q de sorte que la proportion devient

Lcmme II.

Si l'on considère une progression croissante dont la raison soit (i -h -jl), la différence entre deux termes consécutifs sera constamment la fraction u. du premier des deux.

M. Marie. — Histoire des Sciences, IV. 7

g8 Neuvième Période.

C'est-à-dire :

a[i -i-a)'« — a(i +a)'"-' = rta(i +7.)'"-', ce qui pouvait être dit avec moins d'appareil.

Voici comment Fermât fait usage de ces deux lemmes pour quarrer les hyperboles et paraboles de tous les degrés : il considère le segment qu'il veut quarrer comme composé d'une infinité de petits rectangles ayant pour bases les différences consécutives d'abscisses croissant en progression géométrique; son second lemme lui donne des expressions simples de ces différences, et le premier lui fournit la somme des petits rectangles.

Ainsi soit à quarrer l'hyperbole

•^ ~ Xa partir de .v =: a. Fermât suppose menées les ordonnées x = a, ^(i+7.), a(l + a)-, ...:

la distance de deux ordonnées consécutives est égale au produit de la première par a de sorte que l'un des petits rectangles a pour mesure

yrj.x ou :

c'est-à-dire qu'ils forment une progression géométrique décroissante.

D'un autre côté, le premier rectangle est

nv^ , rn^y. ^

quant au second, il est représenté par

a-(i -ha)- ^ ' a{i -ha)'

De Cavalieri à Huyghens. g,|

la différence de ces deux rectangles est

a iz(l 4- a) a( 1 + a)'

on a donc, d'après le premier lemme, en appelant S l'aire du segment indéfiniment prolongé,

ou

d'où

a{i -h y.)' i.i{i -+- ol)" a ' a

ç, vi^x m

d'où enfin

formule dans laquelle il faut faire tendre y. vers zéro, ce qui la réduit à

a Considérons encore la parabole

et supposons qu'on veuille obtenir l'aire du segment compris entre l'axe des j^ et une ordonnée x =^ a: formons la progression

prolongée indéfiniment, de sorte que a étant aussi petit qu'on le voudra, le terme général, néanmoins, tende vers o; supposons menées les ordonnées

.V = tl, c7( I — -a), rt( I — x)-, . . . ,

Neuvième Période.

et imaginons les rectangles ayant pour bases les distances -y.. r qui séparent deux ordonnées consécutives et pour hauteur l'une de ces ordonnées. L'aire d'un de ces rectangles sera

Ces rectangles varieront donc en progression géométrique. Le premier sera représenté par

1 1 m^ a'-^ av.

et le second par

leur différence sera

77Z-' a\ay. [ 1 — ( £ — y-]'^]',

le premier lemme donnera donc, en désignant par S Taire cherchée,

I — ( I — "^-)* • ( I ~~ ^-l'* •• "^^ ^^ ^'^- • S — in^ a^ ay.,

et, par composition,

d'où

S — m'^ a^ rt 7. ::= S ( I — 7.) •*

et

1 1 j, î;z^ a' ay.

dont il faut trouver la limite pour y. — o. Pour cela Fermât pose

De Cavalier i à Fluyghens.

d'où

ce qui est remarquable, et

il en résulte

et, par suite.