I-(l-al

Il est certain que cette théorie est bien supérieure à celles de Gavalieri et de \\''allis, relatives aux mêmes questions, mais Pascal les traite encore mieux dans un ouvrage publié en iô5q, vingt ans par conséquent avant la publication de celui de Fermât.

M. Brassine veut voir dans le Mémoire de Fermât des exemples d'intégration par parties (ou plutôt des exemples de formules qui peuvent s'obtenir par ce mode de transformation i, mais les traités publiés par Pascal avec la lettre à M. de Carcavi fourmillent d'exemples semblables et beaucoup plus intéressants que ceux que donne Fermât. De plus Pascal évalue en se Jouant des intégrales doubles et triples et les transforme.

Il nous reste à donner un précis des travaux de Fermât sur la théorie des nombres.

La matière pourrait donner lieu à des développements très étendus si, par bonheur, nous n'avions pas, de la main même de Fermât, un aperçu de la méthode qui l'a guidé dans ces travaux.

Cet aperçu a été découvert par M. Charles Henry avec beau-

Neuvième Période.

coup d'autres documents intéressants, notamment des lettres de Fermât à Se'guier, à Huet, à Huyghens, à Carcavi, à Mersenne, et une ingénieuse méthode de décomposition des grands nombres en facteurs premiers, par laquelle nous commencerons.

Cette méthode repose sur le théorème suivant : Si un nombre impair est premier^ il est et d'une seule manière la différence de deux quarrés entiers.

En effet, en désignant par x- et y- les deux quarrés, on doit avoir : x^ — y- = w ou [x — y) [x -t-j^) == n : mais n étant premier ne peut être le produit de deux facteurs qu'à la condition que l'un d'eux soit égal à l'unité; on doit donc poser :

x—y=:i et x-^y^^n.

On en déduit

n -h 1 n — I x= et r =

Ainsi

^n -+- i\^ fn — i\-

=zn.

Par exemple, soit à reconnaître si 17 est premier, ajoutons à 17 les quarrés 1,4, 9, 16, 25,... jusqu'à 64, il n'est pas nécessaire

d'aller plus loin puisque 64=: ( j ; de toutes les sommes

qu'on obtient, 17 -i- 64 = 8 i est le seul nombre quarré : donc 17 est premier.

Cette méthode a été réinventée dans ce siècle, et elle a servi tout récemment à décomposer le nombre 2*^ 4- i en facteurs premiers, résultat important dans certaines recherches arithmétiques.

La Relation des nouvelles descoupertes en la science des nombres mérite d'être citée in extenso : c'est le plus important docu-

De Cavalier i à Hiiyghem.

ment que nous possédions sur les méthodes arithmétiques de Fermât.

« Et pource que les Méthodes ordinaires qui sont dans les livres estoyent insuffisantes à demonstrer des propositions si difficiles, je trouvay enfin une route tout a fait singulière pour y parvenir. J'appellay cette manière de demonstrer la descente infinie ou indéfinie, etc.

« Je ne m'en serais au commencement que pour demonstrer les propositions négatives, comme par exemple, qu'il ny a aucun nombre moindre ( i ) de Tunité qu'un multiple de 3 qui soit com posé d'un quarré et du triple d'un autre quarré; qu'il n'y a aucun triangle rectangle de nombres dont l'aire soit un nombre quarré. La preuve se fait par è.^Ka^(^)^•^rç^ -z-ri^ et? àSuvaTov en cette manière : s'il y auoit aucun triangle rectangle en nombres entiers, qui eust son aire esgale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celuy là qui auroit la mesme propriété; s'il y en auoit un second moindre que le premier qui eust la mesme propriété il y en auroit par un pareil raisonnement un troisième moindre que ce second qui auroit la mesme propriété et enfin un quatrième, un cinquième, etc., a l'infini en descendant. Or est il qu'estant donné un nombre il n'y en a point infinis en descendant moindres que celuy la, j'entens parler tousjours des nombres entiers. D'où on conclud qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarré.

« On infère de la qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarré, car s'il y en auoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas estre, car il se peut preuuer par la descente.

(') Amoindri.

I04 Neuvième Période.

'-<■ Je n'adjouste pas la raison d'oa j'infère que s'il y auoit un triangle rectangle de cette nature, il y en auroit un autre de mesme nature moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long, et que c'est la tout le mystère de la méthode. Je seray bien aise que les Pascals et les Roberuals et tant d'autres sçavants la cherchent sur mon indication.

« Je fus longtemps sans pouuoir appliquer ma méthode aux questions affirmatiues, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celuy dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu'il me falut demonstrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrez je me treuuay en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient. Et les questions affirmatiues passèrent par ma méthode à l'ayde de quelques nouueaux principes qu'il y fallust joindre par nécessité.

« Ce progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives estoit tel. Si un nombre premier pris à discrétion qui surpasse de l'unité un multiple de 4 n'est point composé de deux quarrez. il y aura un nombre premier de mesme nature moindre que le donné; et ensuite un troisième encore moindre, etc., en descendant a l'infini jusques a ce que uous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'en suivroit n'estre pas composé de deux quarrez, ce qu'il est pourtant d'où on doit inférer par la déduction à l'impossible que tous ceux de cette nature sont par conséquent composez de 2 quarrez.

Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui demandent de nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si mal aisée,

De Cavalier i à Hiivff liens.

qu'on n'y peut ucnir qu'auec une peine extrême. Telle est la question suiuante que Bachetsur Diophante avoue n'avoir jamais peu demonstrer, sur le suject de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la mesme déclaration, jusques la qu'il confesse qu'il la Juge si difficile, qu'il ne voit point de voye pour la re'soudrc ! tout nombre est quarré, ou compose de deux, de trois ou quatre quarréz.

« Je l'ay enfin rangée sous ma méthode et Je demonstre que si un nombre donné n'estoit point de cette nature il y en auroit un moindre qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le second etc. à l'infini, d'où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

« Celle que J'avois proposée a M. Frenicle et autres est d'aussi grande ou même plus grande difficulté : tout nombre non quarré est de telle nature qu'il y a infinis quarréz qui multipliant ledir nombre font un quarré moins i.

a Je la demonstre par la descente appliquée d'une manière toute particulière.

« J'aduoucque M. Frenicle adonné diverses solutions particulières et ]SI. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouuera par la descente dcuement et proprement appliquée, ce que leur indique, afin qu'ils adjoustent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu'ils ont données.

« J 'ay ensuite considéré certaines questions qui bien que négatives ne restent pas de receuoir tres-grandc dilîiculté, la méthode pour y pratiquer la descente estant tout a fait diuerse des précédentes comme il sera aisé d'csprouucr. Telles sont les suiuantes : Il n'y a aucun cube diuisible en deux cubes. Il n'y a qu'un seul

loô Neuvième Période.

quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube : ledit quarré est 2 5.

« Il n'y a que deux quarrcz en entiers lesquels auj^mentcs de 4 fassent cube : les dits quarrez sont 4 et 121,

« Toutes les puissances quarrées de 2 augmentées de l'unité sont nombres premiers. Cette dernière question est d'une très subtile et très ingénieuse recherche. Et bien qu'elle soit conçue affirmativement elle est négative puisque dire qu'un nom'ore est premier c'est dire qu'il ne peut estre divisé par aucun nombre (i).

« Je mets en cet endroit la question suivante dont j'ay enuoyé la démonstration à M. Frcnicle après qu'il m'a aduoué, et qu'il a mesme tcsmoigné dans son cscrit imprimé qu'il n'a pu la trouuer :

ce II n'y a que les deuK nombres i et 7 qui, estant moindres de l'unité qu'un double quarré fassent un quarré de mesme nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l'unité qu'un double quarré (2).

« Après auoir couru toutes ces questions la pluspart dediuersc nature et de différente iîiçon de demonstrer, j'ay passé a l'inuention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles de Diophante. On propose par exemple

2 quarr. -+- 79Ô7 esgaux a un quarré.

J'ay une règle générale pour résoudre cette équation si elle est possible, ou découvrir son impossibilité. Et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarré z que des unitéz. On pro-

(') Ce thcorcme est faux : Euler l'a montre.

(') Ce théorème vient d'être prouvé tout récemment par le Père Pépin et M. Angelo Genocchi.

De Cavalier i à Huyghens i',-j

pose celte équation double sjc -+- 3 et 3jc — 5 esgaux chacun à un quarré. Bachet se glorifie en ses commentaires sur Diophante d'auoir trouvé une règle en deux cas particuliers. Je la donne générale en toute sorte de cas. Et détermine par règle si elle est possible ou non.

« J'ay ensuite restably la plupart des propositions défectueuses

de Diophante. Et j'ay fait celles que Bachet aduoue ne sçavoir

pas. Et la pluspart de celles auxquelles il paroit que Diophante

mesme a hésité, dont je donneray des preuues et des exemples à

mon premier loisir.

« J'advoue que mon invention pour découvrir si un nombre

donné est premier ou non n'est pas parfaite, mais j'ay beaucoup

de voyes et de méthodes pour réduire le nombre des diuisions et

pour les diminuer beaucoup en abbregeant le travail ordinaire.

Si M. Frenicle baille ce qu'il a médité la dessus, j'estime

que ce sera un secours très considérable pour les scauants. La

question qui m'a occupé sans que jaye encore putrouuer aucune

solution est la suiuanie qui est la dernière du livre de Diophante

dâ multangulis numeris. Dato numéro inuenire quot modis

multangulus esse possit, le texte de Diophante estant corrompu

nous ne pouuons pas deviner sa méthode. Celle de Bachet ne

m'agrée pas et est trop difficile aux grands nombres. J'en ai bien

trouué une meilleure, mais elle ne me satisfait pas encore. Il faut

chercher en suite de cette proposition la solution du problème

suiuant.

'i Treuver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu'on voudra, et treuuer le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

c Voila sommairement le conte de mes recherches sur le sujeci

!oS Neuvième Période.

des nombres. Je ne l'ay escrit que parce que j'appréhende que le loisir d'estendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces méthodes me manquera. En tout cas cette indication seruira aux scauants pour trouver d'eux mesmes ce que je n'estens point, principalement si MM. de Carcaui et Frenicle leur font part de quelques démonstrations par la descente que je leur ay enuoyees sur le subject de quelques propositions négatiues. Et peut estre la postérité me scaura gré de luy avoir tait connoistre que les anciens n'ont pas tout sceu, et cette relation pourra passer dans l'esprit de ceux qui viendront après moy pour traditio îampadîs ad fîlios, comme parle le grand Chancelier d'Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel j'adjousteray, nmlti pertransibunt et aiigebitiir scientia. »

Il n'est pas sans intérêt d'observer que cette méthode par la descente est celle qui a servi à Euler, Legendre, Lejeune-Dirichlet, Lebesgue, pour démontrer un grand nombre d'énoncés de Fermât et beaucoup d'autres propositions numériques. On en trouve la première idée dans le Commentaire de Campanus de Norare sur les Eléments d'Euclide. Il est à regretter seulement que cette belle page de Fermât soit restée enfouie dans les papiers deHuyghens, à la bibliothèque de Leyde, jusqu'en 1880.

Depuis, M. Charles Henry a communiqué à l'Académie des Lincei (séance du 3 décembre 1882) quelques propositions extraites d'une Correspondance inédite de Fermât avec le père Mersenne, possédée par M. le Prince Ballhazar Boncompagni, Voici ces propositions :

« I. Théorème. Soient trouvés deux quarrés desquels la somme soit quarrée, comme 9 et 16. Soit chacun d'eux multiplié par un même nombre composé de 3 quarrés seulement, comme 11. Ces

De Cavalieri à Huyghens.

deux produits seront 99 et 176 qui satisferont à lu question, car chacun d'eux et leur somme sont composés de 3 quarrcs seulement; et ainsi par la même voie vous en trouverez infinis^ car au lieu de 9 et 16, vous pourrez prendre tels autres 2 quarrés que vous voudrez desquels la somme soit quarrée et au lieu de 1 1 tel autre nombre que vous voudrez composé de 3 quarrés seulement. Si vous prenez au lieu de 1 1 un nombre composé de 4 quarrés seulement, comme 7, chacun des deux produits, ensemble leur somme, seront composés de 4 quarrés seulement. — Que si vous voulez non seulement 2 nombres, mais 3 ou tel nombre que vous voudrez desquels un chacun^ ensemble la somme de tous, soit composé de 3 ou 4 quarrés seulement, il ne faudra que trouver autant de quarrés que vous voudrez des nombres desquels la somme soit quarrée et les multiplier chacun d'eux, lit supra. »

Ce théorème est vrai, même sans les restrictions qu'y apporte Fermât; il n'est qu'un cas particulier de propositions trouvées postérieurement par lui. On sait en effet que tout nombre entier quij débarrassé de la plus grande puissance de 4 qui le divise^ n'est pas de la forme Sx -t- 7, peut être mis sous la forme ternaire .V- -i-x- -h ;{■- et l'on sait de plus que tout nombre entier est la somme de quatre quarrés ou d'un moindre nombre de quarrés.

« II. y^/'o/'/é/^zf^". Trouver deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée, en sorte que les deux petits côtés du plus grand triangle diffèrent par l'unité.

« Trouver deux triangles rectangles en sorte que le contenu sous le plus grand côté de l'un et sous le plus petit du même soit en raison donnée au contenu sous le plus grand côté et le plus petit de l'autre.

Neuvième Période.

« Trouver un triangle duquel l'aire ajoutée au quarré de la somme des deux petits côtés fasse un quarré. Voici le triangle :

« Data summa solidi sub tribus lateribus triangulirectanguli numéro et ipsius hypothenusa. invenir e terminos mtr a quos area constitit. Necmoveat additio solidi et longitudinis : inprobleinatis enim numericis quantitates omnes sunt homogenœ, ut omnes fiunt .

« Étant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux nombres dont le produit est un nombre quarré. )>

Otte correspondance sera publiée avec divers autres documents nouveaux dans l'édition des Œuvres complètes de Fermât qui se prépare en ce moment sous les auspices du gouvernement français.

DE BEAUNE (fLORIMOND).

(Né à Blois en 1601, mort en i652 .)

Il suivit d'abord la carrière des armes, puis acheta, en 1626, une charge de conseillerau présidial de Blois, Il fit amitié avec Descartes, qui Talla voir à Blois en 1644 et demeura quelque temps avec lui.

Aussitô: que parut la Géométrie de son ami^ il s'employa à la faire connaître et à la commenter, lorsque cela était utile. Ses notes sur ce sujet ont été insérées dans le commentaire de Schooten.

De Beaune avait considéré d'une manière générale le pro-

De Cavalieri à Huyglieris.

blême de remonter des propriétés des tangentes à une courbe à l'équation de la courbe ; bien entendu, il ne le résolvait que dans des cas très rares, mais il y avait un certain mérite à l'avoir conçu. Quelques problèmes de ce genre, qu'il avait proposés, furent résolus par Descartes, puis par Leibniz.

On a de lui : De œquationibus opusciila duo, où se trouve traitée, pour la première fois, la question des limites supérieure et inférieure des racines d'une équation numérique. Cet ouvrage a été publié en lôSg, parles soins d'Erasme Bartholin, à qui les manuscrits de de Beaune avaient été remis par ses héritiers.

KIRCHKR (aTHAN'ASe).

(Né à Geyssiin en lôoi, mort à Rome en 1680.)

Jésuite, physicien, mathématicien, orientaliste, philologue, il a publié une infinité d'ouvrages sur tous les sujets imaginables, depuis l'Arithmétique jusqu'à l'interprétation des hiéroglyphes.

Il parait être l'inventeur de la lanterne magique.