LAGRANGE (LOUIS -JOSEPH

(Né à Turin en lySô, mort à Paris en i8i2.)

Il descendait d'une famille de Touraine, alliée à celle de Descartes. Son bisaïeul, capitaine de cavalerie au service de la France, avait passé à celui d'Emmanuel II, roi de Sardaigne, et s'était fixé à Turin, après s'y être marié. Son père, qui avait joui d'une assez grande fortune, s'était ruiné dans des entreprises hasardeuses. Lagrange considérait ce malheur .comme l'origine de tout ce qui lui était ensuite arrivé d'heureux. « Si j'avais eu de la fortune, disait- il, je n'aurais probablement pas fait mon état des Mathématiques; et dans quelle carrière aurais- je trouvé les mêmes avantages ? »

Il s'était d'abord montré admirateur enthousiaste de la Géométrie des anciens, et, chose singulière, il fut converti par la lecture d'un mémoire que Halley, qui est cependant resté fidèle

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à cette Géométrie, avait composé pour démontrer la supériorité de l'analyse.

Nommé, à dix-neuf ans, professeur à l'École d'artillerie de Turin, il se fit des amis de ses élèves, qui étaient tous plus âgés que lui, réunit les plus distingués, et fonda, avec eux P Académie de Turin, qui publia, en 1759,1e premier volume de son recueil, sous le titre d'Actes de la Société privée. Outre différents articles de Lagrange sur la théorie des suites récurrentes, le Calcul des probabilités, les théories du son et des cordes vibrantes, ce volume contenait l'exposition de la méthode qui a formé depuis le Calcul des variations, et des applications de cette méthode à différents problèmes de Dynamique. Euler sentit aussitôt l'immense mérite de ces nouvelles méthodes, il en fit l'objet de profondes méditations, et s'empressa de faire associer Lagrange à l'Académie de Berlin. Il lui écrivait, le 2 octobre lySg, en lui annonçant sa nomination : <c Votre solution du problème des isopérimètres ne laisse rien à désirer, et je me réjouis que ce sujet, dont je m'étais presque seul occupé, depuis les premières tentatives, ait été porté par vous au plus haut degré de perfection. L'importance de la matière m'a excité à en tracer, à l'aide de vos lumières, une solution analytique à laquelle je ne donnerai aucune publicité jusqu'à ce que vous-même ayez publié la suite de vos recherches, pour ne vous enlever, aucune partie de la gloire qui vous est due. » Quelque temps après, dans le mémoire où il expose la théorie de ce nouveau calcul, qu'il a nommé Calcul des variations, Euler disait : « Quel a été mon étonnement d'apprendre que le problème qui m'avait si longtemps et inutilement occupé se trouvait résolu, dans les Mémoires de Turin, avec autant de facilité que de bonheur! Cette

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belle découverte m'a causé d'autant plus d'admiration, qu'elle est plus différente des méthodes que j'avais données et qu'elle les surpasse considérablement en simplicité. » Mais ce n'est pas seulement à Berlin que Lagrange trouvait des admirateurs : d'Alembert, quoique moins prompt à l'enthousiasme, se laissa bientôt gagner. Il avait élevé des doutes sur la nécessité, pour une masse liquide en équilibre, de se diviser par couches de niveau ; Lagrange montra que les équations de son illustre contradicteur ne sont elles-mêmes que celles des couches de niveau. D'Alembert lui écrivait peu après, à propos d'autres recherches : « Votre problème m'a paru si beau que j'en ai cherché une autre solution; j'ai trouvé une méthode plus simple pour arriver à votre élégante formule. » Lagrange avait alors à peine vingt-cinq ans. A cette époque, une affection bilieuse, déterminée par un travail incessant, mit ses jours en danger et altéra définitivement sa constitution, déjà très frêle.

L'Académie des Sciences de Paris avait mis au concours l'explication de ce fait d'observation, que la Lune, sauf de petites variations assez peu sensibles, nous montre toujours la même face. Nevs^ton avait deviné que la Lune, en se solidifiant, a dû prendre une figure allongée vers la Terre, et que^ par une conséquence nécessaire, le diamètre allongé de notre satellite ne peut jamais s'éloigner que de petites quantités de la direction dans laquelle son prolongement va passer par le centre de la Terre, la pesanteur terrestre, tendant toujours à l'y ramener, comme elle ramène un pendule dans la verticale. C'était beaucoup que d'avoir eu l'intuition de cette idée lumineuse, mais il fallait calculer l'aberration de sphéricité de la Lune et fonder la théorie de la libration sur l'évaluation des effets de la nouvelle force mise

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en jeu. Lagrange résolut admirablement toutes les difficultés du problème. Aussi d'Alembert lui écrivit-il : « J'ai lu avec autant de plaisir que de fruit votre belle pièce sur la libration, si digne du prix qu'elle a remporté. » Le beau succès obtenu par Lagrange dans cette occasion inspira à l'Académie l'espoir de lui voir résoudre une question plus difficile encore et à laquelle les astronomes attachent un intérêt au moins aussi vif : elle mit au concours la théorie des satellites de Jupiter. Le problème du Soleil, de la Terre et de la Lune est ce qu'on a appelé le problème des trois corps; Euler, Clairaut et d'Alembert l'avaient à peu près résolu; la question que l'on proposait concernait six corps : le Soleil, Jupiter et ses quatre satellites; les difficultés en étaient bien plus considérables et elles n'ont été entièrement levées que vingt-quatre ans après, par Laplace; mais Lagrange, qui obtint encore le prix, avança beaucoup la solution. Non seulement il détermina la cause des inégalités observées par les astronomes, mais il en indiqua quelques autres, trop faibles pour avoir pu être démêlées par les observations.

Vers la même époque, 1766, en attaquant les fameux théorèmes de Fermât, Lagrange découvrait le principe d'une solution complète de l'équation du second degré à deux variables, en nombres entiers.

Cependant, le séjour de Turin commençait à peser au jeune savant. Il ne s'y trouvait pas dans une sphère assez active; il était impatient de voir les géomètres avec lesquels ses travaux l'avaient mis en correspondance. Il saisit une occasion pour venir à Paris, oti il fut reçu comme il avait droit de s'y attendre, par d'Alembert, Clairaut, Condorcet, Nollet et l'abbé Marie.

De retour à Turin, il y avait repris le cours de ses travaux

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lorsqu'il apprit qu'Euler allait quitter la cour du roi de Prusse pour retourner à Saint-Pétersbourg, et laisser vacante la place de pre'sident de TAcadémie de Berlin. D'Alembert, qui avait déjà une fois refusé ce poste, lors de la mort de Maupertuis, craignait que son royal ami ne revînt à la charge et il s'empressa de proposer Lagrange. Euler entra dans les vues de d'Alembert, et Frédéric ratifia le choix de ses deux illustres conseillers ; il assigna à Lagrangeun traitement de 6,000 francs. Lagrange prit possession de ses fonctions le 6 novembre 1766; il les a remplies jusqu'en 1787.

Durant cette période, il a enrichi d'une foule de mémoires le recueil de l'Académie de Berlin. Les principaux ont rapport à l'intégration des équations aux différentielles partielles; au problème de Kepler; à la résolution des équations numériques, question qu'il a reprise depuis en France; à la méthode des dérivées, qu'il devait plus tard opposer à la fois au Calcul différentiel et au Calcul des fluxions; au problème de la rotation d'un corps de figure quelconque; à la théorie des nombres et au Calcul des probabilités; à l'attraction des sphéroïdes elliptiques, enfin à différentes questions d'Astronomie pratique.

Mais un travail plus considérable et digne en tout point de son génie, selon Delambre, est celui dans lequel il a calculé les changements successifs qui s'opèrent dans les dimensions et les positions des orbites planétaires. Tous les géomètres, depuis Newton, s'étaient occupés de ce problème; leurs formules différentielles, appliquées successivement à chaque planète, pouvaient, jusqu'à un certain point et pendant un certain temps, satisfaire aux besoins de l'Astronomie; mais après quelque intervalle, elles se trouvaient en défaut, et les calculs étaient à recommencer sur de

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nouvelles données. Lagrange considéra la question sous un point de vue qui l'embrasse tout entière et en permet la solution la plus complète. Au lieu de combiner les orbites deux à deux, comme ses prédécesseurs, il les considéra toutes ensemble et parvint à donner à l'équation du problème une forme intégrale. La solution de Lagrange suppose, il est vrai, une connaissance plus exacte qu'on ne Ta encore des masses des planètes qui n'ont point de satellites, mais ses formules mêmes pourront servir inversement plus tard à la détermination plus rigoureuse de ces masses.

Lagrange avait entièrement composé à Berlin sa Mécanique analytique^ le plus considérable de ses ouvrages; mais il désirait qu'elle fût imprimée à Paris. Ce fut l'abbé Marie qui se chargea de trouver un éditeur. Legendre se chargea de la revision des épreuves. Au reste, Lagrange vint se fixera Paris avant l'achèvement de l'impression.

La mort de Frédéric avait amené de grands changements en Prusse ; les savants n'y trouvaient plus la même considération, et Lagrange, qui avait déjà eu, dans l'origine, beaucoup de peine à se faire pardonner sa qualité d'étranger, éprouva de la part du ministre Hertzberg quelques froissements directs. L'abbé Marie proposa à M. de Breteuil d'appeler Lagrange en France, et Louis XVI s'empressa d'accéder à la demande de son ministre. Le nouveau roi de Prusse fit quelques semblants de difficultés, mais Lagrange obtint aisément son congé. Il était depuis quinze ans associé étranger de l'Académie des Sciences; pour lui donner droit de suffrage, on changea son titre en celui de pensionnaire vétéran.

La Révolution ne l'atteignit pas directement. Il avait été

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nommé président de la Commission chargée de l'établissement du nouveau système de poids et mesures, et sa position ne fut jamais menacée; le payement de sa pension lui avait été assuré par un décret spécial de la Constituante, et on l'avait depuis nommé l'un des administrateurs de la Monnaie. Enfin, un arrêté du Comité de Salut public l'avait dispensé d'obéir au décret de la Convention qui bannissait tous les étrangers. Mais la mort de Bailly et celle surtout de Lavoisier l'avaient vivement affecté, et il songeait à accepter les offres nouvelles que la Prusse lui avait fait faire, lorsque la création de TEcole Normale et de l'École Polytechnique vint mettre fin à ses hésitations.

Le Piémont ayantété réuni à la France, un commissaire extraordinaire de la République fut envoyé à son père, alors âgé de quatre-vingt-dix ans, pour le complimenter au nom du Directoire.

Sous l'empire, il fut nommé sénateur, grand officier de la légion d'honneur, comte et grand-croix de l'ordre de la Réunion. Aussitôt après sa mort, ses restes furent déposés au Panthéon. Son éloge fut prononcé par Laplace et Lacépède, au nrm du Sénat et de l'Institut.

Lagrange s'était marié deux fois, la première, à Berlin, avec une de ses parentes, la seconde, à Paris, avec la fille de Lemonnier, de l'Académie des Sciences. Il n'eut d'enfants ni de son premier ni de fon second mariage.

Lagrange a imprimé les traces de son génie à toutes les branches des Mathématiques, depuis la Trigonométrie sphérique, à laquelle il donna la forme analytique qu'elle a conservée, et qu'il enrichit de théorèmes nouveaux, jusqu'à la Mécanique céleste,

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dans ce qu'elle a de plus élevé. Avant d'indiquer les découvertes dont la Science lui est redevable, nous noterons les réformes qu'il a introduites dans la méthode. C'est à lui principalement qu'est due la substitution dans l'enseignement de la méthode analytique à la méthode synthétique. Avant lui, toute théorie s'établissait par la superposition de théorèmes, résultant chacun d'une combinaison d'autres théorèmes précédemment établis, dont Tordre^ savamment combiné parle maître, ne pouvait être justifié devant l'élève, puisqu'il aurait fallu, pour qu'il en comprît le motif, qu'il pût apprécier le but qu'il s'agissait d'atteindre. Lagrange, quelle que soit la théorie qu'il veuille exposer, prend toujours pour point de départ la relation la plus générale parmi toutes celles que cette théorie peut comprendre, et c'est de cette relation générale, naturellement indéfinie, que découlent par éliminations, par restrictions, par spécialisations, toutes les relations précises qui constituent les théorèmes proprement dits. Cette méthode a le double mérite d'épargner à l'élève les difficultés les plus rebutantes et, en même temps de respecter son indépendance. Elle exige, il est vrai, de la part du maître, plus de talent; mais le souvenir des démonstrations de Lagrange à l'École normale et à l'École Polytechnique est resté dans la mémoire de tous, et a obligé ses successeurs à renoncer aux formes commodes mais barbares de l'enseignement magistral. C'est encore de Lagrange que date l'usage d'exposer les méthodes, de les discuter, de les comparer, d'en faire, en un mot, un objet d'enseignement. C'est lui aussi qui a eu le mérite de montrer les avantages que procurent de bonnes notations, le soin de donner aux équations une forme symétrique, etc.

L'un des premiers travaux de Lagrange a eu pour objet la réso-

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lation algébrique des équations de degrés supérieurs. Leproblème, considéré dans toute son étendue, est insoluble; mais il peut exceptionnellement se résoudre par abaissement. C'est ce moyen de solution que Lagrange s'attacha à développer. Pour y parvenir, il créa la méthode des transformations composées, au moyen de laquelle on forme une équation dont les racines aient avec deux, trois, etc., racines de la proposée, une relation donnée.

Les cas de possibilité d'une résolution algébrique étant malheureusement fort rares, il était à souhaiter au moins qu'on fût en possession d'une méthode sûre pour parvenir dans tous les autres à une résolution arithmétique telle que l'on pût pousser l'approximation aussi loin qu'on le voudrait. La question était d'abord de pouvoir juger exactement du nombre des racines réelles, et ensuite de parvenir à les séparer. Lagrange résolut d'un même coup les deux questions en les ramenante déterminer une limite inférieure de la différence entre deux racines consécutives, limite que pouvait faire connaître l'équation aux carrés des différences des racines de la proposée.

La considération de cette équation aux carrés des différences

fournit la première méthode qu'on ait connue pour exprimer,

sous forme littérale, les conditions de réalité des racines d'une

équation de degré quelconque. A la vérité, le nombre de condi-

, , , m{m — i) tions fournies par cette méthode est — ■ pour une equa-

tion de degré m, tandis qu'il doit se réduire à — ou à

suivant que m est pair ou impair; mais le premier pas dans cette nouvelle voie se trouvait fait.

Signalons encore la méthode d'approximations successives par

De Lagrange a Laplace. 167

l'expression des racines sous forme de fractions continues, méthode qui, à l'avantage d'exiger le minimum de calculs pour une approximation définie, joignait encore celui de conduire quelquefois à une résolution exacte dans le cas où la périodicité se manifestait.

Vandermonde avait poussé la résolution algébrique des équations binômes jusqu'au onzième degré; Lagrange montra qu'elles pouvaient toutes se résoudre par radicaux.

Le calcul des différences finies a été enrichi par Lagrange de la belle formule d'interpolation qui porte son nom et qui fournit le polynôme de moindre degré admettant m valeurs données pour m valeurs données de la variable.

La Géométrie analytique lui doit la forme simple et lumineuse qu'a reçue la théorie des contacts des divers ordres entre deux courbes.

La Théorie des fonctions analytiques n'est autre chose qu'une exposition sous une forme nouvelle du Calcul différentiel et intégral et du Calcul des fluxions.

Nous avons déjà dit que la méthode de Lagrange, en chaque genre de recherches, consiste toujours à prendre pour base de la théorie qu'il a en vue, un principe assez général pour la comprendre tout entière, de façon à n'avoir plus qu'à tirer ensuite toutes les conséquences de ce principe.

Lagrange, conformément à cette méthode, prend pour point de départ, dans ce Traité, le théorème relatif à la possibilité de développer toute fonction en série par la formule de Taylor ; tandis que ce théorème formait, au contraire, dans l'enseignement usuel, la conclusion générale du Calcul différentiel.

Cette même méthode est encore plus apparente dans la Mécanique analytique que dans la Théorie des fonctions analytiques.

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Ici les deux bases de Tédifice sont le principe de d'Alembert, dont on pouvait plus ou moins aisément faire application à chaque cas, et le théorème des vitesses virtuelles qui fournit précisément la méthode à suivre dans toutes les circonstances, pour utiliser le principe de d'Alembert.

Le théorème des vitesses virtuelles, dont Lagrange a donné le premier énoncé général et la démonstration complète, consiste en ce que toutes les conditions d'équilibre d'un système matériel sont comprises dans cette condition que la somme des produits de toutes les forces appliquées au système, multipliées respectivement par les déplacements de leurs points d'application, estimés dans les directions des forces correspondantes, soit nulle, quel que soit l'ensemble de ces déplacements, pourvu qu'il soit compatible avec les liaisons du système.

Ce théorème, entendu dans le sens que lui donnait Lagrange, c'est-à-dire dans l'hypothèse des liaisons fictives que considérait Tancienne Mécanique, fournissait immédiatement, avec l'aide du principe de d'Alembert, la mise en équations de tout problème de Dynamique imaginable. En effet, pour formuler ces équations, il suffisait d'égaler à zéro la somme des moments virtuels des forces données, appliquées au système, et des forces égales et contraires à celles qui mouvraient séparément tous les points de ce système comme ils se mouvaient effectivement.

L'équation ainsi formulée contiendrait autant d'équations distinctes qu'il pourrait exister pour Tensemble des points matériels composant le système matériel considéré, de modes de déplacements virtuels, compatibles avec ses liaisons.

Mais si on lui laissait sa forme générale, sous laquelle elle comprendrait les variations virtuelles des trois coordonnées de

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chacun des points du système matériel et qu'on en éliminât, au moyen des conditions exprimant les liaisons, les variations non arbitraires, comme elle devrait être satisfaite quelles que fussent les variations restantes, elle se traduirait en définitive par les équations à zéro des coefficients de ces dernières variations, et ces équations, en nombre égal au nombre des coordonnées des points composant le système, diminué du nombre des conditions de liaisons, combinées avec les équations traduisant ces liaisons, détermineraient en fonction du temps les coordonnées de tous les points du système.

Lagrange a aussi fait faire des progrès notables au Calcul des probabilités^ ainsi qu'à la Théorie des nombres.

Delambre, qui a écrit son éloge, fait ressortir avec éclat la beauté de celles de ses découvertes que nous venons de mentionner et des méthodes par lesquelles il y est parvenu; mais il fait des réserves formelles au sujet des procédés de calcul et des formules dont Lagrange proposait Temploi aux astronomes.

a Si, dit-il, on lui voit le plus souvent faire d'heureux efforts pour généraliser une solution, pour épuiser un sujet, quelquefois aussi on le voit se créer des difficultés où il n'en existait aucune, et appliquer ses méthodes adroites et savantes à la solution de problèmes élémentaires qui n'exigeaient qu'une construction du genre le plus simple.

« C'est ainsi qu'à l'occasion du dernier passage de Vénus, il traite analytiquement les courbes d'entrée et de sortie pour les différents pays de la Terre. Mais pour parvenir à la solution très facile et médiocrement exacte donnée par Delisle et Lalande, il est obligé d'employer successivement des ressources détournées, des remarques pleines de finesse, de faire subir à ses coor-

[6o Trei:{ième Période.

données nombre de transformations, tandis que par un calcul trigonométrique de quelques lignes, on arrive à une formule plus complète où se trouvent des termes négligés par Lagrange et qui, bien que fort petits, ne sont pas absolument insensibles. Avouons pourtant qu'il sait tirer de sa formule, pour calculer la parallaxe du Soleil, un parti très avantageux, que n'avaient aperçu ni Delisle, ni Lalande, mais qui découle avec bien plus de facilité du calcul trigonométrique.

« Il fit depuis une tentative semblable pour le problème des éclipses; il trouvait que les méthodes quelquefois prolixes de Duséjour n'avaient ni la simplicité, ni la facilité qu'on a droit d'attendre de- l'état actuel de l'analyse. Il développe dans ce travail toutes ses ressources et toute son adresse; la lecture de son Mémoire est singulièrement attachante pour un astronome qui n'a encore aucune idée de ces méthodes. Je n'ai point oublié l'effet qu'il produisit sur moi, il y a près de trente ans; je me rappelle encore avec quels éloges, quelques années après, M. Oriani me parlait de ce travail; mais, quoique l'auteur ait tâché d'en faciliter la partie pratique, à l'aide de tables ingénieuses, on ne voit pas que les Astronomes aient adopté cette méthode qui, commençant par les formules les plus directes, les plus rigoureuses et les plus propres, en apparence, à se plier à vous les cas, se termine cependant en une formule approximative et, qui plus est, indirecte.

« Un autre essai du même genre n'a pas été plus heureux, parce que le succès était impossible, le problème étant trop simple : il s'agissait de trouver la différence entre les longitudes héliocentrique et géocentrique d'une planète supérieure. L'auteur y parvient par des artifices assez remarquables, mais la

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solution est fort incommode, malgré l'élégance de la formule.

« Parmi ces jeux de son génie, qui cherchait des difficultés pour mieux montrer sa force, se rangerait encore le Mémoire où il indique les moyens de construire les Tables astronomiques, d'après une suite d'observations, et sans connaître la loi des mouvements célestes....

« Les Géomètres liront avec plaisir les Recherches analytiques sur le problème des projections, qui n'avait jamais été traité d'une manière si généra'e et si complète; les Astronomes et les Géographes n'y trouveront de praticable que ce qu'ils avaient appris d'avance par des méthodes plus élémentaires. Si ces derniers Mémoires n'offrent pas de résultats véritablement utiles, outre qu'ils fournissent ure lecture attachante, ils nous donnent encore cet avis qui peut avoir des applications fréquentes : c'est que les questions aisées ne doivent être traitées que par des moyens également faciles; qu'il faut réserver l'analyse savante pour les questions qui exigent ces grands moyens, et qu'il ne faut pas ressembler à ce personnage de la Fable, qui, pour se délivrer d'une puce, voulait emprunter à Jupiter sa foudre, ou à Hercule sa massue. »

C'est en 1787 que Lagrange vint à Paris siéger à l'Académie des Sciences.

Il avouait lui-même que « son enthousiasme était éteint, qu'il avait perdu le goût des recherches mathématiques. » La Métaphysique, l'Histoire de l'esprit humain, celle des différentes religions, la Théorie générale des langues, la Médecine, la Botanique, dit Delambre, se partageaient ses loisirs. Il était surtout curieux de Chimie, qui, disait-il, était devenue aisée comme l'Algèbre.

« C'est dans ce repos philosophique qu'il vécut jusqu'à la Révolution, sans rien ajouter à ses découvertes mathématiques. »

La Convention l'avait comblé de places, mais les persécutions exercées contre quelques membres de l'Académie et surtout le supplice de Lavoisier l'avaient entièrement découragé.

« Il ne leur a fallu, disait-il, qu'un moment pour faire tomber cette tête, et cent années, peut-être, ne suffiront pas pour en reproduire une semblable. »

Il songeait à quitter la France, ce fut la création de l'Ecole Polytechnique qui le retint. C'est pour les élèves de cette Ecole qu'il composa ses Fonctions analytiques et publia son Traité de la Résolution des équations numériques.

Il mourut le lo avril i8i3 à lo heures du matin. Il s'était longtemps entretenu l'avant-veille avec Lacépède, Monge et Chaptal. Ses derniers mots furent : « J'ai fourni ma carrière; j'ai acquis quelque célébrité dans les Mathématiques. Je n'ai haï personne, je n'ai point fait de mal et il faut bien finir »

Les œuvres complètes de Lagrangeontété récemment publiées par M. Gauthier-Villars; elles forment déjà douze volumes, in-4° de 700 pages chacun environ. Cette magnifique édition, faite sous les auspices du Ministre de l'Instruction publique et avec le concours de plusieurs membres de l'Académie des Sciences, se trouve dans la plupart des Bibliothèques publiques; nous pouvons donc suppcser que tous les savants qui auraient besoin de connaître un des ouvrages de Lagrange se le procureront aisément. En conséquence nous nous bornerons à indiquer, par volumes,

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les titres de ces ouvrages, en y joignant seulement les lumineuses analyses qu'en donne lui-même l'illustre auteur, et quelques courtes remarques, lorsque nous le croirons utile.