VI. — Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les

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maxima et les minima des formules intégrales indéfinies (Miscellanea Taurinensia, 1760-1761).

Ce mémoire contient l'exposition du Calcul des Variations, dans sa première partie, et un certain nombre d'exemples.

La méthode n'y est pas exposée avec assez de détails, ce qui, peut-être, a fait qu'elle l'a été depuis avec trop de prolixité par quelques auteurs. Outre l'objet qu'il avait principalement en vue, en proposant une méthode entièrement neuve et beaucoup plus avantageuse pour traiter les questions de maximums et minimums d'intégrales, Lagrange avait encore à faire ressortir la nécessité de cette nouvelle méthode pour résoudre les difficultés que présentent les cas où, d'après la nature de la question posée, les limites de l'intégrale considérée sont elles-mêmes inconnues.

Il n'est pas étonnant qu'avec sa supériorité de vue et l'esprit de généralisation qu'il portait en toutes choses, il ait été amené à faire varier la variable indépendante, en même temps que les fonctions inconnus, de façon à ne présenter les variations de celte variable indépendante, aux limites, que comme des valeurs particulières de la variation de cette variable, entre ces limites.

Il serait impossible de méconnaître que les formules des équations acquièrent par là plus de symitrie et plus de généralité.

Mais cette manière de présenter la théorie amène forcément quelques obscurités, dans lesquelles, au reste, il faut voir l'origine des longueurs auxquelles je faisais allusion plus haut.

On a pu remarquer que, dans l'exposition que j'ai proposée plus haut du Calcul des Variations^ j'ai cru pouvoir suppiimer la variation ox, en tant que fonction de la variable indépendante jc, et n'introduire, dans les calculs, que les accroisse-

170 T}^eipème Période.

ments Bxq et ox^ que pourraient subir les limites Xq et Xi ; l'exposition me paraît par là très simplifiée et bien suffisante encore, au moins lors d'une première étude. Cette démonstration est celle que je m'étais faitepour mon propre usage, à l'École Polytechnique, lorsque j'y étais élève; elle me paraissait beaucoup plus facile à suivre que celle que nous donnait M. Duhamel. J'ai vu depuis, avec plaisir, que c'était à peu près celle que M. Navier avait adoptée dans son enseignement.

VII. — Application de la Méthode exposée dans le mémoire précédent à la solution de différents problèmes de Djrnamique. (Mîscellanea Taurinensia, 1 760-1 761.)

Euler avait démontré que lorsqu'un corps se meut sous l'action de forces tendant vers des points fixes « l'intégrale de la vitesse, multipliée par l'élément de la courbe, fait toujours un maximum ou un minimum ». C'est ainsi qu'il énonçait le principe de la moindre action de son ami Maupertuis.

Lagrange énonce, mais sans démonstration, ce théorème plus général : a Soient tant de corps qu'on voudra M. M', M". . . qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, et qui soient de plus, si l'on veut, animés par des forces centrales proportionnelles à des fonctions quelconques des distances : que s, s' , s" dénotent les espaces parcourus par ces corps dans le temps t et que w, w', w," soient leurs vitesses à la fin de ce temps : la formule

M Cuds-h M' fu' ds' + M" fu" ds" — . . sera toujours un maximum ou un minimum. »

De Lagrange à Laplace. 171

Le mémoire qui nous occupe a trait aux applications qu'on peut faire de ce théorème.

VIII. — Solution de différents problèmes de Calcul intégral (Miscelianea Taurinensia, 1762- 1765).

IX. — Solution d'un problème d'Arithmétique (Miscelianea Taurinensia, 1766-1769).

Le problème dont il s'agit est : « Étant donné un nombre quelconque entier et non carré, trouver un nombre entier et carré tel que le produit de ces deux no7nbres augmenté d'une unité soit un nombre carré. »

Ce problème avait été adressé en défi, avec plusieurs autres, aux géomètres Anglais, par Fermât; Wallis l'avait résolu par une méthode qui ne consistait guère qu'en des tâtonnements successifs ; puis il avait été abandonné.

Lagrange donne dans ce mémoire une méthode « pour la résolution des équations du second degré à deux inconnues, par des nombres entiers » ; mais il y reviendra plus tard.

X. — Sur l'intégration de quelques équations différentielles dont les indéterminées sont séparées mais dont chaque membre en particulier n^esl point intégrable, (Miscelianea Taurinensia, 1766-1769).

Les équations que vise Lagrange, dans ce mémoire, sont celles qui se réduisent à la forme

dx dy

[72 Treizième Période.

OÙ X et Y sont respectivement des fonctions de x et de y. Lagrange étudie en particulier l'équation

dx dy

y/a -H px H- yjc^ -j- Ix^ -H £X* y/a + pj^^ | ^^2 | §^3 ^ ^^4 dont l'intégrale est comprise dans la forme

A 4- B (jc -f- J-) -I- C (x^ -hx^) + Dx;^4- E(jir-j^+j^2x)-T- Y x^y- = 0

oti A, B, C, D, E et F doivent satisfaire aux conditions

B2-4AC=:a

2BD — 4(AE + BC)r=p

2 BE -r D2 - 4( AF 4- O -f- BE) =r y

2DE- 4(BF-l-CE):::rS