DC

Gavalieri démontre ensuite que, si un demi-segment droit de parabole, tel que AOB {fig. 6), tourne autour de son axe AO, le

Fi2. 6.

volume qu'il engendrera sera les — de celui qu'engendrerait le

rectangle AOBC; l'évaluation de ce rapport avait été proposé par Kepler.

La QjLiarta Exercitatio se termine par la note de Beaugrand. Nous donnons seulement les énoncés de deux des questions qui y sont traitées; on verra qu'en reproduisant cette note, Gavalieri a poussé rhonnêteté aussi loin que possible, car la méthode indiquée par Beaugrand diffère bien peu de la sienne.

I'* Etant donnée une ligne divisée en deux parties égales et en

De Cavalieri à Htiyghens. 89

deux parties inégales, trouver la composition de la somme des puissances semblables quelconques des deux parties inégales.

Beaugrand étend sa formule jusqu'aux cubocubocubes.

2° Si un parallélogramme est divisé en deux triangles par une de ses diagonales, la somme des quadratocubes des lignes équidistantes, en nombre infini, menées dans le parallélogramme, parallèlement à sa base, sera sextuple de la somme des quadratocubes des parties de ces lignes interceptées dans le triangle.

Beaugrand étend ensuite le théorème jusqu'aux cubocubocubes, et termine par la solution du problème de Kepler.

Nous croyons que Beaugrand n'est pas l'auteur de ces propositions, et que sa note lui aura été faite soit par Roberval ou Fermât, soit, plutôt, par Pascal.

Cavalieri, dans sa Quinta Exercitatio, traite la question, imaginée i\ plaisir, de trouver le centre de gravité d'un corps dont la densité croîtrait proportionnellement à la distance à un plan fixe. Il dit que cela est permis et le prouve par diverses raisons tirées des exemples laissés parles anciens : Archimède, qui s'est occupé de la spirale, quoiqu'il n'y ait peut-être pas dans la nature une seule spirale d'Archimède; les Grecs qui ont cherché la quadrature exacte du cercle, la trisection de l'angle, etc., quoique ces questions n'eussent pas d'utilité pratique ; enfin Galilée et Torricelli qui ont étudié un mouvement défini d'imagination, quel que pût être celui qui se produit dans la nature (remarque assez extraordinaire de la part d'un disciple de Galilée ). Il ajoute : c'est ainsi que les rhéteurs, pour s'exercer, traitent une cause feinte, afin d'être plus habiles dans les causes véritables.

Je fais cette citation pour montrer que Cavalieri n'entrevoyait aucune utilité pratique à la recherche qu'il entrcprccait; je n'en

go Neuvième Période.

vois pas davantage lorsqu'il s'agit de corps solides, mais, pour les surfaces planes, dont s'occupe particulièrement Gavalieri, c'est différent.

Le centre de gravité d'une surface plane, dont la densité croît proportionnellement à la distance à une droite à laquelle elle se termine d'un côté, n'est autre que celui du solide homogène que l'on obtiendrait en coupant le cylindre droit indéfini qui aurait pour base la surface considérée, par deux plans symétriques par rapport à ce plan de base et passant par la droite où la densité de la surface est nulle. La considération de ces troncs de cylindres a été très utile à Pascal, qui les appelle on^/eif^, et à Huyghens, qui les nomme coins. La théorie de Gavalieri a peut-être facilité les recherches de ces deux géomètres.

La sexta Exercitatio est intitulée De propositionibits miscellaneis. Il y est question d'abord de la construction des coniques, ensuite de la recherche des foyers des lentilles, puis de problèmes n'ayant aucun lien entre eux.

L'analyse de ses ouvrages montrera, je pense, que Gavalieri méritait d'être connu ; mais, s'il Test si peu, je crois pouvoir dire que ce fut bien sa faute. Si, en effet, l'on donnait des prix d'obscurité, il aurait dû, à mon avis, emporter sans conteste le premier. On ne peut absolument pas le lire; on en est constamment réduit à le deviner. Il est poète, sans doute, mais dans le sens uates. G'est assurément pour un de ses congénères que Voltaire a inventé le néologisme inlisable.

De Cavalieri à Huyghens. gi

LA LOUÈRE (ANTOINE De).

(Né en Languedoc en 1600, mort à Toulouse en 16G4.)

Il entra dans Tordre des Jésuites et professa successivement la Rhétorique, la Théologie, l'hébreu et les Mathématiques. La Louère est surtout connu par ses démêlés avec Pascal relativement à la cycloïde II avait déjà publié, en i65i, ses Elementa tetragonomisca sive qiiadratura circuli et hyberbolœ segmentorum ex datis ipsorum centris graviiatis, qui contiennent de bonnes choses.

Il prit part au concours proposé par Pascal en 1 658. et résolut un des problèmes indiqués dans le programme; le plus simple, à la vérité. Pascal découvrit une erreur de calcul dans le manuscrit de La Louère, et, saisissant l'occasion qui lui était offerte de frapper sur un membre de la célèbre Compagnie, il maltraita fort le pauvre père, le tourna en ridicule de toutes les manières, et le poursuivit jusque dans ses Provinciales.

La Louère n'avait évidemment pas assez fait pour gagner le prix, mais peut-être était-il bien dur de lui faire regretter jusqu'à ses efforts. A l'issue du concours, La Louère publia la solution du problème qu'il avait pu aborder, et y joignit ce qu'il avait pu apprendre depuis, relativement aux autres, dans un ouvrage intitulé : Geometria promota in septeni de cycloïde libris; on y trouve l'énoncé et la solution, dans un cas particulier, d'une question intéressante relative à l'aire de la courbe tracée avec un compas sur un cylindre de révolution.

Mais cette question avait été traitée auparavant par Roberval.

Pascal accuse La Louère d'avoir usé de toutes sortes d'artifices malhonnêtes pour arriver à s'attribuer la gloire d'avoir résolu

Neuvième Période.

les problèmes relatifs à la cycloïde. Mais il faudrait supposer à La Louère bien peu d'intelligence pour admettre qu'il ait cru pouvoir réussir dans un pareil projet, par un procédé aussi niais que celui que Pascal lui prête, et qui consistait à attendre la publication des solutions à la date fixée dans le défi, pour venir dire que c'étaient justement celles auxquelles il était parvenu.

FERMAT (pierre De).

(Né à Beaumont de Lomagnc;, près Montauban en l60l, moit à Paris en i655.)

Sa vie, entièrement vouée à l'étude, offre peu d'incidents remarquables. Son père était marchand de cuirs; il étudia le droit à Toulouse et devint conseiller au Parlement ( i63 i ).

Au milieu des devoirs de sa charge, il sut se créer des occupalions littéraires : composer des vers français, latins, italiens, espagnols; cultiver l'érudition grecque et se livrer aux Mathématiques avec de tels succès, qu'il marcha de pair avec les plus habiles géomètres de son temps : Descartes, Cavalieri, Roberval, WalUs, Pascal.

Pascal le nomme le premier homme du monde et avoue qu'il ne peut pas toujours le suivre dans ses recherches. * Cherchez ailleurs, lui écrivait-il, qui vous suive dans vos inventions numériques; pour moi, je vous confesse que cela me passe de bien loin; je ne suis capable que de les admirer. » Beaucoup de théorèmes sur les nombres, découverts par Fermât, ont en effet épuisé les efforts de toutes les générations suivantes, sans qu'on ait encore pu les démontrer.

De Cavalier i à Huyghens. g 3

Soit que la Géométrie fût alors considérée plutôt comme un exercice de l'esprit que comme une Science utile, soit insouciance naturelle. Fermât prenait rarement le soin de publier ses découverteSj et même d'en écrire les démonstrations. Il en résulte qu'un grand nombre de ses travaux ont été perdus et que d'autres sont dispersés dans une correspondance qui attend encore un éditeur.

D'Alembert, Lagrange et Laplace font honneur à Fermât de la première idée du calcul différentiel :

« On doit à Fermât, dit d'Alembert, la première application du calcul aux quantités différentielles pour trouver les tangentes. La Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode généralisée. »

Lagrange dit dans ses leçons sur le calcul des fonctions : « On peut regarder Fermât comme l'inventeur des nouveaux calculs. » Il justifie ailleurs son opinion de la manière suivante :

« Dans sa méthode De maximis et 77iinimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. 11 fait disparaitre dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y en a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. Or, il est facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul différentiel, qui consiste ù égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre maximum ou minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est

q4 Neuvième Période.

le même, et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits, dans le calcul différentiel, sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et l'ordonnée^ qu'il appelle la propriété spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente l'abscisse répond à la différentielle de celle-ci, et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que, dans l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, sous le titre : Nova methodus pro maximis et minimis, Leibniz appelle la différentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire de l'abscisse comme l'ordonnée à la sous-tangente, ce qui rapproche son analyse de celle de Fermât. « Cette opinion de Lagrange a été reproduite depuis dans des termes non moins formels par Laplace et Fourier.

Des lettres de Fermât, de i636, prouvent qu'il se servait déjà de la méthode des coordonnées, et l'on sait qu'il quarra les paraboles de tous les degrés, à peu près en même temps que Cavalieri.

Enfin, Laplace pense que Fermât doit partager avec Pascal l'honneur de l'invention du calcul des probabilités. Il aurait ainsi eu part à toutes les grandes découvertes de son époque.

Descartes méconnut d'abord la science profonde de Fermât

De Cavalieri à Huyghens. gS

et riposta avec aigreur aux objections qu'il avait présentées contre sa Dioptrique; mais la paix, fondée sur une estime mutuelle, se rétablit bientôt entre ces deux grands hommes.

Les principaux écrits de Fermât ont été publiés par son neveu, à Toulouse, en 1679, sous le titre : Va7~ia opéra mathematica. Le gouvernement français avait obtenu des Chambres, en 1 843, un crédit pour la réimpression de ses œuvres; mais il ne fut pas donné suite au projet, qui vient d'être repris et sera sans doute réalisé cette fois. M. Brassine a publié à Toulouse, en 1 85 3, un Précis des œuvres mathématiques de Pierre Fermât.

Fermât avait laissé une réputation de profond savoir dans les questions de droit, et de sévère intégrité. Il joignait d'ailleurs la plus grande modestie à son immense mérite. Au milieu de ses plus vives discussions scientifiques, il écrivait à Mersenn e: « M. Descartes ne saurait m'estimer si peu que je ne m'estime encore moins. »

Nous croyons qu'il y a un peu d'exagération dans les appréciations que nous venons de rapporter : La méthode de Fermât pour les maximums et les minimums , ou plus généralement pour les tangentes, est sans doute meilleure que celle de Descartes, mais c'est Huyghens qui Ta présentée sous une forme pratique, en donnant la valeur du coefficient angulaire de la tangente à la courbe, exprimé par le quotient changé de signe des dérivées, par rapport à l'abscisse et à l'ordonnée, du premier membre de l'équation de cette courbe.

D'un autre côté, c'est Barrow qui, le premier, a songé à exprimer le coefficient angulaire de la tangente à une courbe algébrique, ou transcendante, par le rapport des accroissements infiniment petits de l'ordonnée et de Tabscisse.

g6 Neuvième Période.

Enfin, il y a une distance énorme, d'une part, entre la méthode des maximums de Fermât et celle des développées de Huyghens; de l'autre, entre les procédés sommatoires de Fermât et les procédés d'intégration de Pascal.

Toutefois nous devons faire connaître avec quelques détails la méthode de Fermât pour les quadratures, parce qu'elle est incontestablement supérieure à celle de Cavalieri, beaucoup plus simple et surtout beaucoup moins détournée.

Mais nous ne pouvons nous empêcher auparavant de faire remarquer que, les deux Mémoires de Fermât sur les tangentes et les quadratures n'ayant été publiés qu'en 1679, il est impossible de savoir au juste s'ils n'ont pas été retouchés depuis Tépoque où ils furent communiqués d'abord en manuscrits à Descartes, par exemple. Il faudrait pour cela retrouver des copies manuscrites de cette époque et je ne crois pas qu'on en ait.

Sans doute le caractère de Fermât ne permet pas de supposer qu'il ait pu songer à s'attribuer la priorité d'une invention à laquelle il n'aurait pas eu de droits ; mais il n'y aurait eu de sa part rien que de très légitime à perfectionner une méthode dont il était l'inventeur^ et à en étendre les applications. La question serait donc simplement de savoir si les résultats obtenus par Cavalieri, par Roberval et par Wallis étaient encore inconnus à Fermât lorsqu'il mit pour la dernière fois la main à son Traité des quadratures. Quant à la méthode qu'il emploie, nous le répétons, elle lui est bien propre.

M. Brassine affirme que les deux Mémoires de Fermât, dont il s'agit, avaient été écrits avant la publication de la Géométrie de Cavalieri; mais la Géométrie de Cavalieri, où il expose déjà sa méthode, a paru en i635 : ce sont ItsExercitationes sex qui ont

De Cavalieri à Hiiygliens. w]

cté publiés en i653. Il est bon aussi de remarquer que, lorsqu'il s'agit des ouvrages de Fermât, M. Brassine prend la date supposée de la conception, tandis que, pour ceux de Cavalieri, il prend celle de la publication.

Quoi qu'il en soit, voici la méthode de Fermât: elle est fondée sur deux lemmes que M. Brassine, au reste, énonce tout de travers.

Lemme I.

Si l'on considère dans une progression géométrique décroissante deux termes consécutifs a et aq, il y aura le même rapport entre la différence de ces deux termes, a —aq, et le second aq, qu'entre le premier a et la somme de tous ceux qui suivent a, c'est-à-dire qu'on aura la proportion

a — aq a

aq S — a

S désignant la somme de tous les termes à partir de a. En effet