i Neuvième Période
— -, au contraire, tous les éléments du parallélogramme
seront égaux à n et le nombre en sera n, la somme sera donc n-; le rapport des deux sommes sera donc :
ou - I + -
mais n doit être supposé infini, le rapport exact est donc -•
Comparons de même un tétraèdre au parallélépipède de même base et de même hauteur, et pour cela décomposons-les encore en éléments par des plans parallèles aux bases. Les sections parallèles faites dans une pyramide étant entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet, si le plus petit élément est I, le second sera 2-, le troisième, 3-, etc., le dernier ou la base sera «^, la somme de ces éléments sera donc :
ou
7î(n-hT)(2n-f- il 6 ''
au contraire, tous les éléments du parallélépipède seront égaux à n- et le nombre en sera 77, la somme sera donc ri^; ainsi le rapport des deux sommes sera
qui se réduit visiblement à ^j lorsque 77 est infini
Supposons que l'on veuille comparer le segment oblique AMQ d'une parabole du second degré, j'- = 2px^ au parallélogramme
De Cavalieri à Huyghens.
AQMP, ayant pour côtés les coordonnées du point M {fig. 2) : l'équation de la courbe donnant x ^=-— , si Ton imagine les
Fig. 2.
parallèles à l'axe des .v, menées aux distances i, 2, . . ., n de cet axe, les longueurs de ces parallèles, comprises entre la courbe et l'axe des j^ seront :
la somme en sera donc
d'un autre côté, les éléments du parallélogramme seront tous
égaux a — : et, comme il v en aura n, la somme en sera — : le 2p ■' ip
rapport sera donc :
AMQ w(m4- i)(2n 4- I )
AQMP un'
ou
La même méthode s'appliquerait évidemment aussi bien à la quadrature des paraboles de tous les degrés; l'emploi n'en exi-
74 Neuvième Période.
gérait que la connaissance de la formule qui donne la somme des puissances semblables et entières, mais quelconques, de nombres en progression arithmétique,
Cavalieri, dans ses Exercitationes mathematicœ sex, quarre effectivement par cette méthode les paraboles
et
il donne même la formule de l'aire d'une parabole de degré quelconque
mais il n'y arrive que par analogie.
La même méthode fournirait aussi aisément la cubature des paraboloïdes de révolution, car, si la parabole méridienne est
l'élément du volume engendré sera t: ^t;— ; ? en ne tenant pas
compte de la hauteur commune.
Cette méthode serait impuissante à donner l'aire du cercle, parce qu'elle exigerait la sommation d'une suite de sinus d'arcs dont les cosinus seraient en progression arithmétique; mais, la valeur de tt étant supposée connue, elle fournira les mesures des surfaces ou des volumes d'un cylindre ou d'un cône.
Pour appliquer la méthode à la recherche de la mesure de la
De Cavalieri à Huyghens.
surface engendrée par la révolution d'une courbe AB [fig. 3) tournant autour d'un axe Ox situé dans son plan, il faudrait calculer la somme des produits de ses ordonnées par les éléments dans lesquels elles décomposent la courbe ; de même, pour évaluer le volume engendré par la révolution du segment PABQ, il suffirait d'évaluer la somme des carrés des ordonnées équidistantes de la courbe AB. Les démonstrations des deux parties du théorème de Guldin se tirent de ces considérations.
Fig. 3.
Cavalieri était entré fort jeune dans l'ordre des Jésuates ou Hyéronimites. L'intelligence dont il avait fait preuve engagea ses supérieurs à l'envoyer à Pise pour y suivre les cours de l'Université. C'est là qu'il apprit les éléments de la Géométrie, avec l'aide et par les conseils de Benoît Castelli, disciple et ami de Galilée.
11 paraît avoir été en possession de sa méthode des indivisibles dès 1629, car il s'en fit, cette année-là même, une recommandation près des savants et des magistrats de Bologne, pour obtenir la chaire que l'astronome Magini venait d'y laisser vacante. Il obtint en effet cette chaire vers la fin de 1629.
Il nous reste à faire connaître l'ouvrage même de Cavalieri ; cela est d'autant plus nécessaire que, pour abréger, nous avons,
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dans l'exposition de sa méthode, supposé les procédés à peu près tels qu'ils sont devenus plus tard, par suite des efforts successifs de Roberval, de Wallis et de Pascal. Mais on verra que ceux qu'emploie Cavalieri sont bien plus primitifs; le calcul y a une part beaucoup moindre. Au reste, il y a lieu de distinguer à cet égard : les Exercitationes geometricœ sex se composent en effet de parties qui ne sont pas de même facture : dans les premières, Cavalieri reproduit simplement ce qui avait trait à la théorie des indivisibles dans sa Géométrie imprimée en i635; ces premières parties sont bien son œuvre propre et assurent ses droits à l'invention de la méthode; mais Cavalieri convient lui-même que, pour les suivantes, où le calcul commence à intervenir^ il a profité de l'aide de Beaugrand.
Les deux premières parties, VExercitatioprîmaeXVExercitatio secunda sont intitulées De priori méthode indivisibilium et De posteriori methodo indivisibilium. Nous croyons devoir, pour les faire connaître, reproduire en l'abrégeant la préface dans laquelle l'auteur en fait lui-même l'analyse.
« Il y a environ dix ans, dit-il, que parut ma Géométrie en sept livres, élevée sur de nouvelles bases et où la considération des indivisibles fournissait le principal instrument pour arriver à la comparaison des grandeurs des figures tant planes que solides.
« J'ai institué deux voies pour atteindre ce but. La première est exposée dans les six premiers livres de cette Géométrie, et la seconde dans le septième.
« Dans l'une et l'autre méthode apparaissent, lorsqu'il s'agit de la mesure des figures planes, des lignes parallèles en nombre indéfini, comprises entre celles qui touchent la figure; lorsqu'il
De Cavalieri à Hiiyghens. 77
s'agit de la mesure des solides, ces lignes sont remplacées par des plans parallèles équidistants, compris de même entre ceux qui touchent la figure à ses deux extrémités.
« Il est donc manifeste que nous considérons les figures planes comme formées [contextce) de fils parallèles, à l'instar des toiles, et les solides comme composés de feuilles, de même que les livres.
a Mais tandis que, dans les toiles, les fils, et, dans les livres, les feuilles sont en nombre fini, parce qu'il s'y trouve une certaine épaisseur, pour nous le nombre en est indéfini, parce que nous les considérons comme sans épaisseur. Cependant nous ne faisons pas usage de cette hypothèse sans y apporter quelque attention, car, dans la première méthode, nous considérons la somme totale des files et, dans la seconde, leur distribution.
•■i Soient deux figures planes, comprises entre les mêmes droites parallèles, et une infinité de parallèles à ces deux droites, terminées séparément aux contours des deux figures, nous pouvons comparer de deux manières les segments interceptés sur ces droites dans les deux figures : soit en mettant en rapport la somme des uns et la somme des autres, soit en comparant séparément l'un à l'autre les deux segments interceptés sur chaque droite. Il en sera de même s'il s'agit de deux solides compris entre les mêmes plans parallèles, pourvu qu'on substitue les sections'planes de ces solides aux lignes droites considérées précédemment. Ce sont ces deux manières d'établir la comparaison qui distinguent les deux méthodes l'une de l'autre. (Il convient de remarquer que, si Cavalieri ne répète pas ici expressément que les droites et les plans dont il parle sont équidistants entre eux, il
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l'a du moins dit une fois pour toutes.) Au reste chacune des méthodes conduit à une règle générale qui lui est propre pour la comparaison des grandeurs des figures.
« Celle que fournit la première méthode est la suivante : si, dans deux figures planes, même de hauteurs différentes (Cavalieri entend par là comprendre dans son énoncé le cas où, l'une des figures manquant dans un certain intervalle, les sections, dans cet intervalle, seraient nulles), les sommes des segments séparément interceptés sur les parallèles sont égales, les figures seront aussi égales (équivalentes) et réciproquement; sinon non. Plus généralement la raison des deux sommes de segments sera celle des deux figures; et de même pour les solides.
(c Le règle fournie par la seconde méthode est un peu plus étroite : Si deux figures planes, comprises entre les mêmes parallèles, interceptent des segments égaux chacun à chacun, sur les droites parallèles aux bases, les figures seront égales; plus généralement, si les deux segments interceptés sur une même droite, dans les deux figures, ont une raison constante, cette raison sera celle des deux figures; et de même pour les solides. »
Cavalieri développe en un grand nombre de pages les démonstrations de ces principes évidents pour nous, mais qui ne laissèrent pas d'exciter, de son temps, les plus violentes critiques, comme on le voit par l'exemple de Guldin.
Nous passons ces explications inutiles aujourd'hui, mais nous devons insister sur l'importante acquisition du théorème à l'aide duquel Cavalieri obtient, par exemple, les cubatures de la pyramide et du cône, et la quadrature de la parabole du second degré. La manière même dont il y parvient est si originale qu'elle attire forcément l'attention.
De Cavalieri à Huyghens. 79
Cavalieri ne connaît pas la formule
