E2-4CF

Xf. — Sur la Méthode des Variations (Miscellanea Taurinensia, 1766- 1769).

Ce mémoire contient des additions importantes à celui oti Lagrange avait d'abord exposé sa méthode; il a aussi pour objet de répondre à diverses critiques^ qu'il serait inutile de reproduire aujourd'hui.

XII. — Recherches sur le mouvement d'un corps qui est attiré vers deux centres fixes, (Miscellanea Taurinensia, T. IV 1766-1769.)

Le problème que Lagrange résout dans ce mémoire avait déjà été traité par Euler, dans les Mémoires de l'Académie de Ber-

De Lagrange à Laplace. l'jZ

lin pour 1760 et dans le tome X des nouveaux commentaires de Pétersbourg, mais seulement dans le cas où le corps se mouvrait dans un plan passant par les deux centres fixes.

« Comme le problème dont il s'agit a^ dit Lagrange, un rapport immédiat avec celui des trois corps, il ne serait pas impossible que la méthode qui y est employée ne fut de quelque utilité pour la solution de ce fameux problème qui fait depuis si longtemps l'objet des travaux des plus grands Géomètres. »

Toutefois Lagrange remarque très bien, un peu plus loin, que le problème du mouvement de la Lune, attirée à la fois par le Soleil et la Terre, diffère notablement de celui qui vient d'être énoncé en ce que la Terre n'est pas fixe.

En désignant par/? et par q la somme et la différence des distances du mobile aux deux points fixes, Lagrange parvient aux deux équations suivantes, remarquablement simples et où, de plus, les variables se trouvent séparées

dp dq

-hD)p^

p-hE

et

dt—-

p^dp

■S/Cp'

-hUp^

g'dq

4 v/C^4- Nq^ + Dq^- N/ ^

où M et N désignent la somme et la différence des forces attractives des deux points fixes à l'unité de distance, fia distance de ces deux points et C, D, E des constantes, introduites à la suite d'intégrations précédentes, et qui dépendent des circonstances initiales.

Ces équations ramènent comme on voit la solution du problème à la théorie des intégrales elliptiques.

Quant à Tangle 9 du plan des trois corps avec un plan fixe passant par les deux points attirants, il serait fourni par l'équation

dp

(p^ — P ) v/Cp* + Mp^ -+- D/?^ — U.pp -h E

qui n'est pas moins remarquable.

La fin du Mémoire est consacrée à l'examen de quelques cas particuliers, où les intégrations peuvent être effectuées par arcs de cercle ou par logarithmes.

Une seconde partie traite du cas où les attractions exercées par les deux points fixes ne varieraient plus en raison inverse des carrés des distances. — Il s'y trouvait quelques petites erreurs que M. Serret a eu le soin de corriger.

XIII. — Sur la figure des Colonnes. (MiscellaneaTaurinensia, tome V, 1 770-1773.)

« On a continué de donner aux colonnes la figure d'un conoïde qui ait sa plus grande largeur vers le tiers "de sa hauteur, et qui aille de là en diminuant vers les deux extrémités; d'où résulte ce qu'on appelle vulgairement le renflement. Mais personne, que, je sache^ n'a encore donné une raison satisfaisante de cette pratique....

a N'y aurait-il pas, dans la nature même de la chose, quelque principe qui pût servir à déterminer la question.-^ Parmi ceux

De Lagrange à Laplace. lyS

qui servent de fondement à l'Architecture, il n'y en a qu'un seul qui ait des règles fixes et invariables, et par conséquent susceptibles de calcul : c'est la solidité. Il faut donc examiner si l'on peut déduire de cette considération les conditions nécessaires pour la détermination et la solution du problème dont il s'agit. »

En conséquence, Lagrange se propose de déterminer la méridienne de la colonne qui, ayant une hauteur et un volume donnés, pourrait supporter la plus grande charge.

Il trouve que « la figure cylindrique est celle qui donne le maximum maximorum de la force. »

Ce Mémoire contenait un grand nombre de fautes que M. Serret a corrigées.

XIV. — Mémoire sur Vutilité de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations, dans lequel on examine les avantages de cette méthode par le calcul des probabilités^ et où l'on résout différents problèmes relatifs à cette matière. (Miscellanea Taurinensia, T. V, 1770-1773.)

XV. — Sur la percussion des fluides. (Mémoires de l'Académie des Sciences de Turin, T. I, 1784- 1785.)

Lagrange, dans ce Mémoire, se propose de déterminer la résultante des pressions normales exercées sur un plan fixe par une veine liquide qui tombe sur ce plan dans une direction normale. Il trouve que, « quand le plan est assez large pour que toutes les particules du fluide soient contraintes d'en suivre la direction en le quittant, l'action contre le plan est égale au poids d'une colonne du fluide de la même grosseur que la veine

176 Treizième Période,

et d'une longueur double de celle d'où un corps pesant devrait tomber pour acquérir la vitesse du fluide. »

XVI. — Sur une nouvelle méthode de Calcul intégral pour les différentielles affectées d'un radical carré sous lequel la variable ne passe pas le quatrième degré. (Mémoires de l'Académie de Turin, T. II, 1784-1785.)

L'objet que se propose Lagrange dans ce Mémoire est de trouver des séries convergentes pour les intégrales des différentielles mentionnées dans l'énoncé, mais qu'il transforme d'abord de façon que la fonction du quatrième degré placée sous le signe radical, se décompose en deux facteurs :

I —p^X' et I — q-x-.

Cette très importante transformation n'avait pas, je crois, été effectuée auparavant.

XVII. — Sur les courbes tautochrones. (Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin, T. XXI,

« On appelle en général tautochrone une courbe telle, que si un corps se meut le long de sa concavité, soit en montant, soit en descendant, il emploie toujours le même temps à parcourir un arc quelconque à partir du point le plus bas.

« M. Huygens ayant démontré que la cycloïde était la tautochrone des corps pesants dans le vide^ cette découverte excita la curiosité des géomètres, et les engagea à chercher une méthode directe et analytique pour résoudre le problème du tautochronisme dans une hypothèse quelconque.

De Lagrange à Laplace. 177

« MM. Jean Bernoulli et Euler se sont particulièrement appliqués à cette recherche, et ont donné presque en même temps^ l'un dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année ij?>o, et l'autre dans le tome IV des Commentaires de l'Académie de Pétersboiirg, et ensuite dans le second volume de sa Mécanique^ des méthodes très ingénieuses pour déterminer les tautochrones dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, et dans quelque hypothèse de pesanteur que ce soit.

« Il n'est pas difficile de satisfaire à la condition (de tautochronisme) lorsqu'on peut avoir l'expression de la vitesse w, ce qui arrive quand la résistance est nulle et quand elle est proportionnelle au carré de la vitesse; mais il n'en est pas tout à fait de même dans les autres cas, où l'équation en 11 n'est pas intégrable. Aussi les deux grands géomètres dont nous venons de parler n'ont-ils considéré d'autres hypothèses de résistance que celle du carré de la vitesse, et M. Fontaine est le seul qui ait fait jusqu'ici quelques pas de plus dans cette recherche, ... ; et l'on peut regarder l'ouvrage qu'il a donné sur cette matière, comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, et surtout comme celui qui a le plus contribué à la célébrité de cet illustre mathématicien.

« Mais quelque profonde et quelque ingénieuse que soit la nouvelle théorie des tautochrones (contenue dans cet ouvrage), il faut avouer qu'elle laisse encore beaucoup à désirer. Lorsqu'il n'y a point de résistance, et que, par conséquent, la force accélératrice du corps est entièrement indépendante de la vitesse, on sait depuis longtemps que le tautochronisme exige que cette force soit proportionnelle à l'espace qui reste à parcourir. Mais

M. Marie, — Histoire des Sciences, IX. 12 -

178 Treizième Période.

quelle est en général la force nécessaire pour produire le tautochronisme, en la regardant comme une fonction quelconque de l'espace et de la vitesse? Voilà le problème qu'il faut résoudre pour avoir une théorie générale et complète des tautochrones. » C'est le problème que résout Lagrange dans le Mémoire dont nous avons reproduit le titre.

XVIII. — Mémoire sur le passage de Vénus du "i juin 1769. (Mémoires de l'Académie de Berlin, T. XXII, 1766.)

« Personne n^ignore les grands avantages que l'Astronomie peut retirer des observations des passages de Vénus sur le disque du Soleil. Non seulement elles servent à rectifier les principaux éléments de la théorie de cette planète, elles sont encore très utiles pour déterminer la parallaxe du Soleil. Le passage qui a été observé en 1761 a déjà beaucoup diminué l'incertitude où l'on était sur la vraie quantité de cette parallaxe; mais c'est à celui que nous attendons, et qui sera le dernier qu'on puisse voir dans ce siècle, à la fixer d'une manière bien certaine et irrévocable. Cette considération m'a engagé à discuter dans ce Mémoire les moyens que l'observation de ce phénomène peut fournir de décider un point si important. On y verra : 10 comment on peut calculer l'effet que les parallaxes combinées de deux astres quelconques doivent produire sur la distance de ces deux astres ; 2° on y trouvera une méthode très simple et très commode pour déterminer, en général, dans les passages des planètes sur le Soleil, les parallaxes d'entrée, de sortie et de durée pour tous les pays de la terre; 3° une méthode pour déduire la parallaxe du Soleil de trois observations d'un même passage, faites dans trois endroits différents, indépendamment

De Lagrange à Laplace. 179

de la connaissance du mouvement de la planète ; 4*^ enfin on y trouvera l'application de notre théorie au passage de Vénus qui doit arriver le 3 juin 1769 au soir^ avec quelques remarques relatives au choix des lieux où il pourra être observé avec le plus de fruit. ->

XIX. — Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. (MémoiTQs de l'Académie de Berlin, T. XXIII, 1769.)

« Lorsque l'équation finale à laquelle conduit la solution d'une question renferme plus d'une inconnue, le problème est indéterminé; et envisagé généralement, il est susceptible d'une infinité de solutions; mais si la nature de la question exige que les quantités cherchées soient rationnelles, ou même qu'elles soient exprimées par des nombres entiers, alors le nombre des solutions peut être très limité; et la difficulté se réduit à trouver^ parmi toutes les solutions possibles, celles qui peuvent satisfaire à la condition prescrite.

a Quand l'équation finale n'est que du premier degré, toutes les solutions sont rationnelles par la nature même de cette équation (si l'idée est juste, l'expression au moins n'en est pas très heureuse) et si l'on veut de plus que les inconnues soient des nombres entiers, on peut les déterminer facilement par la méthode des fractions continues (ou aussi facilement^ mais d'une façon plus satisfaisante, sans fractions continues). Il n'en est pas de même des équations qui passent le premier degré, et qui conduisent naturellement à des expressions irrationnelles. On n'a point de méthode directe et générale pour trouver les nombres commensurables qui peuvent satisfaire à ces équations lors même qu'elles ne sont qu'au second degré; et il faut avouer que

[8o Treizième Période.

cette branche de l'Analyse, quoique peut-être une des plus importantes (je ne puis m'empêcher de dire que je ne partage pas cette opinion), est néanmoins une de celles que les Géomètres paraissent avoir le plus négligées, ou du moins dans lesquelles ils ont fait jusqu'à présent le moins de progrès.

c( Diophante et ses commentateurs ont, à la vérité, résolu un grand nombre de problèmes indéterminés du second, du troisième et même du quatrième degré ; mais la plupart de leurs solutions n'étant que particulières, il n'est pas étonnant qu'il se trouve encore des cas d'ailleurs fort simples, et en même temps fort étendus, pour lesquels les méthodes de Diophante soient absolument insuffisantes.

« S'il s'agissait, par exemple, de résoudre l'équation

A4-Bf2 = «2

en supposant A et B des nombres entiers non carrés, c'est-à-dire de trouver une valeur rationnelle de t telle que A -h B^- devînt un carré, on verrait aisément que tous les artifices connus de l'Analyse de Diophante seraient en défaut pour ce cas; or, c'est précisément à ce cas que se réduit la solution générale des problèmes indéterminés du second degré à deux inconnues.

« Personne, que je sache, ne s'est occupé de ce problème, si l'on en excepte M. Euler, qui en a fait l'objet de deux excellents Mémoires qui se trouvent parmi ceux de l'Académie de Pétersbourg; mais il s'en faut beaucoup que la matière soit épuisée. Car, 1° M. Euler n'a considéré dans l'équation

A-t-B^2^M2 que le cas où B est un nombre positif et oti t et u doivent être

De Lagrange à Laplace. 18 1

des nombres entiers; 2^ dans ce cas même, M. Euler suppose qu'on connaisse déjà une solution de l'équation et il donne le

moyen d'en déduire une infinité d'autres ; 3*^ les formules

que M. Euler donne pour trouver une infinité de solutions, dès qu'on en connaît une seule, ne renferment pas toujours et ne sauraient renfermer toutes les solutions possibles, à moins que A ne soit un nombre premier.

« Les recherches que j'ai faites depuis quelque temps sur cette matière m'ont conduit à des méthodes directes, générales et nouvelles pour résoudre les équations de la forme

et en général toutes les équations du second degré à deux inconnues, soit que les inconnues puissent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, soit qu'elles doivent être des nombres entiers. »

Comme la question est peu connue j'en dirai quelques mots ici, bien que, personnellement, je n'y trouve pas un grand intérêt.

La résolution en nombres commensurables d'une équation quelconque du second degré à coefficients entiers

ajc^ -f- Ç>xy -h yy- -h ox -h zjr -h ^ — o

se ramène presque immédiatement à celle d'une autre équation plus simple telle que

tr-- Bt^-rA

parce que, si l'on en multiplie tous les termes par 4, qu'on y complète le carré dont la racine serait

2ax -h Pj^ -H 0 -

Treizième Période.

et qu'on réduise les autres termes, qui seront en y seul, la question sera ramenée à faire en sorte que l'ensemble de ces autres termes, changés de signes, soit un carré^ ce qui donnera, par exemple, la condition

et si l'on répète l'emploi du même procédé, on tombera sur une dernière équation

Du reste, à une solution en nombres commensurables de cette dernièrç équation, il correspondra toujours des valeurs commensurables de jr et de x.

Si B était un carré tel que b^, on résoudrait l'équation par la méthode de Diophante en posant

uz=bt -{-:{, d'oti il résulterait

et Ton pourrait prendre pour ^ telle valeur commensurable que

l'on voudrait.

Mais si l'on voulait que t Qt u fussent entiers, on recourrait

de préférence à cette remarque très simple que le produit

[u-\- bt) {u — bt) devant donner A, on n'aurait qu'à décomposer

A de toutes les manières possibles en deux facteurs ^ et q, à

faire

u-hbt=-p et u — bt^=q

d'oîi

u=l±^ et f=^

et à rejeter les valeurs fractionnaires.

De Lagrange à Laplace. i83

Si c'était A qui fut un carré, a^ on ferait il viendrait

et toutes les valeurs commensurables attribuées à :{ fourniraient pour / et w des valeurs correspondantes, également commensurables.

Si l'on voulait que f et m fussent entiers^ on remarquerait que l'équation proposée pouvant être écrite sous la forme

on pourrait faire

u-{- a ^=^pt et u — a^= qt,

p et q désignant deux facteurs entiers quelconques de B, et rejeter les solutions fractionnaires par rapport à t, qui résulteraient de ce système.

Mais cette méthode ne ferait pas nécessairement connaître toutes les solutions de l'équation proposée, car on aurait pu aussi bien poser

u-^ arr^px' et u — a=^qb^

T et 0 désignant deux facteurs de t.

« Ce sont là, dit Lagrange, les seules méthodes qu'on ait eues jusqu'à présent pour résoudre les équations de la forme

A-^Bf2 = M^

méthodes qui ne sont absolument applicables qu'aux cas où A et B sont des nombres carrés : dans tous les autres cas, on en était réduit au simple tâtonnement, moyen non seu-

184 Tvei:^ième Période,

lement long et pénible, mais presque impraticable, à moins que les quantités cherchées ne soient renfermées dans de certaines limites; or, c'est ce qui n'a lieu que dans les cas où, A étant positif, B est négatif; car, puisque u^ doit être entier et positif, il est clair que B^- devra être moindre que A, et que par conséquent t devra nécessairement être moindre

que v/d' de sorte qu'il n'y aura dans ce cas qu'à substituer successivement, au lieu de ^, tous les nombres positifs moindres que \/-d' ^^ choisir ceux qui rendront A — Bf- égal à un

carré. Il n'en est pas de même lorsque B est positif, parce qu'alors if peut augmenter à l'infini; et, en général, soit que B soit positif ou négatif, le nombre des substitutions à essayer sera toujours nécessairement indéfini, dès qu'on voudra admettre des nombres rompus; ce qui prouve d'autant plus la nécessité d'avoir pour cet objet des méthodes directes et analytiques telles que celles que nous allons donner. »

Il nous a paru indispensable de reproduire ces importants détails historiques et de préciser l'objet des efforts victorieux de Lagrange, mais nous ne pourrions même pas donner l'analyse de la solution à laquelle il est parvenu. Comme nous l'avons déjà dit, nous devons nous borner à indiquer les résultats des recherches des Géomètres des dernières périodes, en vue seulement de donner aux lecteurs des indications concernant les sources à consulter.

XX. — Sur la résolution des équations numériques. (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXIII, 1769.)

De La^range à Laplace. i8b

XXI. — Addition au Mémoire sur la résolution des équations numériques. (Mémoires de FAcadémie de Berlin, Tome XXIV, 1770.)

C'est dans cette addition que se trouve la démonstration de ce beau théorème de Lagrange que toute racine incommensurable d'une équation du second degré à coefficients entiers, développée en fraction continue, donne lieu à un quotient périodique.

« M. Euler, dit l'auteur, avait observé, dans un excellent Mémoire inséré au Tome XI des Nouveaux Commentaires de Fétersbourg, que la racine carrée d'un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique; mais ce théorème, qui n'est qu'un cas pariiculierdu nôtre, n'a pas été démontré par M. Euler. »

XXII. — Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nombre entiers. (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXIV, 1770.)

Lagrange, dans ce mémoire, élargit le cadre de ses précédentes recherches sur la question, puis revient sur la résolution de l'équation.

hv-ht'^u\

XXIII. — Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries. (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXIV, 1770.)

'( levais donner dans ce Mémoire une méthode très simple et

j86 Treizième Période.

très générale pour réduire les racines des équations littérales en suites infinies, matière sur laquelle plusieurs Géomètres se sont déjà exercés.

« Ma méthode a, si je ne me trompe, de grands avantages sur toutes les méthodes connues pour le même objet.

« i" Elle donne l'expression de chaque racine de l'équation proposée, au lieu que les autres méthodes ne donnent ordinairement que l'expression d'une seule racine;

« 2° Elle donne les racines cherchées par des séries régulières, c'est-à-dire telles que leurs termes suivent une loi générale et connue, de sorte qu'il est très facile de les continuer autant que Ton veut ;

« 3° Ces séries sont, de plus^ telles qu'on peut aisément trouver la forme de leurs derniers termes et en déduire les conditions qui les rendent convergentes ou divergentes ;

a 4° On peut aussi^ par la même méthode, avoir l'expression d'une puissance quelconque de la racine cherchée, et même d'une fonction quelconque de cette racine;

« 5° Enfia cette méthode s'applique également aux équations transcendantes, qui renferment des logarithmes et des arcs de cercles, et peut servir à résoudre différents problèmes importants de cette espèce d'une manière simple et plus exacte qu'on ne pouvait le faire jusqu'à présent. »

Lagrange, comme on a déjà pu le constater par les extraits que j'ai déjà reproduits, textuellement d'ailleurs, a le grand mérite d'indiquer toujours très nettement l'état oti se trouvait avant lui chacune des questions qu'il traite, ce qu'il a cherché à ajouter aux solutions proposées avant lui et ce qu'il pense avoir apporté de neuf et d'utile, relativement à chaque sujet.

De Lagrange à Laplace. 187

La manière dont il pose les questions est toujours si claire et les indications qu'il donne sur ce qu'il se propose de faire sont toujours si lumineuses que lorsqu'on l'a lu on reconnaît immédiatement l'impossibilité, je ne dis pas de faire mieux^ mais même de changer quoi que ce soit à l'analyse qu'il fournit de chacun de ses Mémoires.

C'est pourquoi nous nous sommes borné jusqu'ici à le citer, et nous continuerons vraisemblablement à agir de même; d'autant que par des raisons que nous avons déjà suffisamment indiquées, nous sommes obligé de nous borner à indiquer au lecteur les questions traitées par les auteurs dont il nous reste à faire connaître les travaux, et les solutions qu'ils pensent avoir inébranlablement établies.

Mais il nous sera permis de prier le lecteur de ne pas conclure de mention à acquiescement^ la discussion complète des solutions indiquées n'étant plus possible. Au surplus il n'est pas indispensable d'admettre d'avance l'exactitude ou l'utilité de tout ce qui se trouve dans un ouvrage pour être tenté d'en prendre connaissance, le programme peut suffire.

XXIV. — Sur la force des ressorts plies. (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXV, 1771.)

tt On sait que la force d'un ressort plié s'affaiblit toujours à mesure que le ressort se débande,, mais on ignore la loi suivant laquelle se fait cet affaiblissement : or, c'est de cette loi que dépend la figure des fusées que l'on applique aux montres et à la plupart des horloges à ressort, et dont la propriété est de maintenir l'action du ressort dans l'égalité au moyen de la différente grandeur des rayons qui forment la rainure spirale ; car selon que

la corde qui se désentortille se trouve appliquées une plus grande distance de la l'axe de la fusée, l'action du ressort devient aussi plus grande, et il faut que cette augmentation compense exactement la diminution de force que le ressort souffre en se déroulant.

(( Dans les ressorts qui agissent en s'allongeant ou en se raccourcissant, il paraît que la force est proportionnelle à la quantité dont ils se dilatent ou se contractent, ou du moins, à une fonction donnée de cette quantité; mais ce principe n'a pas lieu dans les lames élastiques inextensibles et pliées en spirales, telles que celles qu'on applique aux horloges : le seul principe qu'on puisse employer pour ces sortes de ressorts est que la force avec laquelle le ressort résiste à être courbé est toujours proportionnelle à l'angle même de courbure; et c'est d'après ce principe que de très grands Géomètres ont déterminé la courbe qu'une lame élastique doit former lorsqu'elle est bandée par des forces quelconques données. Or voici le problème qu'il faut résoudre pour pouvoir connaître la loi de la force des ressorts plies :

« Une lame à ressort de longueur donnée et fixe par une de ses extrémités étant bandée par des forces quelconques qui agissent sur Vautre extrémité^ et qui la retiennent dans une position donnée^ déterminer la quantité et la direction de ces forces.

« Ce problème n'a encore été résolu, que je sache, par aucun Géomètre, c'est ce qui m'a déterminé à en faire l'objet de ce Mémoire. »

Cet excellent opuscule où sont discutées et corroborées les solutions des deux Bernoulli du problème de la courbe élastique, contient quelques fautes, dans sa partie neuve.

De Lagvange à Laplace.

Cela prouve une fois de plus qu'il n'y a pas d'œuvres sans défauts. On peut je crois s'en consoler sur ce que les ouvrages où l'on ne pourrait en signaler aucun autre présenteraient probablement le plus grand de tous : celui d'être sans qualités.

Au reste, il ne s'agit ici que de fautes de calcul sans importance, et qu'il a été facile de corriger dans la réimpression.

Mais, quant aux fautes plus graves, il ne faudrait pas trop s'étonner d'en rencontrer dans les œuvres des grands hommes^ en effet tout homme supérieur est déjà plus ou moins un monstre, il faut donc qu'il présente des irrégularités et des inconséquences.

XXV. — Sur le problème de Kepler, (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXV, 1771.)

« Ce problème consiste, comme on sait, à couper l'aire elliptique en raison donnée, et sert principalement à déterminer l'anomalie vraie des planètes par leur anomalie moyenne. (On nomme anomalie vraie, l'angle du rayon vecteur mené du Soleil à la planète avec le grand axe de l'orbite de cette planète; quant à l'anomalie moyenne c'est la quatrième proportionnelle à l'aire entière de l'orbite, au secteur correspondant à l'anomalie vraie et à quatre droits.) Depuis Kepler, qui a le premier essayé de le résoudre, plusieurs savants Géomètres s'y sont appliqués et en ont donné différentes solutions qu'on peut ranger dans trois classes. Les unes sont simplement arithmétiques et sont fondées sur la règle de fausse position : ce sont celles dont les Astronomes se servent habituellement dans le calcul des éléments des planètes : les autres sont géométriques ou mécaniques, et dépendent de l'intersection des courbes : celles-ci sont plutôt de simple curiosité

iQo Treizième Période.

que d'utilité dans l'Astronomie; la troisième classe enfin comprend les solutions algébriques, qui donnent l'expression analytique de l'anomalie vraie par l'anomalie moyenne, aussi bien que de celle du rayon vecteur de l'orbite, expressions qui sont d'un usage continuel et indispensable dans la théorie des perturbations des corps célestes.

« L'équation par laquelle on doit déterminer la relation qui a lieu entre Tanomalie moyenne et l'anomalie vraie, est transcendante et ne peutj par conséquent, être résolue que par approximation, de sorte qu'on est obligé d'avoir recours aux suites infinies ; or on ne peut déterminer directement que l'anomalie moyenne par l'anomalie vraie; et pour avoir l'expression de celle-ci par le moyen de celle-là, il faut employer la méthode du retour des suites, qui est non seulement longue et pénible, mais qui a aussi l'inconvénient de donner des séries irrégulières où l'on ne saurait connaître la loi des termes. »

Lagrange emploie, pour résoudre la question, la méthode qu'il a développée dans le Mémoire auquel nous avons donné le n° XXIII et qui a pour objet la résolution des équations littérales par le moyen des séries.

XXVI. — Sur V élimination des inconnues dans les équations. (Mémoires de l'Académie de Berlin, Tome XXV, 1771.)

« Lorsqu'on a deux équations qui renferment la même inconnue élevée à des degrés quelconques, on peut toujours, par les règles ordinaires de l'Algèbre, éliminer cette inconnue; mais on risque de tomber dans un inconvénient : c'est que l'équation résultante de l'élimination monte à un degré plus élevé qu'elle ne doit. Plusieurs habiles Géomètres ont senti cet inconvénient

De Lagrange à Laplace. 191

et ont donné des moyens de l'éviter; c'est ce que MM. Euler, Cramer, Bézout et d'autres ont fait par des méthodes qui leur sont propres. . .

« La méthode que je vais exposer ici a l'avantage de réduire l'élimination à des formules générales et très simples dont les analystes pourront faire usage au besoin. »

Cette méthode repose en somme sur l'usage des fonctions symétriques des racines d'une des équations, mais par un procédé détourné, dont je ne vois pas l'avantage.

XXVII. — Nouvelles i^éflexions sur les tauiochrones. (Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1770.)

Ce Mémoire a en partie pour objet de répondre à des critiques adressées par Fontaine à Lagrange, sur son Mémoire de 1765, auquel nous avons donné le n° XVII; mais il contient de nouveaux développements sur la question, et, principalement, la solution de ce problème ;

a Soit a l'espace total que peut parcourir un corps qui part d'un point donné avec une certaine vitesse et qui est continuellement retardé dans sa marche par une force variable p\ soient de plus X un espace quelconque parcouru pendant le temps t. u la vitesse du corps au bout de ce temps, et L une fonction quelconque donnée de jk: et de a ; on demande par quelle fonction de u et de X doit être exprimée la force ^, pour que le temps t soit égal à une fonction quelconque de L. »

« Ce problème, dit Lagrange, n'a pas encore été résolu et il sert à jeter un grand jour sur celui des tautochrones. »