IZ2I
Quarte 4 : 3
Quinte 3 : 2
Aucun intervalle musical ne se divise mathématiquement en deux intervalles égaux. Il n'existe donc pas, à proprement parler, de moitié de ton, mais un intervalle plus petit que cette moitié, appelé limma ou demi-ton diatonique, et un autre plus grand que
« l'égalité, et rechercher s'il existe une forme de la quarte, composée directement de
'i trois intervalles sensiblement égaux, au moyen de proportions analogues. Or, un
« pareil genre s'obtient par les rapports 9:10, 10:11 et 11:12. En rangeant les propor-
« tions plus fortes à la suite les unes des autres, on obtient un tétracorde analogue à
« celui du diatonique synton, mais plus uniformément gradué, soit qu'on le considère
« en lui-même, soit qu'on le complète jusqu'à la quinte; car en ajoutant à l'aigu de la
« quarte le ton disjonctif, formé par la proportion 8 : 9, on obtient un rapport d'égalité,
1 non-seulement entre trois, mais entre quatre intervalles [successifs], en commençant
« par 8 : 9 et en progressant jusqu'à 11:12. » Ptol., I, ch. 16.
l'on nomme demi-ton chromatique ou apotomc. En comparant la valeur numérique du limma (243 : 256) avec celle du ton (8 : g), on obtient le rapport 2048 : 2187, qui exprime la valeur de Yapotome1. Le chromatique d'Archytas ne diffère du précédent que par la division du pycnum : l'intervalle aigu, le plus grand, est dans le rapport de 224 à 243 ; l'intervalle grave n'a que la grandeur du dicsis enharmonique (27 : 28) .
Dans le chroma tendu {^oœ^cf, crvvrovov) de Ptolémée, la distance de la mcse à la lichanos n'est que d'une tierce minime, intervalle exprimé par le rapport 7:6, et plus petit que la tierce mineure pythagoricienne dans le rapport 63 : 642. Le tétracorde du chromatique synton, comme celui du diatonique amolli, se partage presque également par la tierce minime et le ton maxime, mais au moyen d'une disposition inverse des intervalles. Tandis que la variété diatonique a pour intervalle supérieur le ton maxime, qui n'atteint pas tout à fait à la moitié de la quarte, la nuance chromatique présente à l'aigu la tierce minime, laquelle dépasse la moitié de la quarte. Les deux intervalles en question se trouvent donc placés sur les limites extrêmes du pycnum. Le chromatique synton, dont les sons stables seuls se trouvent par des consonnances, est l'unique variété du genre chromatique employée pâlies citharèdes alexandrins vers le milieu du IIe siècle de notre ère; encore n'était-elle admise que dans le seul mode hypodôrien et combinée avec le diatonique moyen. Son tétracorde se divise ainsi :
Une autre variété du genre chromatique est caractérisée par la division de la quarte en deux intervalles plus conformes à notre goût musical : la tierce mineure naturelle (5 : 6) entre les deux
1 L'apotome est plus grand que le limma d'un comma pythagoricien , exprimé par le rapport 524288:531441. Ce petit intervalle (ut — s/£) est annulé par le tempérament.
2 En effet 6 : 7 = 54 : 63 et 27 : 32 = 54 : 64. Selon quelques acousticiens modernes, entre autres M. Renaud (Principe radical de la tonalité moderne. Paris, 1870, p. 131 et suiv.), cet intervalle existerait entre le 2e et le 4e degré de notre gamme.
degrés supérieurs du tétracorde, et le ton mineur (g : 10) pour l'étendue totale du pyenum. La tierce mineure naturelle apparaît pour la première fois dans la division chromatique formulée par v 2o5av j c le célèbre mathématicien et géographe Eratosthène. Il est douteux que cette consonnance, dont l'oreille apprécie faiblement la justesse, ait été obtenue directement par les instrumentistes alexandrins du IIIe siècle avant J. C; mais ils ont pu se la procurer en prenant d'abord la tierce majeure à l'aigu de la mise, et en descendant ensuite d'une quinte1 :
Ptolémée connaît aussi cette nuance, qu'il appelle chromatique amolli {^ovù^a, [A,vX&xév) ; mais il ne s'accorde pas avec Eratosthène en ce qui concerne la hauteur du son mésopyene, naturellement assez incertaine dans la pratique, comme celle de tous les sons obtenus par relâchement arbitraire. La division de l'octocorde entier est celle-ci :
Quarte 4 : 3
Tierce min. nat.
j^EEEEggEÉ
Ton min.
Ton dis] on et if 9:8
Quarte 4 1-3
Tierce min. nat 6:5
Ton min.
to: y
zs:
zz
ipk
Eratosthène . . . 19:18 20:19 19:18 20:19
Ptolémée .... 15 : 14 28 : 27 1^:14 28:27
Il est assez singulier que Ptolémée n'ait pas adopté pour cette nuance la division de Didyme, incontestablement la meilleure et la plus régulière. Dans celle-ci, le pyenum, embrassant un ton mineur (g: 10), se subdivise du grave à l'aigu par un demi-ton majeur ou diatonique, dont la valeur est 15 : 16, et un demi-ton mineur ou chromatique. Ce dernier intervalle est la différence de la tierce majeure (4 : 5) à la tierce mineure (5:6), et du ton mineur au demi-ton majeur2 : sa valeur s'exprime par le rapport 24 : 25.
t Soit t.l^l^î.
2 En effet , d'une part , 5 : 6 = 20 : 24 et 4 : 5 = 20 : 25 ; d'autre part 15 : 16 = 225 : 240
e1 r> . 10= ^25:250. Or 240 : 250 — 24 : 25; conséquemment , le plus grand intervalle de
chaque couple dépasse l'autre comme 25 dépasse 24.
L'échelle entière ne renferme en conséquence que des intervalles
réguliers et exacts.
•Quarte 4 : 3 Tierce miu. nat. 6 : 5
Ton min. 10 : 9
Demi-ton Demi-ton min. 25 : 24 maj. iG : 15
Tondisjonctif 9:8
Quarte 4 : 3 Tierce min. nat. G : 5
Ton min. 10 : 0.
Demi-ton Demi-ton min. 25 :24 maj. iG: 15
--2=zt\Z^
Tierce maj. nat. 5 : 4
Tierce min. nat. 6 : 5
Tierce maj. nat. 5 : 4
Elle se réalise par un mode d'accord très-ingénieux, dans lequel n'entrent que des quintes et des tierces :
tJOrVi
22ZÏTJC:
Le chromatique de Didyme possède une grâce et une douceur extraordinaires, comme tout musicien peut s'en assurer par le témoignage de son oreille ; les accords de la majeur (la — m/$ — mi) et de la mineur (la — ut\ — mi), de fa% mineur (fa% — la — ///£) et d e yV? t) majeur (/ai) — la — utfy sont d'une justesse parfaite.
Dans le genre enharmonique, il n'y a pas de nuances '.Toutefois Enharmoniqm les écrivains ne s'entendent pas tout à fait sur la hauteur exacte du degré intermédiaire du pyenum; ce qui n'a rien d'étonnant lorsqu'on réfléchit qu'il n'existait d'autre moyen pour trouver ce son, que la comparaison mélodique des deux sons voisins. Il est évident que l'intonation de la parhypate enharmonique devait varier dans des limites assez grandes.
Tierce maj. nat.
Demi-ton naturel iG : 15
TJ
Archytas ' , . . 36 : 35 28 : 27
Didyme . 31 : 30 '^2 : 31
Ptolémée 24 : 23 46 : 45
Archytas ne connaît pour l'intervalle de Yhypate à la parhypate qu'une seule grandeur, commune aux trois genres; elle est
1 « Ils (les harmonistes) discutaient entre eux sur les nuances [des genres diatonique « et chromatique]; mais ils disaient presque tous d'une voix qu'il n'y avait qu'une seule « espèce d'enharmonique. » Plut., de Mus. (Westph., § XXI).
j^ ; LIVRE II. — CHAP. IV.
exprimée par le rapport 27 : 28 \ Sa division pour le genre enharmonique, faite à une époque où il était exécuté journellement, doit se rapprocher de la vérité et nous inspirer le plus de confiance2.
Ce qui précède aura suffi, je l'espère, à appeler l'attention des musiciens sur une des branches les plus intéressantes de l'art antique, bien que jusqu'à ce jour elle ait été considérée comme absolument inféconde. Supposant les différences de la plupart des cliroai trop petites pour être appréciables dans l'exécution musicale, les écrivains modernes ont envisagé les divisions des canoniciens comme des spéculations scientifiques, rattachées uniquement par leur point de départ à la musique proprement dite. Une étude approfondie et détaillée de cet objet nous a conduit à un résultat opposé. L'expérimentation directe nous fait percevoir les différences caractéristiques observées par les anciens, — différences très-sensibles pour nous — et démontre la possibilité pratique de les reproduire sur les instruments3. Jusqu'à preuve du contraire, il est donc permis de tenir pour établis les faits suivants :
i° La musique gréco-romaine, pendant sa période la plus brillante, a toujours distingué dans le genre diatonique trois variétés : un diatonique tendu (pythagoricien ou synton), un diatonique moyenet un diatonique amolli; dans le genre chromatique deux variétés : le chromatique tendu et le chromatique amolli;
2° Les nuances se réalisaient dans la pratique musicale par trois combinaisons employées pour l'accord des instruments : a) l'accord par symphonies (quintes, quartes et octaves); b) l'accord par la diaphonie de tierce; c) l'accord par relâchement arbitraire.
1 Cette particularité donne la clef d'un des problèmes d'Aristote (XIX, 4) resté jusqu'à présent sans solution satisfaisante: « Pourquoi chante-t-on difficilement celle-là « (la parJiypate), tandis que Vhypate [se chante] facilement, alors qu'il n'y a pourtant « qu'un diésis qui les sépare? » Cette question faite par un contemporain d'Archytas nous montre que les divisions assignées aux trois genres par l'illustre pythagoricien, étaient directement empruntées à la pratique.
2 Eratosthène diffère quant à l'intervalle supérieur. Sa division est celle-ci : 19 : 15, 39:38, 40:39 (la — fa — f^ — mi). La tierce majeure 19: 15 — ou, selon notre manière d'écrire habituelle, 15: 19 — se confond avec la tierce majeure pythagoricienne. En effet , 64 : 81 = 960 : 1215 et 15:19 = 960 : 1216; la différence des deux intervalles n'est donc que de 1215 à 1216, différence inappréciable à l'oreille.
3 Cf. Helmholtz, Théorie physiologique de la musique, p. 470-471.
. la
sol
fa ni i
. la
sol
fa mi
. la
sol
fa mi
. la
sol
fa mi
la
fn
fa mi
chroai.
Pour le diatonique, à s'en tenir au pythagoricien, le premier moyen pouvait suffire ; pour le chromatique l'association de deux moyens était commandée; l'enharmonique enfin exigeait la réunion des trois modes d'accord.
Avant de clore ce paragraphe , il nous reste à mentionner Mélange d« rapidement le peu que nous savons du mélange des nuances. Nous n'avons de renseignements à ce sujet que pour la seconde moitié du IIe siècle après J. C.1 A cette époque, l'enharmonique avait disparu de la pratique; le chromatique n'était plus représenté que par le synton; quant au diatonique, toutes ses variétés étaient plus ou moins en usage (à l'exception du diatonique égal) ; mais une seule, au rapport de Ptolémée, s'employait à l'état isolé par les citharèdes alexandrins : c'était le diatonique moyen, avec lequel les autres nuances se combinaient tour à tour. On peut remarquer, en effet, que certaines divisions d'intervalles, supportables pour nous lorsqu'elles se trouvent dans un seul tétracorde, deviennent discordantes, étant appliquées à l'octocorde entier. Tous les mélanges de nuances (yAy[ACLTv) sont soumis à une règle déjà énoncée plus haut : « les chroai plus relâchées que le « diatonique moyen doivent occuper les tétracordes au grave des « disjonctions (méson, hyperboléon et synemménon), et les plus « tendues ont leur place dans les tétracordes situés à l'aigu des « disjonctions2 (diézeugménon et hypaton). » Pour rendre l'application de cette règle aussi facile que possible, il suffira d'énumérer, dans l'ordre de leur tension décroissante, les cinq divisions en usage au temps de Ptolémée :
Diatonique tendit .
D ia ton iqu c pytJi agoricien Diatonique moyen .
Diatonique amolli .
Chromatique tendu.
Quatre combinaisons étaient donc possibles et s'employaient réellement vers le milieu du IIe siècle de notre ère :
1 Ptol., I, 16.
2 Les échelles mixtes qui résultent de l'application de cette règle sont notées tout au long clans une série de tableaux, placés à la suite du chap. 15 du IIe livre de Ptolémée.
i° Mélange du diatonique tendu avec le moyen (ouiyua, Siarovov tvvtgvqv). Le premier, d'après la règle de Ptolémée, doit se trouver à l'aigu des disjonctions : c'est-à-dire, dans les tétracordes hypaton et diêzcugmênon ;
tendu. moyen. tendu.
la sol fa mi ré ut si — la sol fa mi ré ut si — la
2° Mélange du diatonique pythagoricien avec le moyen {uuiyu^a, Skltovov SiTovr/.ov). Le pythagoricien, étant le plus tendu, se place dans les tétracordes hypaton et diêzcugmênon;
moyen. pythagor. moyen. pythagor.
la sol fa mi ré ut si — la sol fa mi ré ut si — la
3° Mélange du diatonique amolli avec le moyen (fAiypa, Siktovov lMjJkat,xov) . Le premier, ayant une tension moins grande que le moyen, doit se trouver dans le méson et dans Vhyperboléon;
amolli. moyen. amolli. i moyen.
la sol fa mi ré ut si — la sol fa mi ré ut 5/ — la
40 Mélange du chromatique tendu avec le diatonique moyen (jAiyysU ^ôcouufx.rixoi' nrvvrovov) ; la même observation s'applique à cette combinaison.
chrom. tendu. diat. moyen. chrom. tendu. diat. moyen.
la fa J fa tj mi ré ut si — la f a ij fa tj mi ré ut si — la
Ptolémée complète ses renseignements en citant les termes techniques par lesquels les citharèdes et les lyrodes alexandrins désignaient les divers mélanges, ainsi que les modes dans lesquels ils les employaient. Nous n'avons ici qu'à transcrire textuellement ses paroles1 : « Le chromatique tendu se combine « avec le diatonique moyen (4e mélange) dans les manières d'ac- •< corder dites sur la lyre, malaka , sur la cithare, tropiha2. Les « tropiha sont propres au mode hypodorien. »
1 A rapprocher Liv. I, chap. 16 et Liv. II, chap. 16. — Cf. Westthal, Mdrik, I,
2 Martianus Capella connaît encore ces épithètes. « Sunt ctiam aliac distantiac quac et •> tropica nicla dicuntuv, aliac homologica (pour metabolica?), » p. 189.
Forme authentique.
Forme pîagale (selon Ptolémée).
