TRAVAUX DE MONGE
Les efforts de Monge ont eu pour conséquences d'importants progrès dans trois directions distinctes.
Nous avons eu plusieurs fois l'occasion de dire les tentatives qui avaient déjà été faites pour donner aux architectes, aux mécaniciens, aux ingénieurs des procédés pour représenter les objets en relief et pour effectuer les constructions dans l'espace. Monge rassembla ces procédés, les compléta, en régularisa l'application et fit de leur ensemble une méthode scientifique d'un usage sûr et commode, sous le nom de Géométrie descriptive.
Nous avons dû insister précédemment sur l'indétermination considérable qui pèse naturellement sur l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles : Monge caractérisa définitivement ce genre d'indétermination, pour les équations du premier ordre à trois variables, et fut ainsi amené à la conception d'une classification des surfaces en familles définies par une propriété de leurs plans tangents.
Enfin Monge, sans songer encore à réaliser les imaginaires en Géométrie, eut la hardiesse de lesyconsidérer^ à l'état d'intermédiaires entre les données et les inconnues, également réelles, et de formuler le principe fécond des relations contingentes qui a été le point de départ des belles recherches de Poncclet.
Nous allons dire quelques mots de chacune de ces nouveautés.
Géométrie descriptive.
Cette branche de la Géométrie générale ne fait pas, à proprement parler, partie de la Science pure : c'est plutôt un art parti-
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culier, d'un grand prix pour les praticiens, mais d'une valeur relativement médiocre en théorie. Le but principal de la Géométrie descriptive est de fournir les moyens de réaliser indirectement, mais d'une manière équivalente, les constructions projetées dans l'espace. Elle supplée au défaut irrémédiable d'un tableau à trois dimensions, par l'association de deux tableaux à deux dimensions. CestableauXj formés habituellement de deux plans rectangulaires, reçoivent les projections orthogonales des points de l'espace, et, comme le couple des projections d'un point détermine la position de ce point dans l'espace, le mode descriptif de représentation remplit à la fois les deux conditions essentielles de définir l'objet et de ne s'appliquer qu'à lui. Il convient toutefois de remarquer que la Géométrie descriptive manque et manquera nécessairement toujours des moyens de représenter directement les objets qui, par leur nature, forment l'élément essentiel de la Géométrie à trois dimensions, nous voulons dire les surfaces. Les figures descriptives d'une surface, sur les deux plans de projection, n'y formeraient en effet que des plaques où les contours resteraient seuls distincts. Les surfaces ne peuvent être figurées descriptivement que par les projections de leurs génératrices, prises dans des positions voisines, mais nécessairement séparées par des intervalles finis. Cette considération seule suflSra toujours pour faire refuser à la Géométrie descriptive les caractères d'une Science indépendante : si on la relie à la Géométrie spéculative, on ne peut plus y voir qu'un mode de représentation propre à permettre la réalisation des conceptions de l'esprit et, par suite, à faciliter les recherches, en en fixant à mesure les résultats.
Le problème général de la Géométrie descriptive peut être énoncé dans les termes suivants : la figure descriptive d^un objet
De Lagrange à Laplace. i33
étant donnée, lui faire subir les modifications correspondant à des modifications définies de l'objet lui-même. Les relations entre l'objet et sa figure étant trop peu directes, la plupart des méthodes employées en Géométrie descriptive sont détournées ; telle est, par exemple, la méthode des rabattements, qui consiste à ramener dans Tun des plans de projection les figures planes qui peuvent être considérées, à effectuer directement les constructions voulues sur ces figures, sans l'intermédiaire de leurs projections, et à obtenir après coup les projections des résultats. Telle est aussi la méthode des rotations, qui s'emploie de la même manière. Ce n'est guère que pour les intersections et les tangentes que les procédés restent ce qu'ils devraient être partout : opérer sur la figure pour opérer sur le figuré.
Quoi qu'il en soit, la Géométrie descriptive a rendu et rendra toujours les plus grands services aux ingénieurs et aux constructeurs. Elle remplit donc parfaitement les vues de son illustre créateur, Monge.
De V interprétation d'une équation aux dérivées partielles.
Nous avons déjà dit quelle large indétermination une équation aux dérivées partielles laisse peser sur l'intégrale correspondante. C'est à Monge que l'on doit quelques indications précises sur ce genre d'indétermination.
Considérons une équation finie entre x, y et ;{, mise sous la forme
ftlfx désignant deux fonctions connues de x, àty et de ^; si on
1 34 Treiifième Période.
la différentie successivement par rapport k x et ^ d'abord, par rapport à j^ et i{ ensuite, de manière à introduire les dérivées partielles
dx ajr
de ^ par rapport à jc et à j^, on aura :
df\dx d:{ dx ) d/\\dx d^ dx / et
df\d^ d^dj-J • df,\djr d^ dy d'où l'on déduit, par division,
dl^dfd^ df\^df\d^ dx d^ dx dx d:{ dx
dy d^ dy dy d^ dy
équation où il ne reste plus trace de la fonction 9.
Cette équation du premier ordre, aux dérivées partielles de ^ par rapport à x et ky, admet pour intégrale générale
Une équation aux dérivées partielles, du premier ordre, d'une fonction de deux variables indépendantes admet donc pour intégrale une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées des trois variables.
La question était de savoir si, dans ce cas particulier d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre d'une fonction de deux variables indépendantes, l'intégrale générale consiste
De Lagrange à Laplace. i3b
toujours en une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées des trois variables.
Si l'on considère une surface quelconque, rapportée à trois axes de coordonnées, et qu'on désigne par j? et q les dérivées partielles de ^ par rapport à x et à j^, en un point [x,jr^ :() de cette surface^ Téquation du plan tangent à la surface en ce point est
Z-:i=p(X-x)^q{Y-r]de sorte qu'une relation
entre les coordonnées d'un point d'une surface et les dérivées partielles de ;{ par rapport à x et à j^, en ce point, est nécessairement la traduction analytique d'une propriété du plan tangent à la surface que représenterait l'équation intégrale. D'un autre côté, une équation
où deux fonctions y* et ^1 de x, j^ et ^ sont liées entre elles par une relation arbitraire, est l'équation la plus générale des surfaces admettant pour génératrices les courbes de l'espèce
et si la propriété du plan tangent à la surface représentée par l'intégrale générale de
F(Ar,j-, \,p,q] = o,
exprimée par cette équation, dérivait effectivement de ce que toutes les surfaces représentées par cette intégrale générale peu-
1 36 Treizième Période.
vent être engendrées parle mouvement, variable de l'une à l'autre, d'une génératrice commune
il faudrait bien convenir que cette intégrale générale doit être de la forme
La question revient donc à savoir si le plan tangent à la surface engendrée par une ligne
assujettie dans son mouvement à une condition
cp(a, p)=0,
jouirait d'une propriété indépendante de la forme de l'équation 9. Or c'est précisément ce qui résulte de la possibilité d'éliminer la fonction 9 entre les deux équations obtenues en dérivant
successivement par rapport à x et à i{, puis par rapport à j^ et à ^; mais on peut le voir plus directement,, je veux dire sans être obligé d'introduire la fonction 9 pour l'éliminer ensuite, ce qui constitue une mauvaise méthode.
Soient
et
les équations d'une ligne mobile suivant une loi arbitraire; les équations de la tangente à cette ligne, en un de ses points [x^y. ;[),
De Lagrange à Laplace.
sont
et
d'un autre côté, l'équation du plan tangent au même point (x^y^ ^] à la surface qu'engendre cette ligne est
et la condition à remplir par ;? et ^ est que le plan tangent contienne la tangente, c'est-à-dire que le déterminant des inconnues
X — jc, Y— j- et Z — ^
des trois équations simultanées soit nul, ou que
\ dx dy dT^ j
dx dy d^ p q ~i
ce qui est précisément l'équation trouvée plus haut
dx d:;^ dx d^ ^
dy di^ dy d^^
Ainsi une équation du premier ordre aux dérivées partielles d'une fonction de deux variables indépendantes conviendrait à toutes les surfaces engendrées par une ligne d'une espèce donnée, dont le mouvement continu resterait arbitraire, ou, ce qui revient au
i38 Treizième Période.
même, par Tintersection de deux surfaces dont les équations contiendraient chacune une constante arbitraire.
Ajoutons que ces prévisions ont le plus souvent suggéré les méthodes d'intégration.
La même analyse s'étend aisément aux équations du premier ordre aux dérivées partielles des fonctions de plus de deux variables indépendantes, mais elle devait d'abord être fondée par rapport aux fonctions de deux variables seulement, qui comportent une représentation géométrique.
Désignons d'une manière générale, sous le nom de champ d'une équation à n variables^ l'ensemble des solutions que comporte cette équation et considérons [n — i) équations
y 2 (-^M -^2? • • • ^n 1 =^ 2^2»' J/i—l i-^li «^2» • • • ■^n) =^ '^n—i
à n variables x^ . . . Xn, contenant chacune une constante arbitraire; supposons que ces n constantes arbitraires, varient d'une manière quelconque et qu'on considère à chaque instant le champ comprenant l'ensemble des solutions de ces n — ï équations; appelons d'ailleurs d'une manière générale champ tangent à un champ
F{xi,X2, ... Xp] = o le champ
le champ commun aux champs tangents aux champs y 1 ^=^ 2ti, y2 =^ ^2 5 ' ' • 1 j 11-1 =^ 2c„.i
De Lagrange à Laplace. 189
sera déterminé par les équations
D'un autre côté le champ tangent au champ engendré par le mouvement du champ commun aux champs
fi^^^i') ^2 = ^2> •••1 y«-i =.a/2 i sera représenté par
(Xi — Xi)p^ -r- (X, —Xi) P2 -+- • • .
-+-(X„i— X«i)^„l — [Xn—Xa) —O
Pu P2, * ■ ', Pn-i désignant les dérivées partielles de Xn par rapport à AT,, X2, . . . , Xn-i ; et si l'on veut exprimer que ce champ tangent contient le champ commun aux champs tangents aux champs
yj =r ai ... ffi^i z=z a^-i on aura la condition
fW ^ df, df,
aXi dXi dXa-i dXn
dA df\ df^
dxi dx2 dxu
dfn-\ 4/» 1 ^ dfn^^ df„^^
dxi dx^ dxn-i dx,i
\ Pi Pi •■• Pn-X —I
140 Treizième Période.
qui sera Téquation aux dérivées partielles commune à tous les champs engendrés par le champ
yi = cti yà = «2 • • • y*«-i ^^ ^n-it de quelque manière que varient ai . . . a„i.
Principe des relations contingentes.
La question que se pose Monge est celle-ci : Est-il légitime, dans rétablissement d'un théorème de Géométrie, de ne pas se préoccuper de savoir si quelques grandeurs, qu'on avait jugé utile de prendre comme intermédiaires entre les données et les inconnues, restent réelles dans tous les états de la figure ?
Monge résout la question affirmativement et érige son principe en méthode à suivre toutes les fois qu'elle procure quelques facilités.
Nous ne saurions mieux faire, pour rendre compte de la théorie de Monge à cet égard, que de rapporter ici l'appréciation qu'en a faite M. Chasles : « Pour définir cette méthode, nous dirons qu'elle consiste à considérer la figure sur laquelle on a à démontrer quelque propriété, dans des circonstances de construction générale oti la présence de certains points, de certains plans ou de certaines lignes, qui dans d'autres circonstances seraient imaginaires, facilite la démonstration. Ensuite, on applique le théorème, qu'on a ainsi démontré, aux cas de la figure où ces points, ces plans et ces droites seraient imaginaires, c'est-à-dire qu'on le regarde comme vrai dans toutes les circonstances de constructions générales que peut présenter la .figure à laquelle il se rapporte.
De Lagrange à Laplace. 141
Ainsi, pour démontrer que, quand des cônes circonscrits à une surface du second degré ont leurs sommets en ligne droite, les plans de leurs courbes de contact passent tous par une même droite, Monge suppose que, par la droite lieu des sommets des cônes, on peut mener deux plans tangents à la surface; les courbes de contact des cônes passeront alors toutes par les deux points de contact de ces plans tangents, leurs plans passeront donc tous par la droite qui joindra ces deux points. Le théorème est donc démontré pour la disposition supposée de la figure, et Monge admet que cette démonstration s'étend au cas où l'on ne pourra point mener de plans tangents à la surface par la droite lieu des sommets des cônes, c'est-à-dire que le théorème a lieu pour toute position possible de cette droite. Cette méthode est fondée sur cette remarque qu'une figure peut présenter, dans sa construction la plus générale, deux cas différents : dans le premier, certaines parties, d'où ne dépend pas nécessairement la construction générale de la figure, mais qui en sont des conséquences contingentes ou accidentelles, sont réelles et palpables; dans le second, ces mêmes parties n'apparaissent plus, elles sont devenues imaginaires, et cependant les conditions générales de construction de la figure sont restées les mêmes. »
11 est facile de donner du principe de Monge une démonstration absolument rigoureuse : à tout théorème de Géométrie, relatif à une figure considérée d'une manière générale, correspond une identité algébrique qui servirait à établir ce théorème, c'est-à-dire une équation qui serait satisfaite dans tous les cas, continus entre eux, où la figure serait réalisable dans toutes les parties qui y ont été jointes pour les besoins de la démonstration. Or, la démonstration faite pour les cas où elle est possible, par les moyens em-
142 Treizième Période.
ployés, établit pour ces cas la justesse de cette équation, sans qu'on ait besoin de l'avoir formulée; mais une équation satisfaite^ dans un intervalle si restreint qu'il soit^ où les variables peuvent prendre une infinité de valeurs continues entre elles, est une identité absolue ; l'égalité subsiste donc encore dans les cas où les variables auxiliaires employées dans la démonstration deviennent imaginaires; et ainsi tant que toutes les grandeurs dont l'énoncé fait mention restent réelles, le théorème reste vrai, quoi qu'il ait pu advenir des autres grandeurs.
ce Cette méthode, dit M. Ghasles, a été suivie par la plupart des disciples de Monge, mais toujours tacitement, comme Monge avait fait lui-même, et sans cherchera justifier cette manière hardie de raisonner. »
Nous croyons que Monge s'en rendait compte, et par un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire. La démonstration que propose M. Chasles est loin d'être aussi satisfaisante, la voici :
« Nous croyons qu'on pourra, dans chaque cas particulier, justifier à posteriori la méthode en question par un raisonnement fondé sur les procédés généraux de Tanalyse. Il suffit de remarquer que les deux circonstances générales de construction d'une figure, dont nous avons parlé, et dont la distinction est importante, parce qu'elles nous paraissent être la véritable origine de la question qui nous occupe, n'entrent jamais en considération dans l'application de Tanalyse finie à la Géométrie. Les résultats obtenus par cette méthode s'appliquent, dans toute leur étendue, à ces deux circonstances générales de construction. Ces résultats sont des théorèmes concernant les parties intégrantes et permanentes de la figure, celles qui appartiennent à la construction
De La grange à Laplace. 143
générale, et qui sont toujours réelles dans les deux cas; théorèmes tout à fait indépendants des parties secondaires ou contingentes et accidentelles de la figure, qui peuvent itre indifféremment réelles ou imaginaires, sans changer les conditions générales de construction de la figure. Donc, quand ces résultats généraux sont démontrés, n'importe comment, sur l'une des deux figures, on peut conclure qu'ils ont également lieu dans l'autre figure. »
Le principe de Monge nous paraît très net et très précis, nous nous bornerons à le caractériser en disant qu'il ne se rapporte encore qu'à un usage, en quelque sorte virtuel, des imaginaires en Géométrie.
Progrès de: F Arithmétique.
Lagrange démontre que toute irrationelle du second degré, réduite en fraction continue, donne un quotient périodique. Il donne une méthode générale pour résoudre les équations indéterminées du second degré et énonce un grand nombre de théorè.Ties relatifs aux nombres premiers.
Progrès de l'A Igèbre.
Lagrange conçoit d'une manière générale la transformation d'une équation algébrique en une autre dont les racines aient une relation donnée avec quelques racines de l'équation proposée. Il ramène le problème de l'abaissement d'une équation à celui de
144 Trei:{iéme Période.
la recherche de quelque relation particulière entre ses racines ; et la mise en évidence d'une pareille relation à la constatation de l'existence d'une racine commune à l'équation proposée et à une transformée convenable de cette équation. Il donne la première méthode sûre pour séparer toutes les racines réelles d'une équation numérique, au moyen de l'équation aux carrés des différences de ses racines prises deux à deux. Il tire de cette méthode les conditions de réalité des racines d'une équation algébrique de degré quelconque, exprimées d'une manière générale. Il propose, pour l'approximation successive des racines réelles des équations numériques, leur réduction en fractions continues, qui a l'avantage de mettre en évidence les diviseurs du second degré à coefficients commensurables, du premier membre de l'équation considérée, lorsque ce premier membre comporte de pareils diviseurs. Il résout algébriquement les équations binômes de tous les degrés.
Progrès de l'Analyse,
Lagrange institue le Calcul des variations pour la solution générale des problèmes de maximum et de minimum des intégrales, et pour la théorie de Téquilibre des fils et voiles flexibles. Monge caractérise le genre d'indétermination qui affecte les intégrales générales des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Lagrange fait faire un nouveau progrès à la théorie des fonctions elliptiques.
De Lagrange à Laplace. 145
Progrès de la Géométrie.
Monge fonde la Géométrie descriptive et imagine les familles de surfaces caractérisées par une propriété commune de leurs plans tangents; il introduit accessoirement la considération des imaginaires en Géométrie.
Progrès de la Mécanique.
Watt construit les puissantes machines fixes dites de Cornouailles. Lagrange démontre le théorème des vitesses virtuelles, qui comprend toutes les équations d'équilibre des systèmes, et fournit par là les moyens de mettre en œuvre le principe de d'Alembert; il applique sa méthode des variations à la théorie de l'équilibre des fils et des surfaces flexibles; il traite de nouveau la question du mouvement des cordes vibrantes et celle de la propagation du son.
Progrès de V Astronomie.
Herschel découvre Uranus et ses six satellites, ainsi que deux nouveaux satellites de Saturne; il observe un grand nombre de nébuleuses et les classe en résolubles et non résolubles; il constate dans les nébuleuses résolubles les mouvements relatifs des étoiles qui les composent; il fixe les durées des révolutions de Mars et de Jupiter autour des lignes de leurs pôles et mesure les inclinaisons de leurs équateurs sur les plans de leurs orbites. Piazzi découvre la première des planètes comprises entre Mars et Jupiter. Delambre et Méchain déterminent la base du système métrique.
M. Marie. — Histoire des Sciences, IX.
Treizième Période.
Progrès de la Physique.
Galvani découvre l'élément de la pile. Herschel reconnaît dans le spectre solaire l'existence des rayons infra-rouges. Les frères Montgolfier inventent les aérostats. Saussure fonde la météorologie. Yolta invente la pile électrique. Breguet invente le thermomètre métallique.
Progrès de la Chimie.
Guyton Morveau fonde la nomenclature chimique d'après les idées de Lavoisier. Wenzel établit définitivement la loi des propoitions définies. Lavoisier établit la théorie de la combustion et de la respiration ; il classe les composés binaires en acides et bases et soupçonne la composition des bases terreuses. Schéele découvre le chlore. Berthollet fonde la théorie des affinités chimiques.
Progrès de la Géologie.
Pallas observe la disposition relative des masses granitiques, schisteuses et calcaires, dans une même chaîne de montagnes.
Progrès de la Minéralogie.
Haûy fonde la Minéralogie sur l'étude des formes cristallographiques.
De Lagrange à Laplace. 147
Progrès de la Physiologie.
Pallas découvre et observe un grand nombre de zoophytes dont il forme une classe intermédiaire entre les animaux et les plantes. Laurent de Jussieu fonde sa méthode naturelle de classification des végétaux. Lamarck émet, relativement aux analogies que
présentent dans leur constitution toutes les espèces d'êtres
animés, des idées prémalurées, mais qui ne seront pas perdues.
Pinel inaugure l'étude scientifique des maladies mentales.
Jenner imagine la vaccine.
