en reste à peine un terme, celui iVinvolution

substituer entièrement à la géométrie, il a doté celle-ci dé méthodes nouvelles qui devaient lui conserver son indépendance*. Si elles n*ont été pleinement développées que dans le XIX* siècle, si, de son vivant, Desargues ne fut apprécié à sa véritable valeur que par les mathématiciens du premier rang, il n*en a pas moins exercé une influence immédiate, plus profonde qu'on ne serait tenté de le croire d*après les dénigrements dont il fut Tobjet. Sans parler du célèbre Essai sur les coniques de Pascal, qui se déclare son élève ', un des meilleurs géomètres de la fin du siècle, Lahire, vulgarisa sous la forme classique dédaignée par Desargues les plus importants des résultats qu'il avait obtenus.

Quant à la géométrie analytique, on sait qu'elle date de la Géométrie de Descartes, chef-d'œuvre de cent pages, présenté par l'auteur comme un essai de l'application de sa méthode et publié en 1637 avec son célèbre Discours. C'est un modèle achevé pour la clarté et la rapidité de l'exposition de théories originales. Si importantes que soient d'ailleurs ces théories, le mérite du livre et le secret de l'influence extraordinaire qu'il exerça résident peut-être moins encore dans la fécondité des inventions que dans la forme exemplaire du procédé. Il y avait là une façon toute nouvelle de traiter les mathématiques et les avantages en étaient tellement évidents qu'il n'y avait qu'à chercher à l'imiter.

Mais l'Invention des coordonnées dites cartésiennes ou, en thèse générale, l'application de l'algèbre à la géométrie n'est nullement l'idée capitale ni d'ailleurs la plus réellement originale. Cette application devait résulter nécessairement du rapprochement de l'analyse de Viète et des procédés de la géométrie antique pour l'étude des courbes. Il suffira de remarquer que Fermât est arrivé en même temps que Descartes et tout à fait

1. Les anciens semblent à la vérité les avoir connues au moins en partie; mais on n'a pu le soupçonner que précisément après les découvertes de Desargues.

2. C'est dans ce court Essaie rédigé & Tàge de seize ans, que Pascal a inséré la célèbre proposition connue sous le nom (Vhexagramme mystique. A dix-huit ans, il inventait la première machine arithmétique. Ses traités du triangle arithmélique, des combinaisons, etc., qui se rapportent à ses recherches sur les nombres et donnent les éléments de sa méthode pour les probabilités, n'ont été publiés qu'en 1665, après sa mort.

indépendamment de lui, à la même application, et cela sous une forme peut-être plus voisine encore des errements actuels. La Géométrie de Descartes est, au contraire, incomparable comme refonte complète de la théorie des équations; et la solution générale qui y est donnée du problème des tangentes pour les courbes algébriques a une importance théorique capitale.

Les applications de la géométrie, pendant la même période, sont surtout cultivées dans les Pays-Bas. Le cosmographe Gérard Mercator (1512-1594) trouve le- système des cartes marines. Wilebrod Snellius invente la méthode de triangulation et mesure, avec une approximation assez remarquable, un degré du méridien terrestre. La trigonométrie est le principal objet des travaux d'Adrien Romain (van Roomen, 1561-1613), de Louvain, surtout célèbre pour avoir posé un problème dont Téléganlc solution est un des titres de gloire de Tiète. Lndolf van Ceulen (1539-1612) pousse jusqu'à la trentième décimale le calcul du rapport de la cîrconférencîe au diamètre. Adrien Metius (1571-1635), originaire de Metz, donne de ce même rap-

port la remarquable approximation : jj^.

Le problème des quadratures. — Parmi les problèmes de géométrie plus élevés que ceux auxquels suffisaient les méthodes déjà connues, on commença, vers le début du xvii° siècle, à en agiter qui se rangeaient sous deux classes distinctes : les problèmes des quadratures et les problèmes des tangentes.

Aux quadratures (calcul de Taire plane limitée par une ligne courbe) se rattachaient les recherches des cubatures et celles des centres de gravité. Ce fut par ces dernières que l'on débuta, parce que la perte d'un certain nombre d'écrits d'Archimède obligeait à retrouver les démonstrations de résultats auxquels faisait allusion le aréomètre de Syracuse. Gommandino se mit à la besogne; il fut imité par Luca Valerio, Stevîn et autres '.

On pouvait tirer des écrits d'Archimède des modèles de démonstration par l'absurde; mais ce procédé ne pouvait

\. Gariice consacra au môme sujet le premier travail de mathématiques qui le fit connaître.

guère servir que pour la vérificalion ; il s^agissait donc de dégager une méthode d^invention pour des questions qui font aujourd'hui Tobjet du calcul intégral, et qui se mulliplièrent rapidement en se compliquant, dès que Ton aborda Télude des courbes inventées par les anciens en dehors du cercle et dos coniques, ou que Ton en imagina de nouvelles.

En fait, chaque grand mathématicien de Fépoque eut ses artifices particuliers qu'il se forgea lui-même; on ne connaît pas ceux de Descartes, mais on est assuré qu'il les possédait de très bonne heure; Fermât communiqua, vers la fin de sa vie, les siens qui sont très variés et profondément originaux; mais la première théorie fut tentée en Italie par Bonaventura Cavalieri (1591-1647), professeur à l'université de Bologne, qui publia en 1635 sa Géométrie des indivisibles *.

Sous un nom malheureux, les indivisibles ne sont autre chose que les infiniment petits dont la sommation est l'objet du calcul intégral. Seulement, aujourd'hui le calcul intégral est présenté comme l'inverse du calcul différentiel (problème des tangentes); à cette époque, aucun mathématicien ne semble avoir le pressentiment de la liaison des deux questions, liaison qui apparaîtra à Newton et à Leibniz dès l'invention d^ leurs algorithmes; on doit donc, pour obtenir les !>ommations, recourir à des artifices particuliers. Si Cavalieri a la gloire incontestable d'avoir le premier essayé de constituer la théorie d'une nouvelle méthode, il alla beaucoup moins loin dans les applications que les géomètres français. On le voit s'informer auprès de Mersenne des résultats qu'ils ont obtenus, mais une fois renseigné, il s'abstient de rien publier sur le même sujet et se contente de défendre ses indivisibles contre les attaques dont ils sont l'objet, en particulier de la part du jésuite Guldin.

A peu près vers la même époque que Cavalieri, Gilles Personnier de Roberval (1602-1675) avait trouvé une méthode tout-à-fait analogue. Professeur de mathématiques au collège Saint-Gervais à partir de 1627, il obtint en 1634 la chaire

i. Cavalieri eut pour maître un disciple de Galilée, le bénédictin Castelli (1577-1044), qui professa au collège de la Sapience à Rome et qui, par son traité De la mesure des eaux courantes (1628), jeta les fondements de l'hydraulique scientifique.

fondée par Ramus au Collège de France et il la garda jusqu*à ce qu'il devint titulaire (1649) de la chaire ordinaire de mathématique que lui laissa Gassendi. Le succès de son enseignement et son habileté à résoudre les problèmes que, pour essayer leurs forces réciproques, les géomètres du temps avaient Thabitude de se proposer, lui assurèrent de bonne heure une grande réputation. Malheureusement pour lui, il rédigeait péniblement; d^autre part, pour s assurer de garder la chaire de Ramus, il préférait, en conservant secrètes ses méthodes les plus importantes, courir le risque d'être devancé dans leur publication. Par suite, il perdit, aux yeux de la postérité, le bénéfice de la plupart de ses découvertes, et lorsque ses papiers furent imprimés après sa mort (dans le volume VI des anciens Mémoires de V Académie des Sciences), ils n'avaient déjà plus qu'un intérêt historique. Pendant sa vie, il n'avait publié que quelques pages en français sur la mécanique* et son Aristarchus Samius (anonyme), essai sur le système du monde dans le sens copernicien. Eu tout cas, il adopta la terminologie de Gavalieri et enseigna sa méthode en France en en développant les applications. Pascal fut son élève dans cette branche de la science.

En Italie, Evangelista Torricelli (1608-1647), dans sa carrière malheureusement trop courte, se signala aussi brillamment comme mathématicien que comme physicien. Elève de Castelli, il débuta en 1641 par un Traité du mouvement^ écrit en italien, où il développa les principes de Galilée et qui lui valut de remplacer ce dernier comme mathématicien du grand-duc de Toscane. Ses Opéra geometrica, publiés en 1644, renferment, en dehors de l'exposition des lois sur l'écoulement des liquides, de nombreuses et intéressantes quadratures, qui dépassent de beaucoup le niveau des problèmes traités par Gavalieri. Mais il n'imita pas la discrétion de ce dernier; quoique informé de divers résultats obtenus par Roberval, et quoique n'ayant pas été aussi loin que lui, il publia le premier ses propres travaux sur les mêmes sujets et fit notamment connaître ainsi la quadrature

i. On lui doit d'avoir créé cet enseignement en France et d'avoir particulièrement mis en lumière les lois de la composition des forces, des vitesses et des mouvements.

de la cycloïde (courbe décrite par un point d'un cercle qui roule sur une droite). Cette publication amena par suite entre Roberval et lui un échange de lettres qui devint de plus en aigre S sans que cependant le savant français ait jamais formulé Taccusation de plagiat.

Elle fut lancée en 1658 par Pascal alors qu'ayant proposé, sur des solides dérivant de la cycloïde, des problèmes de quadrature d'une singulière difficulté, il en prit occasion pour raconter l'histoire des découvertes relatives à cette courbe. Ses assertions provoquèrent de vives protestations et des réfutations décisives, quoique ce qu'il ait dit sur le rôle d'un mathématicien français, Beaugrand, qui aurait communiqué en Italie, comme étant de lui, des travaux de Fermât et de Roberval, repose sur des faits constants.

Le concours ouvert par Pascal au sujet de la cycloïde est resté célèbre; il est à remarquer que Fermât, probablement prévenu sous main, s'abstint aussi bien que Roberval, quoiqu'au moins pour Fermât, il soit bien certain qu'il possédait les moyens de résoudre les problèmes proposés. Le prix offert ne fut donc pas décerné et les Lettres de Dettonvitle (1659), dans lesquelles Pascal développa ses solutions et traita nombre d'autres questions aussi élevées, marquèrent le point culminant atteint par les méthodes directes d'intégration ; c'est dans cet ouvrage que Leibniz, comme il l'a expressément déclaré, puisa les idées qui le conduisirent à son invention '.

A côté de ces géomètres, il convient de mentionner le jésuite belge Grégoire de Saint- Vincent (1584-1607), qui, dans une vaine recherche de la quadrature du cercle, fit nombre de tentatives fécondes à un autre point de vue et auquel on doit notamment d'avoir ramené aux logarithmes la quadrature de l'hyperbole.

Le problème des tangentes. — Pour trouver une méthode générale applicable au tracé des tangentes, les géo-

i, II convient de remarquer que la longue lettre latine de Roberval insérée dans les Mémoires de V Académie, et publiée après sa mort, est fictive, en ce sens que Torricelli mourut avant que Roberval Teût terminée.