IV
que donne Aryabhata, mais qui n'avait pas passé en Occident. S'il la connaissait, il en déduirait immédiatement
lim„^„-^— ^=r -r—T = ^•
Voici comment il parvient à ce résultat : il considère un rectangle, divisé en deux triangles par une de ses diagonales, et il conçoit à travers le rectangle et l'un des triangles une infinité de parallèles à la base du rectangle, équidistantes entre elles. Les segments de ces droites compris dans le rectangle sont égaux entre eux, tandis que ceux qui sont interceptés par les côtés du triangle sont comme 1,2, 3, ...7z. Sur chacun des segments compris dans le rectangle ou dans le triangle, il construit des carrés élevés dans des plans perpendiculaires à celui de la figure. Les carrés construits sur les segments interceptés par le rectangle sont égaux entre eux et égaux au carré construit sur la base du rectangle, représentée par n, la somme de ces carrés est donc
d'autre part, les carrés construits sur les segments interceptés dans le triangle sont représentés par
qui sont les nombres dont on cherche la somme. Mais les carres construits sur les segments interceptés dans le rectangle forment les feuilles d'un parallélépipède rectangle dont la base carrée est élevée sur la base du rectangle et dont la hauteur est celle de ce
8o Neuvième Période.
rectangle; et les carrés construits sur les segments interceptés dans le triangle forment les feuilles d'une pyramide quadrangulaire dont la base est aussi le carré élevé sur la base du rectangle et dont la hauteur est celle de ce même rectangle. Mais la pyramide ayant même base et même hauteur que le parallélépipède en est le tiers. Donc
lim„=^— !— r = ôn.n- 3
Voici comment Cavalieri énonce son théorème : « Exposito parallelogrammo quocumque, in eu que diicta diametro (il fait encore diameter féminin, comme Halley) ; omnia quadrata parallelogrammi ad omnia quadrata cujusvis triangulorum per dictant diametrum constitutoriim erunt in ratione tripla, uno lateruni parallelogrammi communi régula existente. On ne sera pas étonné, je crois, si je dis que j'ai dû relire plusieurs fois ce rébus avant d'en deviner le sens. Quant à la démonstration, qui n'est pas plus claire que l'énoncé, je l'ai peut-être un peu brusquée en supposant admis que la pyramide fût le tiers du parallélépipède, mais j'ai cru comprendre que Cavalieri se servait de ce théorème connu pour établir la proposition qu'il avait en vue, sauf à se servir ensuite de cette proposition spéciale pour vérifier que la théorie des indivisibles fournissait bien les mesures des volumes d'une pyramide quelconque et d'un cône quelconque.
L'important est que les considérations géométriques employées par Cavalieri conduisent bien rigoureusement à la démonstration de la formule
lim.
'n.tï- 3
De Cavalieri à Huyghens. yr
Il ne nous reste, pour compléter l'analyse des Exercitationes prima et secunda^ qu'à reproduire les énoncés des principaux théorèmes auxquels l'auteur parvient par application de ses deux méthodes. Les voici :
Deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; parce que les nombres des Jils équidistants parallèles aux bases, contenus dans ces deux rectangles, sont entre eux comme les hauteurs.
L'une des diagonales d'un parallélogramme le décompose en deux triangles qui en sont la moitié, parce que les sommes des fils parallèles à la base compris dans le parallélogramme et dans le triangle sont doubles l'une de l'autre.
Deux pyramides de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalentes (Cavalieri dit égales).
Si deux trapèzes de même hauteur, ont aussi leurs bases parallèles respectivement égales, ces trapèzes seront égaux.
Un cylindre est le triple du cône de même base et de mé«ie hauteur.
Le parallélogramme ayant pour base celle d'un segment de parabole, dont les côtés élevés aux extrémités de la base sont parallèles au diamètre qui, dans la parabole, est conjugué de la base, et dont le dernier côté est tangent à la parabole, a avec le segment une raison sesquialtère.
Deux cylindres de même hauteur, à bases curvilignes quelconques, sont égaux lorsque les bases sont équivalentes (littéralement lorsque les bases fournissent les mêmes sommes de ri!s parallèles, équidistants), etc.
Nous passons la tertia Exercitatio, in qiia disent iuntur ea quœ a Faulo Guldino ù Societate Jcsu in cjusdem Centrobaryca M. Marie. — Histoire des Sciences, W. 6
82 Neuvième Période.
prœfatœ Geometriœ Indiuîsibilium objiciuntiir. Nous n'y trouvons rien autre chose que les preuves que Guldin n'avait pas compris les principes qu'il attaquait, et la démonstration de son théorème par la méthode des indivisibles.
La quarta Exercitatio a une plus grande importance, parce qu'on y trouve en substance la démonstration de la règle
lim,,^ . =
La préface de cette partie de l'ouvrage est assez intéressante pour que nous la reproduisions en abrégé.
« Parmi les problèmes proposés par le très subtil Kepler, dans sa Stereometria dolioriim., les plus fameux concernent la mesure des fuseaux paraboliques et hyperboliques. Comme je m'occupais de rechercher les mesures de ces solides, il arriva qu'en fouillant le sol du champ géométrique, je tombai, outre la solution des problèmes proposés, sur un trésor d'un prix bien plus grand à mes yeux. En effet, tandis que je retournais dans mon esprit la question du fuseau parabolique, je m'aperçus qu'on pourrait en avoir la mesure si l'on pouvait connaître la raison de la somme des quarrés-quarrés des fils composant un parallélogramme quelconque à la somme des quarrés-quarrés des parties de ces fils, interceptées dans l'un des triangles séparés dans le parallélogramme par une de ses diagonales.
« Cherchant donc à découvrir cette raison, je la trouvai quintuple. Rapprochant alors ce résultat de ceux que j'avais établis dans ma Géométrie relativement à la raison des sommes simples des mêmes lignes, laquelle est deux, et à la raison des sommes de leurs quarrés, qui est trois; afin que l'intervalle compris entre
De Cavalievi à Huyghens. 83
le cas des quarrés et celui des quarrés-quarrés ne restât pas vide, je m'appliquai aussi à rechercher la raison de la somme des cubes des fils contenus dans le parallélogramme à la somme des cubes de leurs parties interceptées dans le triangle, et je la trouvai quadruple. De sorte que j'entrevis avec admiration cette loi que le rapport des sommes des lignes simples était deux; celui dessommes de leurs quarrés, trois; celui des sommes de leurs cubes, quatre; celui des sommes des quarrés-quarrés, cinq; d'où j'inférais que, pour les quarrés-cubes, la raison serait six; pour les cubo-cubes, sept; et ainsi de suite, suivant l'ordre naturel des nombres commençant par l'unité.
" Ce trésor, je l'ai découvert le premier, que je sache, à l'occasion de la mesure du fuseau parabolique et l'ai mis au jour {patefeci) avant 1640, dans le dernier de ma centurie de problèmes géométriques.
« Il en résulte immédiatement la quadrature de toutes les paraboles, linéaire, quadratique, cubique, etc., ainsi que beaucoup d'autres choses admirables.
« Le père Niceron vint ici vers le temps où j'étais tombé sur ces propositions; je l'en instruisis et il lui plut, à son retour ù Paris, de proposer à l'illustre J. de Beaugrand,que je connaissais déjà, la démonstration de ma susdite proportion et de la mesure du fuseau parabolique.
« Entraîné à d'autres recherches, je ne pensais plus à celles-lù, lorsque dernièrement je fus averti, par une lettre du très savant Mersenne, que Beaugrand était mort, et, en même temps, je reçus les démonstrations qu'il avait recherchées à l'instigation de Niceron.
« Je m'affligeai beaucoup de la perte d'un homme aussi ingé-
8 l Neuvième Période.
nieux que le montraient les démonstrations qui m'avaient été envoyées.
« Mais, comme il m'avait devancé dans ce travail, j'y pensai encore moins.
<( Cependant, après un temps assez long, tendant de nouveau mon esprit de ce côté, je m'aperçus que la théorie contenue dans le second livre de ma Géométrie des Indivisibles, relativement aux sommes des lignes simples et aux sommes de leurs quarrés, pouvait être étendue à toutes les autres puissances.
(c Mettant donc la main au travail^ je me suis étudié à établir
Fig. 4.
du mieux que j'ai pu les propositions suivantes, parmi lesquelles j'ai eu soin d'insérer fidèlement les choses inventées par Beaugrand, afin qu'elles ne périssent pas et pour n'en pas priver le lecteur. »
Gavalieri commence par des propositions peu intéressantes que nous ne citons pas.
Il donne ensuite la composition du quarré, du cube et du quarré-quarré d'une ligne divisée en deux parties inégales. Il ne va pas au delà parce que, dit-il, cela lui suffit et qu'on pourra continuer si on le veut.
Il entre ensuite dans la théorie qu'il veut édifier, en recherchant les expressions des sommes de puissances semblables des parties inégales d'une ligne, en fonction de la demi-somme de ces parties et de leur demi-différence.
Soit la ligne AB {fig. 4) divisée en deux parties égales au
De Cavalier i à Huyghens. 85
point D et en deux parties inégales au point B :
ab' + bc' = 2 âd' + 2 db' ,
Âb' + BC' = 2Âd' + 6 ad . Db' ,
ÂB'-+-BG' = 2ÂD'-i-2DB'-h i2Âï5'.Db'; on vérifiera aisément ces égalités en les écrivant sous la forme
Cavalieri ne va pas au delà, mais on peut, dit-il, continuer si on le veut.
Ces propositions tendent admirablement au but proposé : en
effet, soient ABCD {Jiff. 5) un parallélogramme quelconque, divisé en deux triangles égaux parla diagonale BD; EHF la parallèle aux côtes AD et BC, menée par les milieux de AB et DC, laquelle divise en parties égales en H une parallèle quelconque
MHNP à la base, tandis que cette parallèle est divisée en parties inégales au point N par la diagonale; enfin soient IGK le diamètre du parallélogramme parallèle à ses bases DC et AB et M'N'H'P' une seconde parallèle à la base, aussi éloignée de DC que MNHP l'est de AB.
Considérons maintenant, par exemple, les sommes des quarrésquarrés des lignes, équidistantes entre elles et en nombre n, comprises dans le parallélogramme et dans l'un des triangles, DCB si l'on veut.
La première somme est
wDC';
quant à la seconde, nous la désignerons par
SbNp\ ou par
s^(np' + mn'),
en remplaçant les quarrés-quarrés des lignes telles que N' P', placées au-dessous de IK,par les quarrés-quarrés des lignes telles que MN, placées au-dessus de la même ligne IK. Mais, d'après l'un des théorèmes précédencs,
NpVmn'^sMhV 2Hn'+ i2MH\hN'; donc
^l (np' -1- Mn') = 2 '^ MH' + 2 ^l HN ' + 1 2 MH' ^l HN '
^MHV22^HN -i-i2MH'i:;HN',
puisqu'il ne faut compter que - sommes telles que NP' ^r- MN • J Cela posé, d'après la proposition relative à la somme des
De Cavalier i à Huyghens. 87
quarrés simples des lignes parallèles à la base d'un triangle, et équidistantes entre elles, comparée à la somme des quarrés des lignes interceptés sur les mêmes droites, entre les côtés du parallélogramme double,
S^ HN' = ^ 2^ Fb' =^ ^ " MH ' , puisqu'il ne se trouve que - parallèles à la base, entre BF et KG.
En remplaçant ^3 HN par sa valeur, dans l'expression de la somme des quarrés-quarrés des parallèles à la base contenues dans le triangle BCD, il vient, pour cette somme, l'expression
^l NP* = nMH' -H 211 Mh' 4- 2 S3 Hn'
ou, en réduisant,
2^NP'r= 3nMH' + 2S^Hn\
Mais la somme l'^ HN , qui se rapporte au triangle FGB, est composée, par rapport à la base FB de ce triangle, comme la
somme II3 NP* relative au triangle BDC l'était par rapport à la base DC de ce triangle; de sorte que, d'une part, FB étant la moitié de DC, et, d'ailleurs, le nombre des divisions comprises sur GF étant aussi la moitié du nombre des divisions contenues sur BC,
en remplaçant S^ HN* par cette valeur, il vient
L^ Np' r^ 3 nUH* -h -^ 1^^ NP'
B It) •* •
Neuvième Période,
d'où
d'où, enfin, ce qu'il fallait démontrer,
ou bien
S^3NP^ = ^;zDC\
