NN' : NN" :: NQ : NP

Il y a, sur cette manière de présenter la solution du problème, deux remarques à faire : la première, que, même après Descartes, les géomètres éprouvent encore une certaine répugnance non seulement à ne pas introduire directement les grandeurs g<éométriques dans leurs formules, mais même à faire intervenir l'unité concrète imaginée par notre illustre philosophe; pour éviter l'intrusion des nombres, ils préfèrent encore les méthodes de calcul d'Apollonius et de Pappus; la seconde est qu'ils paraissent refuser

r>e Cavalier i à Hiiyghcns. 149

à la Trigonométrie une place honorable en Géométrie. En effet,

NQ Van Heuraiit aurait bien pu remplacer r^p par l'inverse du

cosinus de Tangle de la tangente en N à AB, avec l'axe des x, ou, plutôt, ne pas remplacer le cosinus de cet angle, auquel il a dû songer d'abord, par le rapport de l'ordonnée à la normale, idée qui, sans doute, n'a dû lui venir qu'après coup.

Il semble que la Trigonométrie, à cette époque, ne fasse pasencore partie de la Science; elle appartient à lart pratique. Les géomètres l'abandonnent aux astronomes, qui sont bien obligés de se contenter de valeurs approchées.

Nous verrons qu'Huyghens n'y recourt pas plus que Van Heuraët, même dans le calcul du rayon de courbure, ce qui, au reste, ne rend pas sa démonstration plus claire.

\YALLIS (jOHn).

(No à Ashford en i6i(>, mort à Londres en i7o3.)

Il fit ses études à Cambridge et embrassa ensuite la carrière ecclésiastique. Quoique opposé aux doctrines des indépendants, il fut, en 1649, nommé à la chaire de Géométrie, fondée à l'Université d'Oxford par le chevalier Saville. A la Restauration^ Charles II le confirma dans son poste et le nomma, en outre, garde des archives de l'Université. Wallis fut l'un des fondateurs et des premiers membres de la Société royale de Londres, et l'un des créateurs de l'enseignement des sourds-muets. Ses ouvrages mathématiques ont été publiés sous le titre : J. Wallisii opéra maihematica (1697-1699, 3 vol.). Un quatrième volume, conte-

Neuvième Péricde.

nant ses ouvrages théologiques ou de morale, a été ajouté depuis à l'édition première.

Les ouvrages mathématiques de Wallis sont : Traité analytique des sections coniques; Algèbre, précédée d'une histoire de cette Science; Arithmétique des injinis {Arithmetica infinitorum^ sivenova methodus inquirendicurvilineorum quadraturam,Qlc.), publiée en i655, vingt ans, par conséquent, après l'apparition des indivisibles de Cavalieri, mais trois ans avant l'ouverture du premier concours proposé par Pascal sur la cycloïde ; De cycloïde et cissoïde; De curuarum rectijîcatione et complanatione ( 1 659); Dé centra gravitatis (1669); Traité du mouvement (1670), et un grand nombre d'opuscules.

Le Traité analytique des sections coniques de Wallis est le premier ouvrage où ces courbes aient été considérées non plus comme sections d'un cône, mais comme courbes du second degré, d'après la méthode des coordonnées de Descartes ; toutes leurs propriétés y sont déduites de leur définition analytique. Wallis, dans cet ouvrage, rend implicitement hommage à notre philosophe, quoiqu'il ne l'aimât guère, comme il l'a prouvé par Tinjuste partialité qu'il a montrée à son égard dans son histoire de l'Algèbre, où, qualifiant à regret d'asse^ belle la fameuse règle des signes, il accuse aussitôt après Descartes de plagiat envers Harriot, pour n'avoir pas reporté à ce géomètre anglais la découverte de la composition des coefficients en fonction des racines, découverte dont l'honneur revient bien plus légitimement à Viète.

U Arithmétique des injinis est le grand œuvre de Wallis; elle fit faire à la Géométrie des progrès considérables dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine du Calcul intégral.

De Cavalieri à Huysliens.

Cavalieri, Fermât, Descartes, Roberval avaient obtenu la formule de quadrature d'une parabole de degré quelconque jr rr: jc'", m étant entier et positif.

Mais c'est Wallis qui a donné le premier une démonstration à peu près générale de cette formule, et nous allons d'abord indiquer la manière dont il y arrive.

La question est de comparer l'aire du segment de la parabole

compris entre l'axe des y et une ordonnée quelconque de la courbe, à celle du rectangle qui aurait pour côtés la même ordonnée et l'abscisse correspondante.

Si l'abscisse du dernier point de l'arc considéré est divisée en un très grand nombre n de parties égales, et que l'une de ces parties soit h, l'un des éléments de l'aire du segment sera

p désignant un nombre quelconque compris entre o et «; d'un autre côté, l'élément correspondant du rectangle sera toujours

Le segment sera donc représenté par

V" „ni

-r-ôp

a tandis que le rectangle le sera par

Neuvième Période.

par suite, le rapport cherché est la limite vers laquelle tend

n . «'" lorsque n croît indéfiniment, ou celle de

si. comme le fait Wallis, on compte aussi les deux éléments qui commencent à l'abscisse nh.

Pour faire le calcul, nous prendrions simplement la formule

qui donne la somme S,„ des jn'im" puissances des n premiers nombres entiers, en fonction des sommes des puissances moindres des mêmes nombres, et nous en tirerions immédiatement, pour le cas où n deviendrait infini.

parce que les quotients des sommes S;„i, S,„2, par (;z-i- i);z"', tendraient tous vers zéro.

C'est, en effet, ce que trouve Wallis; mais il y arrive d'une façon très pénible, non parce qu'il ne connaît pas la formule du développement de la puissance (m + i ) d'un binôme, car il lui suffirait d'en connaître les deux premiers termes, mais parce qu'il ne fait pas le calcul algébriquement : il prend, pour chaque valeur de m, une série d'exemples numériques, en donnant à n successivement différentes valeurs, et calcule chaque fois le rapport

De Cavalieri à Hny^liei'S.

cherché, qui se trouve toujours être > augmente d'une

fraction ayant pour numérateur i et pour dénominateur un

nombre qui augmente indéfiniment avec n.

En résumé, Wallis démontre d'une façon à peu près suffisante

que l'aire de la parabole

comprise entre la courbe, l'axe des x, l'axe desj^ et l'ordonnée correspondante à l'abscisse jc, est

I JC"' . X

m -\- I a'"~' puisque le rectangle auquel on l'a comparée avait pour côtés

et X, et que le rapport est

Mais on ne trouvera plus, dans ce qui va suivre, que des affirmations sans preuves. Toutefois, les propositions seront exactes, ce qui est le principal. Car une invention heureuse, même imparfaitement justifiée, est toujours plus méritoire que toutes les démonstrations qui viennent ensuite la confirmer.

Wallis remarqued'abord, proposition XLVI (il y en a quarantecinq pour ce qui précède), que: n Data ratione quam habei séries una, cujuslibet potestatis, ad serîem ceqiialium, reperitiir ratio quam habct alia séries alteriiis ciijusvis potestatis ad seriem item œqiialium : inveniendo nempe homologum terminiim progressionis arithmeticœ, » C'est-à-dire : Lorsqu'on a trouvé la' raison de la somme prolongée indéfiniment des puissances semblables et entières des n premiers nombres entiers, à la somme d'autant de termes égaux au dernier, on a, par cela même, la raison de la somme d'autres puissances semblables des mêmes

1 54 Neuvième Période.

premiers nombres à la somme d'autant de termes égaux au dernier de la nouvelle série; car il suffit, pour cela, de prendre le terme correspondant de la progression arithmétique.

Par exemple : « Si séries quartanorum rationem habeat, ad seriem œqualiitm, eam quœ est i ad 5 sive |; séries sextanorum habebit rationem i ad y : quia in progressione arithmetica ubi terminus post unitatem quartus est 5, terminus sextus erit j. » C'est-à-dire : Si la somme des quatrièmes puissances est dans le rapport de i à 5 avec la somme d'autant de termes égaux au dernier de la série, la somme des sixièmes puissances sera dans le rapport de i à 7 avec la somme d'autant de termes égaux au dernier de la nouvelle série ; parce que, dans une progression arithmétique où le quatrième terme après l'unité est cinq, le sixième est sept,

« Atque (Proposition XLVII) hœc régula non minus vaîebit si exponatur séries quantitatum quarumlibet {non quidemjuxta seriem primanorum, sed) juxta quamvis aliam Jabellœ seriem., et de illarum quadratis, cubis, etc., inquiratur. » C'est-à-dire : Et cette règle sera tout aussi bien applicable s'il s'agit d'une somme de puissances quelconques, non, à la vérité, à l'égard de la somme des premières puissances, mais à l'égard d'une somme

quelconque contenue dans la Table ( des raisons trouvées plus

haut et dont la formule générale, que ne donne pas Wallis, est

) et à l'égard de la somme des quarrés, des cubes, etc., des

termes de la somme considérée.

'< Par exemple, la raison, pour la somme des quarrés [secundanorum] est celle de i à 3 : elle sera de i à 5 pour la somme des

De Cavalier i à Huyghens.

quarrés de ces quarrés, de i à 7 pour la somme de leurs cubes, et sic deinceps (et ainsi de suite), parce que, à la progression géométrique

Unitas, radix^ quadratum, cubus, etc.,

correspond la progression arithmétique

I, 2, 3, 4, etc.

« Ce que l'on peut vérifier sur la table, car la somme des quarrés des quarrés est la somme des quatrièmes puissances [qiiartanorum) et celle des cubes des quarrés est celle des sixièmes puissances [sextanorum]^ et les raisons qui leur conviennent sont celles de I à 5 et de I à 7. »

Tout cela pourrait paraître un peu naïf, car ce n'est que la traduction de cette identité que, si

m + I mm H- i

Mais ce n'est pas en vue du fait lui-même que Wallis énonce si longuement cette règle ; c'est pour l'étendre, par analogie, au cas de la somme prolongée indéfiniment des racines de même indice des puissances semblables et entières des n premiers nombres entiers.

Pour cela, il commence par remarquer, proposition LI, que : « Si exponatur séries quantitatum quariimlibet, juxta qiiamlibet Tabellœ seriem ; de illanim radicibtis quadratis , cubicis, etc., aut quibiisvis intermediis potestatibiis, pariter inqiiirendum erit. « C'est-à-dire : si l'on considère la somme de grandeurs d'une même nature formant une des séries contenues

Neuvième Période

dans la Table, on pourra passer de cette somme à celle des racines quarrées. cubiques, etc., de ses termes.

Par exemple : a Si exponantur injinita numéro qiiadrata [vel qiiœlibet plana similia], juxta serieni quartanorum [cui assif^natiir, in Tabella, ratio i ad 5) : séries laterum {vel rectariim in îllis similiter positarum] rationem habebit {ad sérient œqiialium] i ad 3 : quia i, 3, 5 sunt arithmetice proportionalia^vel etiani quia ubi plana sunt séries quartanorum^ eorum latera erunt séries secundanorum , quibus assignatur in Tabella ratio 1 ad 3. » C'est-à-dire : si l'on considère la somme de quarrés en nombre infini (ou de figures planes semblables quelconques) formant une série proportionnelle à celle des quatrièmes puissances des nombres, telle que

oa-, la-, i6a-, Si a'-, 256a-, etc.,

pour laquelle la Table assigne une raison égale à celle de i à 5, la somme des côtés (ou des lignes homologues) qui formeront la série

oa, I a, 4^, qa, i6a. etc.,

aura (avec la somme d'autant de termes égaux au dernier, n-a) la raison de i à 3, parce que i , 3, 5 sont en progression arithmétique (c'est la preuve que Wallis préfère^ dans l'intérêt de sa théorie' ; ou bien (ce qui constitue une vérification de cette preuve), parce que, si les figures planes sont comme les quatrièmes puissances des nombres entiers, leurs lignes homologues seront comme les quarrés de ces nombres, et que la Table, alors, donnera pour raison celle de i à 3.

De même, si les quarrés considérés formaient une série propor-

De Cavalieri à IJiiyf^Iiciis. 1 37

tionnelle à celle des sixièmes puissances des nombres, leurs côtés formeraient une série proportionnelle à celle des cubes des nombres et la raison qui conviendrait à la somme de ce? côtés, comparée à celle d'un nombre égal de côtés égaux au dernier, serait celle de i à 4, parce que, entre i et 7, la moyenne arithmétique est 4.

De même si, au lieu de quarrés ou de figures planes semblables, on considérait des cubes ou des polyèdres semblables.

Wallis arrive alors, propositions LUI et LIV, au théorème qu'il avait en vue et qui concerne la détermination de la limite vers laquelle tend le rapport

lorsque n croit indéfiniment.

u His intellectis, patet aditiis ad investigationem rationum qiias {ad sérient maximœ œqualium) habere dicantiir ejiismodi séries radiciim quadraticarum , ciibicarum, biquadraîicaru}7i, etc., niimerorum sive quantitatiim arithmetice proportionalium, a piincto vel o inchoatarum, qiias appelîo séries subsecundanorum, subtertianoriim , siibqiiartanoriim , etc. » C'est-à-dire : cela posé, la marche à suivre pour trouver les raisons des sommes prolongées indéfiniment des racines quarrées, cubiques, quatrièmes, etc., des premiers nombres entiers, aux sommes de pareils nombres de termes égaux aux derniers, dans chaque série, est maintenant évidente : ces raisons seront,

pour la série des racines carrées, | {subseciindjuoritm);

pour la série des racines cubiques, j {subtertianorum) ;

pour la série des racines quatrièmes, | [siibquartanorinn] ;

1 5 8 Neuvième Période .

pourla série des racines cinquièmes, | [subquintanorum] ; pour la série des racines sixièmes, | (subsextanorum) ;

pour la série des racines dixièmes, \j [subdecimanorum], et sic deinceps (et ainsi de suite).

La seule preuve qu'en donne Wallis est : « Patet ex prœcedente. » (Cela est évident d'après la proposition précédente.)

A partir de là, ^fl/e^ revient à chaque instant et tient lieu de toute démonstration ; mais on ne peut s'empêcher d'admirer la sagacité avec laquelle Wallis découvre des règles si justes.

La limite vers laquelle tend le rapport

(n 4- 1 ] V « lorsque n tend ver sl'infini, est donc

m -i- I il en résulte que l'aire de la parabole,

est la fraction • de l'aire du rectangle

ce qui est parfait.

Wallis passe ensuite au cas où il s'agirait de comparer la somme prolongée indéfiniment des puissances semblables des racines de même indice des n premiers nombres entiers, à lu

De Cavalieri à Hitygliens. i 59

somme d'autant de termes égaux au dernier de la série; c'est-à dire où la question serait de trouver la lim^ite du rapport

Il y arrive aisément par la combinaison des principes précédents et forme la table à double entrée des valeurs du rapport, en portant sur l'un des côtés les degrés des puissances et sur l'autre les indices des racines.

Enfin, après avoir (proposition LXÏV) attaché à la série des

p pièmes puissances des racines ^''^"i^^s, l'indice -> il arrive à la for-

mule générale : « Si intelligatur séries infinita quantitatum, a puncto seu o inchoatarum, et continue crescentiwn pro ratione cujuscumque potestatis, sive simplicis, sive ex simplicibus cornpositœ ; erit totius ratio, ad seriem totidem maximœ œqualium, ea quœ est imitatis ad indicem istius potestatis unitate aiictum. » C'est-à-dire : si l'on considère la somme, prolongée indéfiniment, des puissances simples, ou composées des simples, des nombres entiers à partir de zéro, la raison de cette somme à la somme d'autant de termes égaux au dernier de la série sera celle de l'unité à l'indice de la série augmenté de un.

Il est curieux de remarquer qu'il va même jusqu'à supposer l'indice irrationnel : « Sin index supponatur irrationalis, piita \/3 ; erit ratio, ut i ad i -h y/3, etc.. » c'est-à-dire : si l'indice est supposé irrationnel, par exemple v'^3, la raison sera celle de 1 à I -I- \/3, etc.

Tout cela est assurément très beau.

j ()0 Neuvième Période.

Mais Wallis va encore plus loin : l'heureuse idée lui vient de prolonger la série des exposants au-dessous de zéro et de considérer les sommes, prolongées indéfiniment, des puissances négatives, entières ou fractionnaires des nombres entiers, pour arriver à quarrer les courbes

et

mais là il est un peu moins heureux. Il applique encore la règle générale, énoncée dans ce qui précède; mais il ne peut interpréter les résultats auxquels il arrive, ce qui ne doit pas surprendre, sa méthode l'obligeant à faire commencer l'aire à l'axe desj^, de façon à ne pouvoir écarter la difficulté principale.

Par exemple, la formule générale de quadrature, appliquée à l'hyperbole du second degré,

lui donne

Wallis en conclut très bien que l'aire comprise entre la courbe et son asymptote est infinie, mais il ne peut aller plus loin.

Quant aux cas où l'exposant de x au dénominateur est supc-

rieur à i, comme dans

l'analogie donnait, pour Taire cherchée,

X ' xy

et Wallis ne sut pas se tirer de ce signe — . Il fait à ce sujet un singulier raisonnement : si le dénominateur, dit-il, n'était que zéro, l'aire serait déjà infinie, mais il est moindre que zéro, l'aire est donc plus qu'infinie : « cum indices serienim secundanonim, tertianoriim, quartanoriim^ etc., sint 2, 3, 4, etc. [unitate majores)^ indices serierum illis reciprocarum eriint ~ 2, — 3, — 4, etc., qui, quamins iinitate augeantur, manebiint tatnen negativi; et, propterea ratio quani habet i ad indices illos sic aiictos, major erit quant infinita, sive i ad o; quia nempe rationum conséquentes sunt minores qiiam o.

On est naturellement porté, à propos de cet étonnant travail de WalliS; à remarquer la singulière tendance de l'esprit humain n prolonger l'usage des méthodes antérieurement usitées, je ne dirai pas autant que possible, ce qui serait encore rationnel, mais au delà même du point où leur domaine s'arrête. Il semble qu'on ne puisse se décider à chercher de nouvelles méthodes que sous le fouet de l'absurde.

Il eût assurément été plus facile de rechercher les incréments des fonctions élémentaires, pour remonter aux sommes correspondantes, que de sortir, comme Wallis l'a si heureusement fait souvent, des difficultés où il se lançait.

La manière dont Wallis parvint à sa formule du rapport de la

M. Marie. — Histoire des Sciences, W. 11

circonférence au diamètre est tout à fait extraordinaire. II remarque que les aires comprises entre l'axe des j^, la parallèle à cet axe menée à la distance .r = i , l'axe des x et les courbes représentées par les équations

jr^[i—x^-]\ jr = (i— .v-)S

sont exprimées, en fonction du rectangle circonscrit, ayant pour côtés X = I et j^ = I, par les fractions

3 O lOD

et, comme l'ordonnée du cercle

serait moyenne proportionnelle entre les deux premiers termes de la suite

[i-x'-]\ [i-x'Y, [i—x'-r, ..., il se propose le problème de l'interpolation d'un terme entre

I et ^5 sous la condition de satisfaire à la loi de formation de

la suite

lOD

loi non formulée du reste et définie seulement par son origine concrète. Wallis y parvient, mais par une analyse trop compliquée pour trouver place ici. Il trouve que - est la limite du

De Cavalieri à Hityghens. i63

rapport

Il n'était pas très satisfait de ce résultat, quoique entièrement neuf, et il excita lord Brouncker, son ami, à chercher encore mieux. C'est sous l'inspiration de Wallis que ce dernier savant trouva pour tc l'expression

If

qui donna lieu à la naissance de la théorie des fractions continues.

Nous venons de dire que Wallis avait cherché à déterminer

l'aire du cercle par l'interpolation d'un terme entre i et ^ dans la

série

3 o lOD

nous devons ajouter que c'est lui qui, le premier, considéra le problème de l'interpolation et même en imagina le nom. Il en donna la solution générale qui consiste, lorsque les valeurs données ne sont liées par aucune loi connue, à faire passer par les points dont les coordonnées sont les valeurs données de la variable et de sa fonction, la parabole du degré marqué par le nombre de ces points moins un.

On doit encore à Wallis l'idée d'une méthode pour la rectifi-

164 Neuvième Période.

cation des courbes. Il remarqua, en effet, qu'en ajoutant le quarré de la différence entre deux ordonnées consécutives d'une courbe au quarré de la différence constante entre les abscisses, et prenant la racine quarrée de la somme, on trouvait l'expression du rectangle élémentaire, partie infiniment petite de l'aire d'une autre courbe, en sorte que le problème était ramené à quarrer cette autre courbe, mais il ne fit pas d'application de cette idée qui avait été présentée sous une forme moins heureuse par Van Heuraët.

Pascal avait, au commencement de i658, adressé publiquement un défi scientifique à tous les géomètres; il offrait 40 pistoles à qui trouverait^ avant le i""' octobre de la même année, i'aire d'un segment de la cycloïde déterminé par une ordonnée quelconque parallèle à sa base, le centre de gravité de cette aire et le volume qu'elle engendrerait en tournant soit autour de sa base, soit autour de son ordonnée; la longueur d'un arc quelconque de la courbe et le centre de gravité de cet arc. Wallis envoya de presque tous ces problèmes des solutions obtenues par la méthode des infinis, qui parvinrent le 2 3 septembre mais qui n'étaient pas toutes exactes ou. au moins, contenaient des erreurs, de calcul probablement.

Wallis appliqua encore dans la suite sa méthode à la quadrature de la cissoïde et de la conchoide de Nicomède, à la rectification de la parabole, et à un grand nombre de questions relatives aux centres de gravité.

On sait combien Descartes s'était trompé dans la théorie du choc. La question fut mise au concours par la Société royale de Londres. Wallis, Wren et Huyghens en envoyèrent simultanément des solutions analogues, fondées sur le même principe, qui

De Cavalieri à Iliiygheus. ihy

prit dès lors place dans la Science sous le nom de principe de la conservation de la quantité de mouvement. Wallis se borna au cas des corps mous; W'ren et Huyghens, au contraire, avaient considéré exclusivement celui des corps parfaitement élastiques.

SARASSA (aLPHONSE-AXTOINE DEI.

[Xii à Nicuport iFlandix-) en 1618, mort à Anvers en 1667. ]

Il appartenait à une famille espagnole qui le fit entrer à quinze ans dans l'ordre des Jésuites. Il professa d'abord les humanités, puis les Mathématiques.

Disciple de Grégoire de Saint-Vincent, Sarassa le défendit avec vivacité contre les attaques du père Mersenne et de Huyghens. Il démontra, dans un opuscule intitulé Solutio problematis a R. P. Mersenno propositi, que la quadrature du cercle de Grégoire de Saint-Vincent était juste si l'on admettait que, connaissant trois grandeurs et les logarithmes de deux d'entre elles, on pouvait construire le logarithme de la troisième.

Le père Sarassa est l'auteur d'un ouvrage intitulé : Ars semper gaudendiy qu'estimait Leibniz, mais qui, à ce qu'il parait, est fort peu réjouissant. Il en existe une traduction française qui a été publiée à Strasbourg.

MOUTON (Gabriel).

(No à Lyon en i()i8, mort en ir)0|.)

11 fut d'abord vicaire, puis prébendier; il était docteur en Théologie.

i66 Neuvième Période.

Il a calculé les logarithmes à dix décimales des sinus et tangentes de tous les angles de o° à 4°, de seconde en seconde. Ils se trouvent dans les Tables de Gardiner et ont été reproduits dans celles de Callet. Il imagina pour ce calcul la méthode des différences qui peut servir à l'établissement de Tables de toutes sortes. Cette méthode, purement instinctive chez Mouton, a, comme on sait, attiré l'attention de Newton, qui en a donné la théorie. C'est l'origine de notre méthode d'interpolation.

Mouton est surtout connu par les Observât ioiies diametrorum Solis et Lunœ apparentium (Lyon, 1670). Il suivait sur un carton l'image de l'astre au moment de son passage au méridien et estimait le temps employé au passage, par le nombre des oscillations d'un pendule préalablement réglé. Le temps écoulé, converti en degrés, en tenant compte de la déclinaison de l'astre et de son mouvement propre, fournissait le diamètre.

Il avait imaginé, pour le Soleil en particulier, une autre méthode assez ingénieuse. Il mesurait sur le carton, à quelques jours d'intervalle, d'abord le diamètre de l'image, et ensuite la distance parcourue, dans le sens vertical, par le bord supérieur, par exemple : le diamètre et la distance observés devaient être proportionnels au diamètre apparent et à la variation du Soleil en déclinaison , dans l'intervalle des deux observations. Cette variation étant donc fournie par les Tables , une proportion très simple lui faisait connaître le diamètre apparent. Il trouva, pour le diamètre du Soleil 3i' l>o\6j à l'apogée et 32' 2<^" ,6^ au périgée. Les vraies valeurs sont 3 i' 3 i" et 32' 35",6.

De Cavalieri à Hnygliens. 1O7