I. Voir ci-«UssiiH. i. Vf, p. }o

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il ne parait pas encore plus favorisé que l'empire russe, où en 1724 une Académie des sciences est également fondée à Saint-Pétersbourg et dispute à Berlin les mathématiciens de renom.

L'école dont ils sortent surtout est celle de Haie'. On a déjà vu que les frères Jacques et Jean Bernoulli s'étaient rapidement appropriés la méthode leibnitzienne. Après la mort de l'aîné en 1705, le second le remplaça à la chaire de mathématiques de l'Université de Bàle; il vécut jusqu'en 1748, et pendant la première moitié du siècle fut, sur le continent, le savant le plus en renom. Son fils aîné, Nicolas II Bernoulli 1 (1G95-172G), celui qu'il affectionnait le plus, mourut malheu reusement à la fleur de l'Age, à Pétersbourg, où il avait été appelé pour y professer les mathématiques; mais le troisième, Jean 11 (1710-1790), succéda à son père à Baie en 1743, tandis que le second, Daniel (1700-1782), parvint à en balancer la gloire. Après avoir accompagné son aîné à Pétersbourg, il revint à Baie en 1732, y professa successivement l'anatomie, la botanique et la physique, rédigea un célèbre traité d'hydrodynamique, remporta dix prix à l'Académie des sciences de Paris et fit des mathématiques les applications les plus variées. Jean III (1744-1807), fils de Jean II, appelé à dix-neuf ans comme astronome à Berlin, y dirigea à partir de 1779 la classe de mathématiques de l'Académie. Enfin son frère Jacques II (1759-1789), après avoir suppléé dès 1777 son oncle Daniel, fut appelé à l'Académie de Pétersbourg et, comme Nicolas II, succomba dans cette ville, avant d'avoir pu remplir les espérances qu'il donnait.

Le génie mathématique le plus marquant du siècle fut le Bàlois Leonhard Euler (1707-1783). Elève de Jean I" Bernoulli, appelé en Russie sur la recommandation de son condisciple Daniel, il le remplaça en 1733. Quatorze ans après, Frédéric II

1. Quoique Bâle soil «le langui; allemande, 1rs savants qui on viennent, quand ils n'écrivent pas en latin, le font en français et très purement (Euler, par exemple). Ils ont donc con tribut* pour leur part à la vogue de notre langue au siècle dernier en Allemagne et en Russie.

2. Le nom de Nicolas lr' est donné au (ils d'un autre Nicolas, frère de Jacques et Jean Ie'. Nicolas I" (1687-I"::ïV»1 professa les mathématiques à Padoue (1116), puis la logique et le droit à Bàle (1"22). - Voir ci-dessus, t. VI. p. 410.

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le fit venir à Berlin, mais en 1766 il retourna en Kussie, où il travailla jusqu'à sa mort, quoique devenu à peu près aveugle.

Lagrange (1736-1813), au contraire, s'était formé à peu près seul à Turin. Dès l'âge de dix-sept ans, il y professait les mathématiques, formait une société (qui devint Académie royale). Puis il publiait dans les Miscefhmra taurinenaia, qu'elle édita, de nombreux mémoires, dont la haute valeur le classèrent bien vite au premier rang des géomètres. En 176G, Euler le désigna comme le plus capable de le remplacer à Berlin. Lagrange y passa vingt ans, mais, après la mort de Frédéric II, n'y trouvant plus la même faveur auprès de son successeur, il accepta les offres de Louis XVI. Il publia en 1788, à Paris, sa Mechanitfue analytit/ue, à laquelle il avait travaillé vingt-cinq ans.

Nous ne pouvons entrer ici dans le détail des progrès réalisés par ces géomètres. Il suffira de dire, en thèse générale, qu'ils poussèrent à bout les conséquences de l'invention de Leibnitz et montrèrent toutes les ressources du calcul analytique. Ine des preuves les plus singulières qu'ils avaient atteint le tuf, comme disait Lagrange, c'est que précisément à son arrivée en France celui-ci est pris de dégoût pour les mathématiques. Il veut s'occuper d'autre chose, faire de la chimie avec Lavoisier. La terrible secousse de la Hévolution, en l'appelant à déployer ses qualités professorales dans des conditions toutes nouvelles, devait réveiller son génie et le provoquer à de nouvelles œuvres, qui l'élevèrent définitivement au-dessus d'Euler.

Si les mathématiques sont désormais devenues trop abstraites, si elles ont atteint un niveau trop élevé pour que leur histoire précise ne doive pas être réservée à des ouvrages spéciaux, il importe au moins d'en présenter ici quelques traits extérieurs.

En outre des facilités qu'elles offrent pour la publication des mémoires des savants, les Académies, pendant celte période, excitent une singulière émulation en proposant des prix, et les résultats des concours qu'elles ouvrent, par le nombre et la valeur de ceux qui y prennent part, sont de véritables événements scientifiques. Or il est à remarquer qu'au lieu de se rapporter, comme le plus souvenl maintenant, à la théorie pure, les

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sujets proposés sont d'ordre pratique ou concernent au moins des sujets d'astronomie ou de physique. Il s'agit de la mâture des vaisseaux, de la forme des voiles, ou bien des marées ou de l'inclinaison des orbites planétaires; toiles sont les questions à l'occasion desquelles les Bernoulli, les Euler, les Lagrange font progresser le calcul infinitésimal.

Si merveilleux que soit l'instrument nouveau, quelque inespérés que soient les résultats qu'il permet d'obtenir, il est facile d'en abuser : on est conduit à prendre comme point de départ une hypothèse a priori sans trop s'inquiéter si elle est la seule possible et dans quelle mesure elle sera justifiée par l'expérience; on se laisse aller, d'autre part, à dédaigner la géométrie pure et les ressources qu'offre le genre de considérations qui lui sonfpropres. De là, parfois, de longs calculs qui peuvent être intéressants par eux-mêmes, parce qu'ils sont faits par un maître, mais qui ne conduisent nullement à une vérité nouvelle d'ordre physique, ou qui auraient pu être évités par une méthode plus concrète. C'est le double écueil dont les mathématiciens du xviuc siècle ont à se garder ; en revanche l'habitude de l'abstraction leur permet de conquérir à la science un non veau domaine, la théorie des nombres, dont Fermât avait jeté les fondements par des énoncés célèbres qui restaient à démontrer ou à vérifier \

Un autre danger consiste dans l'insuffisance de certains modes de démonstration, par l'emploi de séries indéfinies : les principes du calcul infinitésimal n'avaient pas été soumis encore à une critique rigoureuse, et la possibilité des erreurs auxquelles peuvent conduire les symboles analytiques, à moins de certaines précautions nécessaires, n'avait pas encore été reconnue.

Tels sont les défauts auxquels l'avenir avait à parer; mais un autre caractère distingue singulièrement les écrits d'Kuler de ceux des mathématiciens de nos jours.

La fécondité d'Euler a été tout à fait extraordinaire. Ses œuvres complètes rempliraient 1C000 pages in-4°. C'est que, dans

1. Voir ci-dessus, t. V, p. -4*»s. — Kuler reconnut l'inexactitude de Fun de ces énonces: il y en a un autre dont la généralité n'a pu être démontrée jusqu'à présent. i]uoiipiaucun cas d'exception unit été trouvé.

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ses Mémoires, il concentre lout d'abord ses efforts sur la solution d'un problème particulier, puis résout séparément, en variant les méthodes avec une merveilleuse dextérité, les questions qui se rattachent à la première. 11 se plaît ainsi au spécial et au détail, tandis qu'après Lagrange, et à son exemple, les mathématiciens ont plutôt visé la recherche de méthodes abstraites permettant de condenser sous des résultats généraux l'infinie variété des cas particuliers. Il est clair, qu'eu égard à la possibilité de l'enseignement et à la préparation de nouveaux progrès, les procédés d'Euler ne pouvaient être conservés.

La Mechanique analytique de Lagrange est une œuvre particulièrement typique comme construction complète d'une science physique en partant d'un principe unique abstrait (celui des vitesses virtuelles), et non seulement sans aucun autre appel à l'expérience, mais même sans aucune figure représentant à l'imagination le sens réel des formules qui se déroulent « comme les vers d'un poème scientifique » dans un merveilleux agencement. À coté de ce tour de force analytique, il faut aussi voir dans cette œuvre magistrale un des plus heureux effets d'une tendance générale qui s'accuse vers la lin du siècle. Après l'éparpillement des efforts dans toutes les directions, on tend à les concentrer pour une synthèse générale des résultats acquis. C'est ainsi que Lagrange ramène à un seul principe fondamental toute la mécanique et fait découler de ce principe tous les théorèmes trouvés avant lui par d'Alembert, Euler et autres qui avaient constitué la science sur les fondements jetés au siècle précédent par Galilée, Newton et Huygens.

L'école de Newton : Taylor, Maclaurin. — Pendant que les conséquences de l'invention de Leibnitzse développaient en Suisse et en Allemagne, l'Angleterre s'isolait du continent et les savants de ce pays poursuivaient la voie tracée par Newton. Ce dernier y avait formé une brillante école; après Roger Cotes (1082-1116), dont il disait : « Si Cotes avait vécu, nous saurions quelque chose », vinrent Brook Taylor (1680-1131) et l'Ecossais Maclaurin, dont les noms sont attachés à d'importantes formules pour le développement des fonctions en séries suivant les puis-

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sauces de la variable ou de son accroissement '. Mais il faut remarquer que la valeur théorique et pratique de ces formules n'a pas été mise en lumière avant Lagrange et que les inventeurs n'avaient pas considéré la question capitale de la convergence des développements. Taylor n'en est pas moins un des fondateurs du calcul des différences finies *, tandis que Maclaurin fut l'un des plus élégants géomètres que l'on ait connus. A coté d'eux on doit placer Abraham Moivre (1667-1754), protestant français, qui, à la révocation de l'édit de Nantes, alla vivre à Londres comme professeur de mathématiques. Analyste profond, il révolutionna la haute trigonométrie par la découverte du théorème connu sous son nom. Son ouvrage sur les probabilités, la Doctrine of ihe chances (1716), resta pour cette matière le traité le plus complet jusqu'à l'apparition de celui de Laplace.

Mais, en thèse générale, les savants anglais de cette période, s'en tenant aux notations imparfaites de Newton et négligeant les travaux des mathématiciens du continent, laissèrent subir à leur nation un retard qui fut très sensible à la fin du xvinc siècle et au commencement du xix°. S'ils cultivèrent davantage la géométrie pure, au contraire à peu près abandonnée sur le continent, il est précisément remarquable que, malgré la valeur des travaux de Robert Simson (1687-1768) cl surtout de Mathew Stewart (1717-1785), le plus puissant mathématicien anglais du siècle après Maclaurin, ils n'aboutirent pas à former une école dans ce sens et que la rénovation de la géométrie était réservée aux savants de France et d'Allemagne.

Les géomètres français : Clairaut, d'Alembert. Pendant la même période, la France se relevait brillamment de l'état d'infériorité relative où elle était tombée dans la seconde partie du règne de Louis XIV. Au reste, Paris n'avait jamais cessé d'être un centre pour les travailleurs, et l'Académie des sciences avait peu à peu gagné la prééminence sur la Société

\. La formule de Maclaurin, qui n'est qu'un cas particulier de celle de Taylor, devrait en tout cas porter le nom de James Stirling, qui la publia dès 1"30, douze ans avant le traité des Fluxions de Maclaurin. La Methodus de Taylor remonte d'ailleurs à 1715.

2. L'autre est le Français Nicole (l»»8:M7o8), qui développa les travaux de Taylor, nu reste passablement obscurs.

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royale de Londres. Notre pays, d'autre part, devint, grâce à Voltaire, et à la suite de la lutte qu'il entreprit contre le cartésianisme, l'inlennédiaire par lequel la doctrine de Newton sur le système du monde se répandit et se développa. Il s'ensuivit que les géomètres français, sans négliger les recherches de théorie pure, tournèrent plutôt leurs elîorls vers les applications du calcul leibnitzien à l'astronomie, et ils eurent la gloire d'élever l'édifice de la mécanique céleste, qu'au début du siècle suivant Laplace devait si brillamment couronner.

Deux questions capitales devaient être résolues, afin d'écarter définitivement toutes 1rs objections de fait qui pouvaient èlre soulevées contre la doctrine de la gravitation universelle, telle que Newton l avait exposée; ces questions étaient celle de la figure de la Terre, d'une part, et, de l'autre, celle de la théorie de la Lune (problème des trois corps).

D'après Newton, la Terre devait être renflée vers l'équateur, aplatie vers les pôles. Or les opérations géodésiques poursuivies en France, et les seules qui, par leur importance, dussent entrer en ligne de compte, semblaient indiquer tout le contraire. Jacques Cassini (1677-175G), le fils du grand Dominique, en résumant ces opérations en 1720, conclut dans le sens contraire à celui de Newton : ce qui amena d'interminables discussions sur le degré d'exactitude des opérations anciennes et de celles que l'on continuait. Finalement on reconnut que la différence des degrés en France n'était pas assez grande pour permettre une conclusion assurée et qu'il était essenliel de mesurer effectivement un degré voisin du pôle et un degré voisin de l'équateur. On décida en conséquence une double mission : en 173o, Godin, Bouguer et La Condaminc partirent pour le Pérou; en 173G, Maupertuis, Le Monnier, Camus et Clairaul s'embarquèrent pour la Laponie. C'est ainsi que l'aplatissement de la Terre aux pôles se trouva définitivement reconnu.

Mais il ne suffisait pas d'avoir fait cette constatation, il fallait encore déterminer dans quelle mesure les longueurs de degrés trouvées pouvaient être mises d'accord avec la théorie Clairaul

i. En fait, l'aplatissement trouve riait un peu trop fort, et il subsista sur la longueur du méridien une légère incertitude qui obligea, pour obtenir l'étalon

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(1713-1765), en prenant comme point de départ les recherches de Maclaurin sur l'attraction des ellipsoïdes homogènes, résolut ce difficile problème dans sa Théorie de la figure de la terre (1743), dont Laplace transforma plus lard les calculs, mais qu'il ne dépassa point.

Newton avait pleinement résolu le problème du mouvement de deux astres supposés isolés et gravitant l'un autour de l'autre, et l'accord de sa théorie avec la circulation des planètes autour du Soleil ne laissait pas à désirer. Mais, si l'on suppose trois astres, comme le Soleil, la Terre et la Lune, le problème est infiniment plus compliqué, et l'on ne peut en obtenir que des solutions de plus en plus approximatives. Celle de Newton laissait notablement à désirer : il n'avait pas pu, en particulier, rendre compte du mouvement de la ligne des absides de l'orbite lunaire. Clairaut, après avoir, en 1741, présenté à l'Académie, le même jour que d'Alembert, une solution du problème des trois corps, parvint en 1752 à donner l'explication désirée.

Un autre travail de Clairaut, le calcul de la date du retour de la comète de Halley, au 13 avril 1759, calcul vérifié, à un mois près, par l'événement, rendit son nom singulièrement populaire et fit, pour ainsi dire, comprendre à tous quello certitude le système de Newton pouvait permettre d'atteindre pour des phénomènes si longtemps considérés comme en dehors de toute prévision possible.

Enfant prodige, qui lisait à dix ans Y Analyse des infiniment petits de l'IIospital, qui à seize ans avait composé sur les courbes à double courbure des Recherches d'une singulière élégance, plus tard homme du monde et de plaisir autant que travailleur acharné, Clairaut devait mourir épuisé dans toute la force de l'âge. Son rival d'Alembert (1717-1783), grâce à sa vie plus longue et à la part qu'il prit à l'Encyclopédie, devait l'éclipser aux yeux de la postérité.

On sait que, fils naturel de Mm0 de Tencin et de Destouches-Canon, abandonné à sa naissance ', d'Alembert fut recueilli

définitif <lu mètre, à reprendre en France, sous lu dévolution, les grandes mesures géodésiques.

1. Peu de jours après, une pension de 1200 livres fut constituée sur son nom et servit à son éducation.