SECONDE PARTIE
Nous abordons une tâche difficile : de découvrir quel est le système complet d'Aboul-Wéfa dan3 la théorie lunaire, et notamment quel est le rôle qu'y remplit son inégalité de 45' ; comment elle s'y trouve associée aux autres inégalités pour former l'inégalité totale de la lune. Il y a là une question difficile et délicate, car il s'agit, avec des données malheureusement trop restreintes, de retrouver tout un enchaînement d'idées. Nous pensons toutefois que la solution suivante, tenant rigoureusement compte des moindres traces de la pensée
de l'auteur, semblera aussi naturelle, aussi probable qu'on puisse l'espérer. Dans les recherches, en effet, qui se basent sur les mathématiques, les voies à suivre qui présentent le caractère d'être nécessairement plus circonscrites et plus limitées que dans toute autre investigation ont aussi l'avantage de conduire avec plus de certitude au résultat.
Les difficultés de la question proviennent de ce que . le manuscrit que possède la Bibliothèque impériale est très-incomplet : il y manque notamment les passages où la théorie des mouvements lunaires était exposée complètement. Le passage existant, signalé par M. Sédillot et sur lequel on a discuté, est la suite de ceuxlà; il en est le complément et la démonstration; il les suppose connus. Il serait clair s'ils existaient. En leur absence, il est obscur ; et quoiqu'il n'autorise nullement l'assimilation qu'on a voulu établir entre la troisième inégalité de 45' d'Aboul-Wéfà et celle que Ptolémée a exprimée par sa prosneuse, son sens complet est une énigme.
Pour chercher à pénétrer le mot de cette énigme et la pensée de l'auteur, il faut étudier l'ouvrage dans toutes ses parties.
Cette étude va nous montrer que cette production d'Aboul-Wéfà, loin d'être une simple copie de VAlmagesle de Ptolémée, défigurée par un plagiaire ignorant, comme on l'a cru, diffère essentiellement dans sa tonne de l'ouvrage grec, et c'est du reste ce qu'Aboul-Wéfâ a pris soin d'annoncer au commencement de son livre, ainsi qu'on le verra tout à l'heure.
Cette différence ressortira, je crois, de l'exposé suivant.
Mais nous devons dire d'abord quelques mots de l'ouvrage d'Aboul-Wéfâ considéré dans son ensemble, et de l'état du manuscrit dans lequel il se trouve incomplet.
Cet ouvrage porte le titre à'Almageste, qui signifie chez les Arabes Traité d'Astronomie. L'auteur, dans la préface, nomme Ptolémée, Hipparque et Apollonius, qui avec beaucoup d'autres anciens ont, dit-il, abordé le même sujet ; mais il annonce qu'il a suivi une voie nouvelle, qu'aucun d'eux n'avait mentionnée, et qui conduit visiblement à ces hautes connaissances (1). Nous dirons ici plus loin sous quejs rapports la marche suivie par Aboul-Wéfà différait de celle de Ptolémée.
L'ouvrage est divisé en trois livres (2), chaque livre en discours, les discours en sections, et les sections en chapitres.
Le premier livre est à peu près complet dans le manuscrit de la Bibliothèque impériale n° 1138 ; il contient « les choses qui doivent précéder l'exposition des mouvements des planètes. » M. Delambre, qui a connu ce premier livre, traduit par M. Sédillot le père, en a
(1) Sur un traité arabe relatif à l'astronomie, voir Journal des savants, année 1843, p. 732, article de M. Biot.
(2) Je ne dis pas en trois parties, ce qui serait plus exact (Sédillot, Matériaux, etc., p. 59), pour ne pas faire confusion avec les trois parties dont est formée la théorie de la lune, et dont il va être question.
donné des extraits dans son Histoire de l'astronomie du moyen âge. Il dit qu'on y trouve « des choses intéressantes qu'on n'avait pas encore dites, du moins aussi complètement ni aussi clairement (1). » Il cite une mesure des hauteurs solstitia^s d'une grande précision (2); diverses questions et méthodes trigonométriques où se trouvent des innovations heureuses, telles que l'usage des tangentes (3), dont Albategni a connu l'expression mais sans en sentir l'importance;
l'introduction des sécantes et cosécantes, dont personne encore n'avait parlé (4).
Ce premier livre suffirait, comme on le voit, pour prévenir en faveur d'Aboul-Wéfâ et justiGer la renommée dont il a joui chez les Arabes.
Le second livre a pour objet d'expliquer le mouvement des planètes, que l'on nomme mouvement en longitude et mouvement d'anomalie.
Dans la table sommaire de ce livre, l'auteur rappelle qu'il a fait connaître dans les discours précédents tout ce qui sert d'introduction au mouvement des planètes, et qu'il va s'occuper de leur révolution circulaire et des diverses contradictions ou différences qu'elles présentent, et cela après qu'il aura expliqué les principes dont ces différences dépendent et sur quelles bases sont fondées les démonstrations. Il annonce ensuite qu'il exposera plus loin les moyens par lesquels on est arrivé aux résultats qu'il a décrits, et qu'il rapportera les obser-
(1) Page 156.
(2) Ibid.
(3) Ibid., p. 157 et 159 : « voilà enfin les tangentes naturalisées. >
(4) Ibid., p. 158 et 164.
valions d'après lesquelles on a déterminé les mouvements généraux et particuliers (1).
C'est dans ce second livre qu'il traite des mouvements de la lune et de ses inégalités. Cette théorie nous paraît avoir été exposée par Aboul-Wéfâ en trois parties distinctes. La première formait le sixième discours de ce second livre. Ce discours et les cinq premiers manquent dans le manuscrit.
La seconde partie, la seule qui nous soit conservée, forme la deuxième section du septième discours, et la troisième partie n'existe plus dans le volume.
Voici quel était l'objet distinct de ces trois parties qui embrassaient toute la théorie lunaire.
Dans la première se trouvait l'exposition complète, mais sans démonstration, du mécanisme des cercles, excentriques, épicycles, etc., qui servaient à représenter les mouvements lunaires.
Dans la seconde partie l'auteur donne la démonstration de ses hypothèses et des déterminations numériques qui s'y rapportent.
Enfin dans la troisième se trouvait le détail des observations sur lesquelles Aboul-Wéfà avait fondé tout le mécanisme des mouvements lunaires.
C'est donc dans la première partie que l'auteur a
(1) L.-A. Sédillot, Matériaux, etc., 1845, p. 60-61. Voir f" 81 et 82 du manuscrit 1138.
exposé complètement les trois inégalités que l'observation fait découvrir dans les syzygies, dans les quadratures et dans les octants.
Nous n'avons pas cette première partie, mais on voit dans la seconde partie que les deux premières inégalités sont précisément celles de Ptolémée, et qu'Àboul- Wéfà les représente de la même manière par un épicycle sur un excentrique mobile (1). Quant à la troisième inégalité de 45*, qu'élait-elle? Il en est question dans la seconde partie, mais d'une manière incomplète qui se rapporte à la première partie que l'auteur suppose connue, se proposant simplement ici de justifier ce qu'il en a dit. Toutefois, nous avons prouvé que cette inégalité n'est pas identique à la prosneuse de Ptolémée, de sorte que si l'auteur a suivi le système de Ptolémée pour les deux premières inégalités, il s'en est écarté à l'égard de la troisième : cela est mis hors de doute.
Indépendamment de cette différence partielle, l'ouvrage d'Aboul-Wéfa se sépare essentiellement, quant au plan et aux procédés de démonstration, de Y Aimageste de Ptolémée.
(1) M. Biot, dans un article du Journal des savants, intitulé : Sur un exposé de la théorie de la lune, rédigé par fin auteur arabe du X6 siècle, a donné une traduction complète de celte partie de l'ouvrage d'Aboul-Wéfà, que nous appelons ici la seconde partie de la théorie de la lune, laquelle est en onze chapitres. (Voir Journal des savants , année 1845, p. 151-166.)
En effet, Ptolémée procède progressivement aux différentes parties de l'édifice qu'il élève, landis qu'Aboul- Wéfâ montre tout d'abord l'édifice construit complètement, et prouve ensuite l'exactitude et la convenance de chacune de ses parties.
Cette marche régressive est l'inverse de celle de l'au. leur grec. Celle-ci, toute synthétique, est plus conforme à l'esprit d'invention; l'autre, empreinte des progrès de la science dus à une longue culture, émane d'un auteur familiarisé avec son sujet. Aboul-Wélâ la suit avec beaucoup d'ordre, de logique et de méthode. Elle suffirait, indépendamment de la troisième inégalité qu'il a introduite dans la théorie lunaire, pour le justifier d'avoir annoncé, au commencement de son ouvrage, qu'il a suivi une voie nouvelle qu'aucun des anciens et Ptolémée lui-même n'avaient mentionnée.
Mais il existe beaucoup d'autres différences entre la marche d'Aboul-Wéfà et celle de Ptolémée. Ainsi, dans certains détails, il emploie d'autres démonstrations, parce qu'il a à sa disposition un plus grand nombre d'observations qui lui fournissent sans calcul les éléments de sa démonstration. Par exemple, pour déterminer la première inégalité (celle des syzygies), il n'a pas besoin de recourir au problème des trois éclipses résolu par Hipparque, et reproduit par Ptolémée, solu- n lion fort belle en théorie, et qui atteste la sagacité d'Hipparquc comme géomètre, mais qui assurément est d'une exactitude plus que douteuse dans l'application, puisqu'elle fait dépendre tous les éléments d'une théorie aussi compliquée de trois seules observations qu'on peut présumer entachées d'erreurs. Aboul-Wéfà,
au contraire, conclut l'inégalité, par un procédé ingénieux et plus exact, des observations d'éclipsés qu'il a à sa disposition.
On voit donc que l'ordre suivi par Aboul-Wéfà dans l'exposition de toute cette théorie, et souvent ses procédés de démonstration dans les détails, enfin l'exactitude qu'ils comportent, diffèrent, à beaucoup d'égards, de la marche et de la méthode géométrique de Ptolémée.
Cet ouvrage présente une hardiesse et un cachet d'originalité qui le distinguent de tout ce que nous connaissons des autres astronomes arabes. Il nous parait propre à faire beaucoup d'honneur, indépendamment de la découverte de la troisième inégalité lunaire, à Aboul-Wéfà, et sans doute il a contribué à lui assurer le rang qu'il occupe dans l'histoire de l'astronomie arabe.
Nous arrivons, et non sans hésitation, à cette question finale que nous ne pouvons éluder : Quel est le système d'Aboul-Wéfà dans la théorie des inégalités lunaires? Comment la variation s'y trouve-t-elle associée aux autres inégalités?
Nous répondons : Aboul-Wéfà a adopté les deux premières inégalités de Ptolérnée propres aux syzygies et aux quadratures, ainsi qu'on le voit dans les neuf premiers chapitres de la deuxième section de son septième
discours, qui ont pour objet de démontrer tout ce qui se rapporte à ses deux premières inégalités.
En outre, Aboul-Wéfà a adopté la rectification de ces deux inégalités par la prosneuse, et c'est à ces deux inégalités rectifiées qu'il ajoute sa troisième inégalité dont le maximum est de 45' environ dans les octants.
Le chapitre X (1), sur lequel on a tant différé d'opinion, a pour objet, selon nous, de démontrer simultanément ces deux parties associées du système de l'auteur. Car, qu'on se le rappelle ici, tout ce système a été exposé dans la première des trois" parties consacrées à la théorie de la lune, et dans la seconde, la seule que nous connaissions, l'auteur ne décrit plus : il se borne à prouver.
Je dis que le chapitre X a pour objet de démontrer simultanément la rectification de la prosneuse et l'inégalité de 45' qui la complète. Conséquemment il ne serait pas relatif à la prosneuse seule, comme on Fa cru, parce qu'elle venait naturellement, a-l-on dit, dans l'ordre logique après les deux premières inégalités de Ptolémée. Dans Plolémée, celte prosneuse complétait le système des inégalités; il fallait donc la démontrer; c'est ce qu'il a fait. Mais dans Aboul-Wéfâ il n'est pas possible de la considérer isolément; elle ne complète rien dans aucun cas ; il n'y avait donc pas lieu de lui consacrer un chapitre spécial. Elle ne tire sa raison d'être que de la troisième inégalité des 45' qui la complète, et sans laquelle elle n'a aucun objet, et consé-
(1) Nous rapportons plus loin, d'après la traduction admise par M. Biol (Journal des savants, année 1843, p. 733), le texte complet de ce chapitre X.
m APPENDICE.
quemraent n'est susceptible d'aucune démonstration de la part d'Aboul-Wéfà, car il n'était pas possible de la mettre seule en comparaison d'une observation. La seule démonstration possible est celle des 45'. Aussi c'est cette démonstration de la troisième inégalité, comprenant implicitement celle de la prosneuse, que se propose Aboul-Wéfâ dans le dixième chapitre.
Voici ce qui le prouve. Outre le passage de ce dixième chapitre qui nous a donné la preuve certaine que par son inégalité de 45' Aboul-Wéfà n'a point entendu remplacer l'effet de prosneuse dans les octants, nous en trouvons un autre qui montre que, loin de là, Aboul- Wéfâ ajoutait cette troisième inégalité à la prosneuse, c'est-à-dire aux deux inégalités de Ptolémée corrigées par la prosneuse.
En effet, après avoir dit qu'il a observé le lieu de la lune quand elle se trouve dans les octants et à l'apogée ou au périgée de l'épkycle, il ajoute : « Nous avons en même temps cherché son lieu par le calcul, que nous avons corrigé par les deux anomalies ci-dessus décrites, et nous l'avons trouvé plus grand ou plus petit que celui-là d'environ une moitié plus un quart de degré (1). *
Or, ces deux anomalies ci-dessus décrues ne peuvent être les deux premières inégalités simples de Ptolémée, par la raison qu'elles sont nulles quand la lune se trouve à l'apogée ou au périgée de l'épicycle, comme Aboul-Wéfâ le suppose expressément. Il s'agit donc des deux inégalités rectifiées par la prosneuse, et décrites,
(1) L.-Am. Sédillot, Matériaux, etc., p. 47.
non pas dans les chapitres du septième discours, comme on l'a cru, mais dans le sixième discours où se trouvait l'exposition ou description complète du système lunaire.
On voit combien il était important d'insister, comme nous l'avons fait, sur le mode d'exposition et de démonstration adopté par Aboul-Wéfà en opposition avec la marche suivie par Ptolémée.
11 nous paraît donc prouvé et hors de doute, d'après les fragments parvenus à notre connaissance, que l'inégalité de 45' s'ajoute aux deux premières inégalités rectifiées par la prosneuse ; que tel est le système d'Aboul-Wéfà, et qu'ainsi il a parfaitement découvert la variation.
Une vérification numérique, sans être nécessaire, nous paraît confirmer cette conclusion.
En effet, les inégalités de Ptolémée sont, dans le premier octant, -67' 33" et + 1° 23' 32", selon que la lune est à l'apogée ou au périgée de son épicycle. Celles d'Aboul-Wéfà, que nous formons en ajoutant 45' à celles-là, sont - 22' 33" et + 2<» 8' 32".
Or, les inégalités, d'après les tables de M. Damoiseau, pour les mêmes positions de la lune, sont — 38' 24" et -h 1°54'32". Les erreurs de Ptolémée seraient donc de 29' 9" en plus et 31' en moins, et colles d'Aboul-Wéfà de 15' 51" en moins et 14' en plus, c'est-à-dire que le
système d'Aboul-Wéfâ diminue les erreurs de Ptolémée de moitié au moins.
La différence est encore plus grande, à l'avantage d'Aboul-Wéfâ, dans le deuxième octant.
En effet, alors les inégalités de Ptolémée sont, pour les mêmes positions apogée et périgée de la Lune, + 67' 33" et - 1° 23' 32". On forme celles d'Aboul-Wéfâ en retranchant 45', ce qui donne 4-22' 33" et - 2° 8' 29'\
Or, les inégalités de M. Damoiseau sont alors + 35' 33" et - 1°56' 23". Les erreurs de Ptolémée sont donc 32' en plus et 32' 51" en moins, et celles d'Aboul-Wéfâ ne sont que 13* en moins et 12' 6" en plus, par conséquent inférieures de moitié à celles de Ptolémée, et dans des limites satisfaisantes, eu égard à la théorie et aux procédés d'observation de la lune au Xe siècle.
