V. — Addition aux premières recherches sur la nature et

De Lagrange à Lapîace. i65

la propagation du son. (MiscelJanea Taurinensia^ 1 760-1 761.) « Quoique la Science du Calcul, dit Lagrange, ait été portée dans ces derniers temps au plus haut degré de perfection, il ne paraît pas qu'on se soit beaucoup avancé dans l'application de cette Science aux phénomènes de la Nature. La théorie des fluides, qui est assurément une des plus importantes pour la Physique, est encore très imparfaite dans ses éléments.... lien est de même de la matière que j'entreprends d'examiner ici...

« Newton, qui a entrepris le premier de soumettre les fluides au calcul, a aussi fait sur le son les premières recherches, et il est parvenu à en déterminer la vitesse par une formule qui ne s'éloigne pas beaucoup de Texpérience. Mais si cette théorie a pu contenter les Physiciens, dont la plupart l'ont adoptée, il n'en est pas de même des Géomètres, qui, en étudiant les démonstrations sur lesquelles elle est appuyée, n'y ont pas trouvé ce degré de solidité et d'évidence qui caractérise d'ailleurs le reste de ses Ouvrages.

tt J'ai donc cru qu'il était nécessaire de reprendre toute la question dans ses fondements. »

Lagrange se propose la question :

« Etant donné un nombre indéfini de particules élastiques rangées en ligne droite^ qui se soutiennent en équilibre en vertu de leurs forces mutuelles de répulsion^ déterminer les mou» vements que ces particules doivent suivre dans le cas qu'elles aient été, comme que ce soit, dérangées, sans sortir de la même droite. »

Les équations qui donnent la solution de ce problème ne diffèrent pas de celles « qui appartiennent au problème De

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chordis vibrantibus » de sorte que les deux questions sont réduites à une seule.

« Ceci m'a donc conduit à parler des théorèmes que les grands géomètres, MM. Taylor, d'Alembert et Euler, ont donnés sur ce sujet

« Je tire de mes formules la même solution du problème De chordis vibrantibus^ que M. Euler a donnée et qui a été si fort contestée par M. d'Alembert. Je donne de plus à cette construction toute la généralité dont elle est capable, et, par l'application que j'en fais aux cordes de musique, j'obtiens une démonstration générale et rigoureuse de cette importante vérité d'expérience, savoir : que, quelque figure qu'on donne d'abord à la corde, la durée de ses oscillations se trouve néanmoins toujours la même.

« A cette occasion, je développe la théorie générale des sons harmoniques qui résultent d'une même corde, de même que celle des instruments à vent.

« Je termine par les lois de la propagation du son. »

Telle est en abrégé l'analyse que Lagrange donne de son premier mémoire. Nous allons suivre Tauteur dans quelques détails rétrospectifs intéressants.

ce Newton avait prétendu établir, dans la section VIII du livre \l àQS Principes mathématiques, que chaque particule d'un fluide élastique homogène suit dans ses mouvements les mêmes lois qu'un pendule qui décrit une cycloïde dont la longueur égale l'excursion totale de la particule, et où la pesanteur qui l'anime est équivalente à l'élasticité naturelle du fluide. » Lagrange étudie la démonstration de Newton et conclut en ces termes : « Tout ce que nous venons de dire suffit assez, ce me

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semble, pour faire connaître à fond l'insuffisance et la fausseté de la méthode de M. Newton. »

Lagrange discute ensuite la solution du problème de Chordis vibrantibus , donnée par Taylor dans sa Methodus incrementorum, solution que nous avons analysée dans un des précédents volumes de cette histoire; il ne la trouve pas parfaite et cela n'étonnera personne ; mais il commet, dans les mots^ une petite erreur que nous croyons devoir rectifier, parce que, déjà reproduite par M. Hœfer, elle a pu troubler les mânes de l'irascible géomètre anglais et qu'il est facile de leur rendre le repos.

Lagrange, qui a étudié plus profondément que je ne l'ai fait moi-même la théorie de Taylor^ y a découvert ou en a tiré (je n'ai plus l'ouvrage sous les yeux) l'équation de la courbe affectée par la corde vibrante, à l'époque t, savoir :

j^=zYsm{xs/f) sin (i y/^),

où Y est l'o. donnée maximum de cette courbe et ou /et g- représentent des constantes.

Mais Lagrange traduit la pensée de Taylor en disant que ce géomètre croyait que « les figures affectées par la corde ne pouvaient être que celles d'une espèce de cycloïdes allongées, qu'il nomme compagnes de la cjrcloïde. »

Taylor, s'il eût été encore de ce monde, se serait plaint avec raison qu'on lui imputât, d'avoir confondu la cycloïde, et la sinussoïde, allongées ou non. Taylor ne désigne pas la courbe dont il parle sous le nom de sinussoïde, parce que ce mot n'était pas encore inventé; il se sert de celui de Compagne de la trochoïde que lui avait donné Roberval, ce que Lagrange ignorait,

i6S Treizième Période.

sans doute, n'ayant probablement pas lu les œuvres de Roberval, ce dont il est fort excusable, car il n'y aurait certainement pas pris un plaisir extrême; mais Taylor ne doit pas en supporter les conséquences.

Quoi qu'il en soit, Lagrange trouve avec raison que la solution de Taylor « est bien éloignée d'être générale^) ; que « l'hypothèse que tous les points de la corde s'étendent en même temps en ligne droite est entièrement gratuite » et qu'en tout cas « il faudrait encore démontrer que c'est dans le seul cas des forces accélératrices proportionnelles aux distances des points de la corde à Taxe, que tous ses points peuvent toucher l'axe dans le même instant. »

Il passe ensuite à l'examen de la méthode de d'Alembert, « qui est sûrement une des plus ingénieuses qu'on ait tirées jusqu'ici de l'Analyse. » mais dont l'auteur avait à tort restreint les applications en supposant que la figure primitive de la corde a dut être renfermée dans une équation condnue. » tandis que la fonction arbitraire qui définit la courbe peut être entièrement quelconque, comme le soutenait Euler.

Quant au Mémoire de Lagrange, nous regrettons d'être obligés de nous borner à ajouter à l'analyse que nous en avons reproduite, que la méthode de l'auteur consiste essentiellement à considérer d'abord, au lieu de la corde continue, un polygone chargé en chacun de ses sommets d'un poids particulier, à résoudre la question du mouvement de ce polygone, et à étendre ensuite la solution au cas où le polygone se transformerait en une courbe continue.