ROBERVAL (GILLES PERSONNE DE

(Ne en 1602 à Robeival (Bcauvoisis ), mort à Paris en 1675.)

Il vint à Paris en 1627 et s'y lia bientôt avec le Père Mersenne, Mydorge, Etienne Pascal et autres savants, parmi lesquels il tint un rang distingué. Il fut nommé, en i63i, professeur de philosophie au collège Gervais et obtint, peu après^ au Collège royal, la chaire de Mathématiques qu'il conserva jusqu'à sa mort, bien qu'il fût soumis à une réélection tous les trois ans, et que de nombreux concurrents la lui disputassent chaque fois.

Doué d'un mérite réel, il se l'exagérait de façon à ne pouvoir pas supporter que d'autres en eussent aussi ; il était passionné, vindicatif, plus soucieux de sa réputation que de la vérité, enfin ombrageux et dissimulé. Ces travers ne pouvaient pas manquer de l'entraîner dans une foule de querelles qui, en effet, troublèrent sa vie d'autant plus malheureusement que, même ayant raison, il savait toujours trouver le moyen de se donner tous les torts.

Il fit partie de l'Académie des Sciences dès sa création en i665.

Il éprouvait la plus grande peine à exprimer nettement ses idées. Aussi a-t-il laissé peu d'écrits, qui, du reste, ne furent pas imprimés de son vivant. Son ami l'abbé Gallois les fit insérer, en 1693, dans le premier volume qui fut publié par l'Académie des Sciences. Ce sont un Traité des moupements composés, un autre intitulé De recognitionc et constriictionc œquatiomun, sa Méthode des indivisibles et un mémoire De trochoide (cycloïde).

Montucla défiait « les lecteurs les plus versés dans la méthode

De Cavalieri à Huyghens. \ j 3

ancienne de tenir contre quelques-unes de ses démonstrations, tant elles sont prolixes et embarrassées, jusque dans l'exposition même. »

Il est plus connu par ses lettres et par celles de ses contemporains.

Roberval avait adressé à Fermât, vers 16 36, la solution du problème de la quadrature d'une parabole de degré quelconque

et peu après d'une parabole

aussi, lorsque parut le Traité des indivisibles de Cavalieri, réclama-t-il la priorité.

(( Longtemps avant, dit-il dans une lettre de 1644 à Torricelli. longtemps avant que le géomètre italien mît au jour sa méthode, j'en avais une fort analogue ; mais, plus attentif que Cavalieri à ménager les oreilles des géomètres, je l'avais dépouillée de ce que celle de mon concurrent avait de dur et de choquant dans les termes, et considérais les surfaces ou les solides comme composés d'une inimité de petits rectangles ou de petits prismes, etc. » Il ajoute qu'il avait gardé sa méthode in petto, dans la vue de se procurer parmi les géomètres une supériorité flatteuse par la difficulté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre. C'était fort bien; mais, pendant qu'il se réjouissait juvenilitcr, Cavalieri lui enlevait l'honneur de la découverte.

Roberval est plus connu par sa méthode originale pour la construction des tangentes, mais, quoique l'idée qu'il avait eue lut heureuse, il se lit si peu comprendre que cette méthode avait M. Marie. — Histoire des Sciences, 1\'. 5

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été rejetée comme fausse et n'a été effectivement reprise que dans ces dernières années.

C'est cette question des tangentes qui fut le principe de sa querelle avec Descartes, qu'il ne laissa jamais tranquille, alors même que le philosophe ne lui répondait plus depuis longtemps.

Roberval avait le premier, en lôSy, quarré la cycloïde. Descartes, informé du résultat par Mersenne, avait immédiatement renvoyé un précis de démonstration du théorème énoncé, en le faisant suivre d'une méthode pour mener la tangente à la courbe; mais Roberval ne réussit pas d'abord à le suivre sur ce nouveau terrain ; il donna plusieurs démonstrations inexactes, essaya de s'en approprier une de Fermât et finit, comme d'habitude, par se fâcher. Il résolut cependant plus tard la question par sa méthode des mouvements composés.

Au reste, sa quadrature même de la cycloïde lui fournit peu après (1644) l'occasion d'une nouvelle querelle avec Torricelli, qui, en l'absence d'une démonstration que Roberval n'avait pas publiée, se crut le droit de donner celle qu'il venait de trouver.

Cette dispute, si elle mit encore mieux au jour les défauts de caractère de Roberval, lui fournit au moins l'occasion de nouveaux succès ; car c'est au milieu de ces démêlés qu'il trouva la mesure des volumes engendrés par la cycloïde tournant autour de son axe ou de sa base.

Pascal, dans son Histoire de la roulette^ a montré en faveur de Roberval, son ami, une injuste partialité, poussée jusqu'au point de mettre en doute la probité de Torricelli. Il est juste d'en faire un reproche à sa mémoire. Ce n'est pas tout que de n'être pas jésuite, dirons-nous en renversant le mot de Voltaire,

De Cavalieri à Huyghens.

il faut encore être équitable. Torricelli avait autant de belles qualités que Roberval de vilains défauts.

Mais ses travers d'esprit ne doivent pas nous empêcher de lui accorder la place à laquelle il a droit, par ses travaux, dans l'histoire des Mathématiques. Nous ferons cependant une réserve, déjà indiquée dans ce qui précède, relativementà un assez grand nombre de démonstrations contenues dans ses œuvres, et qui pourraient bien avoir été retouchées, après coup, d'après les indications fournies par les travaux de quelques-uns de ses contemporains.

Ses Mémoires^ qui n'ont été publiés, comme nous l'avons déjà dit, qu'en lôgS, ont pu, en effet, être corrigés par lui durant les 35 ou 40 ans qui s'écoulèrent entre l'époque où il commença d'être connu et celle de sa mort, en 1675; il nous sera donc absolument impossible de nous prononcer sur un certain nombre des questions de priorité qu'il a soulevées avec tant d'aigreur.

Nous ne trouvons rien à dire de ses deux traités De Recognitione œquationum et De Resohitione œquatiomim, qui ne sont qu'une reproduction, sous une forme un peu plus moderne, des traités correspondants de Viète.

Le mémoire intitulé Observations sur la composition des )noiivements et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes n'a pas été rédigé par Roberval lui-même, mais par un Gentilhomme bordelais, ù qui il avait donné des leçons en particulier; Roberval avait bien revu ce mémoire avant de le lire, en 1668, à l'Académie des Sciences, mais il s'était borné à indiquer en marge ses impressions, et elles ne sont pas toujours favorables, il y aurait donc quelque injustice à lui reprocher les

ï 1 6 Neuvième Période.

quelques inexactitudes que renferme le texte que nous avons.

La démonstration du théorème relatif à la tangente à l'ellipse, entre autres, est évidemment tout à fait vicieuse, le gentilhomme bordelais ayant décomposé le mouvement du point qui décrit la courbe en deux mouvements égaux et de sens contraires, suivant les deux rayons vecteurs. Mais, si Ton est bien obligé de convenir que Roberval a laissé passer cette démonstration, il convient aussi d'observer qu'en marge de la proposition où le principe en est exposé, Roberval avait écrit : Toute cette proposition est mal digérée, et il vaut mieux la passer que de s y arrester. Je suppose que, la construction étant bonne, Roberval aura passé sur la manière d'y parvenir. Ce qui me le fait penser est que la question de la tangente à la conchoïde de Nicomède, ou à une conchoïde quelconque, notamment au limaçon de Pascal, est ensuite aussi parfaitement traitée qu'elle pourrait l'être aujourd'hui. Or les principes à mettre en œuvre étaient à peu près les mêmes dans les deux cas.

La tangente à la cycloïde est aussi fort bien déterminée, comme devant être bissectrice de l'angle formé par la parallèle à la base de la courbe et par la tangente à la circonférence roulante, au point décrivant, en raison de l'égalité des vitesses des mouvements de translation et de rotation du point qui parcourt la cycloïde. Mais cette construction, d'après les témoignages de tous les contemporains, sauf Pascal, a certainement été ajoutée au mémoire, postérieurement à la solution donnée par Descartes, d'après un autre principe.

Le Traité des indivisibles contient une bonne exposition de la méthode : on est porté, en le parcourant, à admettre que Roberval en avait puisé la plus grande partie dans son propre

De Cavalieri à Hiiyghens.

fonds; on reconnaît même qu'il est allé plus loin que Cavalieri dans les applications du principe de la méthode. Toutefois, il serait difficile de supposer qu'il ne dût rien au géomètre italien, car on ne s'expliquerait pas que tous deux fussent tombés, sans concert, sur le même mot indivisible, dont le choix est compréhensible de la part de Cavalieri et ne l'est plus de celle de Roberval.

On retrouve dans ce traité la règle pour la construction de la tangente à la cycloïde, déduite de la théorie des mouvements composés et identique à celle que nous avons déjà mentionnée. On y voit aussi la quadrature de la cycloïde. qui se retrouvera dans le Traité de la trochoïde et dont nous ne disons rien ici.

L'intérêt particulier de ce Traité des indivisibles réside dans l'introduction des deux théorèmes suivants, le premier que le sinus-verse d'un arc est à cet arc comme la somme des sinus qui correspondent aux points de division de Farc, partagé en une infinité de parties égales, est à la somme d'autant de rayons du cercle; et le second^ que la somme des quarrés des sinus d'une infinité d'arcs en progression arithmétique, allant

de o à '-. est le huitième de la somme d'autant de quarrés du

diamètre.

Voici, en abrégé, les démonstrations que donne Roberval de ces deux théorèmes :

Pour le premier, si l'on double les sinus pour former des cordes du cercle et que l'on mène les diagonales inclinées dans le même sens, des trapèzes mixtilignes obtenus, ces diagonales seront toutes parallèles; elles auront, à des quantités négligeables près, leurs milieux sur le diamètre, et passeront aussi, à des quantités

ii8 Neuvième Période.

négligeables près, par les milieux des portions du diamètre; entin, leurs moitiés formeront chacune, avec le sinus précédent et la moitié de la portion du diamètre comprise entre ce sinus et le suivant, des triangles rectangles tous semblables entre eux et semblables à celui qui aurait pour côtés le diamètre, la corde de la première division de Tare considéré et la corde du supplément de cette division. On pourra donc poser la proportion : la somme des sinus est à la demi-somme des divisions du diamètre, c'està-dire à la moitié du sinus verse de l'arc, comme la corde du supplément d'une des divisions de l'arc, ou, à la limite, le diamètre, est à la corde d'une des divisions, ou à cette division. En multipliant les deux termes du dernier rapport par le nombre des divisions, on trouve la proportion énoncée.

Et pour le second : le quarré du rayon est égal à la somme des quarrés du sinus et du cosinus ; mais les cosinus des premiers arcs, dans le quadrant, sont égaux aux sinus des derniers, et réciproquement, de sorte que la somme des quarrés de tous les sinus, augmentée de la somme des quarrés de tous les cosinus, est simplement le double de la somme des quarrés des sinus, et que, par conséquent, la somme des quarrés des sinus est moitié de la somme d'autant de quarrés du rayon, ou bien est le huitième de la somme d'autant de quarrés du diamètre.]

Ce second théorème comporte un corollaire qu'il nous faut aussi mentionner : le diamètre se compose des sinus-verses correspondants à deux arcs supplémentaires ; son quarré est donc égal à la somme des quarrés des deux sinus-verses et au double du rectangle formé sur ces sinus-verses, mais le rectangle des deux sinus-verses est le quarré du sinus de l'un ou l'autre desdeux arcs supplémentaires. Donc la somme d'autant de quarrés du diamètre

De Cavalier i à Hiiyghens, 1 1 r |

qu'on a pris de divisions égales dans la demi-circonférence vaut deux fois la somme des quarrés des sinus-verses (car chacun d'eux est répété deux fois), plus deux fois la somme des quarrésdes sinus. Or le double de la somme des quarrés des sinus, de oàTr, est, d'après la proposition précédente, les | de la somme d'autant de quarrés du diamètre qu'il a été fait de divisions dans la demi-circonférence; il reste donc, pour la somme des quarrés de tous les sinusverses de o à TT, I de la somme d'autant de quarrés du diamètre.

Ces théorèmes seront utilisés, dans le Traité de la trocho'ide. pour la cubature des volumes engendrés par la cycloïde tournant autour de sa base ou autour de son axe; mais nous mentionnerons ici une application intéressante qu'en fait Roberval dans le Traité des indivisibles. Il s'agit de placer sur un cylindre droit un espace égal à un quarré donné, et ce d'un seul trait de compas. Roberval prend le rayon de base du cylindre égal à la moitié du côté du quarré donné, et donne au compas la même ouverture.

Le traité De Trocho'ide ejnsque spatio contient la quadrature de la cycloïde, les cubatures des volumes engendrés par la révolution de l'aire de la courbe autour de la base, autour de l'axe et autour de la tangente au sommet; enfin la rectification de la courbe.

Tout le monde accorde ù Roberval la priorité dans la solution des deux premières questions; Huyghens, notamment, proclame le fait dans son Horologium oscillatorium; mais Roberval voulut aussi s'attribuer la découverte de la rectification de la cycloïde, à laquelle, il serait, dit-il, parvenu le premier, à l'aide de sa méthode des mouvements composés. Or, sur ce point, tout le monde lui donne tort, même Pascal, qui cependant lui attribue la détermination de la tangente à la courbe. D'après Pascal

Neuvième Période.

comme d'après Huyghens, c'est Wrennqui a le premier rectifié la cycloïde. Roberval, pour établir ses droits, dit qu'il avait, de 1 63 5 à 1640, publié ses autres découvertes tant dans sa chaire que dans les réunions de savants et qu'il n'avait tenu cachée que la proposition relative à la longueur de la cycloïde [iinicam hanc de longitiidijie trochoïdis propositionem reticui], espérant que la même méthode le conduirait à de bien plus grandes découvertes [sperabam enim eddem methodo me multo majora detecturiim) ; il part de là pour accuser de vol le véritable inventeur : « par ma négligence, dit-il, il est arrivé que des étrangers, nos émules, ou plutôt nos envieux^ semblables aux frelons qui, ne

pouvant faire le miel, envahissent les rayons des abeilles,

{negligentiâ tamen med, quod niliil prœlo committerem, factum est ut quidam Extranei, nationis nostrœ œmuli, vel potiîts eidem invidi, ex eorum numéro qui, ut fuci^ apum favos in-

vadunt, ). Mais puisque, de son propre aveu, il n'avait fait

part à personne de sa découverte, on ne pouvait la lui dérober, on ne pouvait que la refaire et c'est le droit commun. Aussi, tout ce que nous pouvons dire à cet égard de Roberval, est que la démonstration qu'il donne est en effet tirée de sa méthode des mouvements composés. Nous nous bornerons donc à rapporter ses solutions des deux questions qui ne lui sont pas contestées.

Sa quadrature de la cycloïde est très ingénieuse et très simple. Elle est fondée sur la considération d'une courbe qu'il appelle la compagne de la trochoïde et qui est le lieu de la projection d'un point de la trochoïde sur le diamètre, perpendiculaire à la base, du cercle générateur qui passe par ce point. L'introduction de cette compagne est d'autant plus méritoire, que Roberval, qui ne se sert jamais d'aucune formule ni d'aucune équation, n'y est

De Cavalieri à Huyghev.s.

amené que par des considérations exclusivement géométriques. Il y a là une sorte de divination.

Les équations de la cycloïde, en prenant pour axe des x la base, et pour origine le point de rebroussement, sont

AT t= ro — r sinco et

y=^r [\ — coso),

(D désignant l'angle au centre correspondant à l'arc déjà déroulé; Roberval décompose l'abscisse en ses deux parties rto et — r sinco, et c'est ro) qu'il prend pour abscisse de la compagne, dont l'équation est ainsi

j'i=r (^1 -cos'^

c'est donc une sinussoïde.

On voit immédiatement l'utilité de l'artifice : l'aire comprise entre la courbe et sa base se compose de l'aire de la compagne, limitée de la même manière, et de l'aire comprise entre les deux courbes. Mais l'aire de la compagne est évidemment moitié de Taire du rectangle circonscrit à la cycloïde (il n'y a, pour le voir, qu'à faire la figure), et, d'un autre coté, l'aire comprise entre la cycloïde et sa compagne, que, par un nouvel artifice, il considère comme composée d'éléments parallèles à la base, est, tout aussi évidemment, égale à l'aire du cercle générateur, l'ordonnée commune aux deux courbes étant rsino, celle du cercle, et l'abscisse relative de l'une par rapport à l'autre étant aussi l'abscisse de ce cercle générateur, comptée à partir de son diamètre vertical.

L'aire comprise entre la cycloïde et la base est donc égale à la moitié de l'aiic du rectangle dont les côtés seraient la circon-

Neuvième Période.

férence du cercle générateur déroulée, et le diamètre de ce cercle, augmentée de l'aire du même cercle, c'est-à-dire qu'elle est

-27:R.2R + :tR- ou SttR^.

Nous passons à la cubature du volume engendré par Taire de la cycloïde tournant autour de sa base.

Si l'on compare le volume cherché à celui qu'engendrerait le rectangle circonscrit à la cycloïde, comme les abscisses sont les mêmes, on voit que les deux volumes sont entre eux comme la somme des carrés construits sur les ordonnées équidistantes et en nombre infini de la cycloïde est à la somme d'autant de quarrés construits sur le diamètre du cercle générateur.

Mais l'ordonnée de la cycloïde se compose de l'ordonnée de sa compagne et de la différence des ordonnées des deux courbes : soient, pour abréger, j^ l'ordonnée de la cycloïde, j^i celle de la compagne etj^2 la différence des ordonnées des deux courbes :

le rapport cherché se compose donc, en désignant par R le rayon du cercle générateur, de

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