci est donc 72. 72 forme donc la différence entre la dernière différence seconde calculée, 84, et la suivante, celle-ci est donc i56, en ajoutant de même i56 à la dernière différence première i33, on a la suivante 289, enfin en ajoutant 289 à la dernière valeur calculée du polynôme, 200, on a la suivante 489, qui correspond à jc = 5, et ainsi de suite.
Le même tableau initial peut aussi servir à former les résultats des substitutions descendantes — i , — 2, ... En effet, puisque 24 est la valeur constante des différences quatrièmes, la première différence troisième calculée étant d'ailleurs 24, la précédente devrait être o. Cette nouvelle première différence troisième étant o, la nouvelle première différence seconde devrait être 12, etc. En remontant ainsi, on trouve que r5 est le résultat delà substitution de — I k X dans le polynôme proposé, et l'on continuerait ainsi indéfiniment.
Il n'y a que les polynômes algébriques dont les différences d'ordres supérieurs finissent par devenir toutes nulles, en sorte que ce qui vient d'être dit relativement à la formation du tableau des résultats des substitutions, semblerait ne devoir être applicable qu'aux fonctions algébriques entières; mais l'une des applications de la théorie des différences a pour objet la construction d'expressions algébriques entières capables de remplacer, d'intervalles en intervalles, et avec une suffisante approximation pour les besoins de la pratique, toutes sortes de fonctions.
La fonction algébrique entière, destinée à remplacer une fonction plus compliquée, étant une fois obtenue, c'est à cette
De Lagrange à Laplace. i25
fonction entière qu'on applique la méthode qui vient d'être exposée.
La recherche de cette fonction entière constitue le problème de l'interpolation, qui a été traité d'abord par Newton, dans un cas particulier, et, finalement, par Lagrange, dans le cas le plus général.
Nous commencerons par poser la question elle-même, avant d'indiquer les deux solutions auxquelles nous venons de faire allusion.
L'interpolation, en général, a pour objet la construction d'une formule empirique propre à représenter exactement les résultats d'expériences faites, et à donner approximativement ceux qui correspondraient aux cas intermédiaires, non observés directement.
La forme analytique de la fonction à l'aide de laquelle on se propose de représenter approximativement la marche de la variable continue dont on veut exprimer une valeur quelconque, cette forme est toujours plus ou moins arbitraire ; aussi trouvet-on souvent un grand nombre de formules interpolatrices pour représenter la loi d'un même phénomène; mais le choix, loin d'être indifférent, doit, au contraire, toujours être éclairé par une discussion approfondie, oti la sagacité, malheureusement, aura à jouer le principal rôle.
Tout ce que l'on peut dire de général à cet égard, c'est que, si le phénomène étudié présente un cas simple qui ait pu être traité théoriquement, il conviendra de former autant que possible les formules empiriques, relatives aux autres cas, sur le type de la formule connue : on ajoutera ordinairement à celle-ci un terme de correction contenant la cause perturbatrice.
126 Tre^ième Période,
Dans les formules d'interpolation dont on se sert le plus souventj et que nous allons faire connaître, l'effet à évaluer est représenté par une expression algébrique entière, c'est-à-dire par un polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de la cause. La forme entière présente plusieurs avantages dont il est facile de se rendre compte : en premier lieu, la fonction, sous cette forme, ne comporte jamais qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable ; or, presque tous les phénomènes physiques présentent ce caractère remarquable, que la grandeur de la cause détermine d'une manière absolue celle de l'effet correspondant.
On doit remarquer, d'ailleurs, que si l'on avait la représentation analytique exacte de la valeur de l'effet, le développement de la formule, suivant la série de Taylor, ferait précisément retomber sur la forme entière.
Enfin, cette forme se trouve en quelque sorte indiquée d'avance, dans tous les cas si fréquents où les variations de l'effet se trouvent restreintes dans d'étroites limites lors même que la cause subit les plus grands écarts.
Il existe toujours un polynôme de degré m au plus qui prenne m -f- I valeurs définies, pour m + i valeurs données de la variable et il n'en existe jamais qu'un seul : c'est ce polynôme qu'il s'agit de former. Il est donné dans deux cas différents par les formules dues à Nev^ton et à Lagrange. La formule de New^ton se rapporte au cas où les valeurs de la variable sont en progression arithniétique; c'est celui qui se présente le plus fréquemment dans la pratique, et le calcul arithmétique des coefficients du polynôme est alors plus simple; la formule de Lagrange s'applique, quelles que soient les valeurs de la variable.
De Lagrange à Laplace. ii'j
Il sera intéressant de rapprocher ce qui va suivre de ce que nous avons extrait, dans notre cinquième volume, des œuvres mêmes de Newton.
Soient
Xq, XQ^hy Xo-^2h, ..., XQ-\-mh
les m valeurs de la variable x,
Z/O) Wj, I/gj • • • > ^m
les valeurs correspondantes de la fonction, fournies par l'expérience, et
les différences des divers ordres de Uq. On a vu qu'on pourra exprimer l'une quelconque Up des valeurs u^fU^^ ...■, u,n 3lu moyen de la formule
-h ^-^-3 AWo+...,
qui s'arrête d'elle-même, après le (^ -h i )i^°^® terme, les suivants contenant tous en numérateur le facteur {p — p).
On peut considérer le second membre de cette formule, c'est-àdire l'expression
comme une fonction de^, et Ton voit que cette fonction, dont le degré est infini, prend les valeurs
Wo, M„ ih, ..., u,n pour les valeurs
28 Trei:{ième Période.
de la variable p; mais elle conserverait les mêmes propriétés si on l'arrêtait au terme
puisque les termes suivants n'entrent dans la composition d'aucune des valeurs
La fonction ainsi limitée deviendra un polynôme de degré m en 5?; ce ne sera pas encore le polynôme cherché, puisque les valeurs données Wq? "!,•••» T^m de la fonction ne correspondront pas aux
valeurs, aussi données Xq, x^-^h^ , jCo + m/z de la variable ;
mais une simple transformation de variable suffira pour obtenir la solution définitive de la question : il ne s'agira en effet que de remplacer/? par une fonction de x,-p =cp(x), qui, pour les valeurs
de a:, prenne les valeurs
La recherche de cette fonction 9 (x) constituerait bien, il est vrai, une nouvelle interpolation ; mais les variables croissant maintenant toutes deux en progression arithmétique, on sait d'avance que la formule interpolatrice se réduira au premier degré
^ = A-}-Bx;
la détermination des coefficients A et B résultera, d'ailleurs, simplementdedeuxsubstitutions^ r= o, x = Xq etp = i,x=:XQ-h h. Ces substitutions donnent pour A et B les conditions
o = A -t- B Xo
et
d'où l'on tire
et par suite
De Lagrange à Laplace. 129
I = A-T- B(xo-h/z),
B=:;i et K^-"^ h h
Ainsi, en remplaçant ]p par — r — ^ dans la formule
on aura la formule d'interpolation que nous voulions faire connaître, et qui est celle à laquelle conduiraient les longs calculs indiqués par Newton :
\ X — x,,\[x — Xq — h
fjtr — XolfjkT — Jfo— h.\ ... [jc— .To — (m — i)/?]
A^Mo -r- . . .
jr — x^ — (wi — \\h'\
A'"Wfi
On arrive plus directement à la formule de Lagrange : dans cette formule le polynôme interpolateur se compose de m 4- i parties dont chacune à son tour prend l'une des valeurs données delà fonction, pour la valeur correspondante donnée delà variable, tandis que toutes les autres s'annulent alors.
M. Marie. — Histoire des Sciences, IX, 9
Treizième Période,
Soient
•^Oi ^\i ^2) • • -y ^ m
les m 4- I valeurs données de la variable^ et
Wo> ^'iî ^2, • • • 1 î^m
les valeurs correspondantes de la fonction : la partie du polynôme interpolateur qui s'annulera pour les valeurs XijATs.. . ., x,n de X aura nécessairement la forme
A désignant une constante, puisque l'expression ne doit être que du degré m; d'ailleurs, pour que cette partie se réduise à Mq pour a:=jco, il suffira que A soit déterminé par la condition
Wq ^=^ A \ Xq X^ ] [ Xq X^ j . . . ^ ATo — Xjfi j .
Ainsi cette première partie sera
[X — XC\[X — Xo) . . . [X — X,n\
(Xo — Xi) (Xo — X2) ... (Xo — Xjn)
la seconde sera de même
[Xi — Xo) (Xi — X2) ... (Xi — X„i)
wo;
et toutes les suivantes se formeront d'après la même loi. La sommation de tous ces polynômes donnera la formule cherchée.
De Lagrange à Laplace. i3i
