Ibid., p

Histoire oéMÉKALE. XL oU

pures, constitua une Nouvelle géoméirie de respace, sur la considération de la ligne droite comme élément de respace (litre à*son ouvrage posthume publié en 1868), ou, en d'autres termes. sur les concepts, introduits par lui, de complexes et de corgruences de droite.

Clebsch (1833-1812), né à Kœnigsberg, professeur au Polytechnicum de Zurich en 1858, à Giessen en 1863, à Gœttingnie en 1868, et auteur de Vorlesungen ueber Géométrie, qui sonl devenues classiques, s'est particulièrement signalé par Temploi des fonctions abéliennes dans la théorie générale des courbes et des surfaces, ainsi que par ses recherches relatives à la représentation d'une surface sur une autre. [1 a également introduit un nouveau principe fondamentaU celui de la considération du genre, dans la classification des courbes algébriques.

Algèbre et analyse. — Le premier ouvrage où apparaît rinfluence des idées de Grassmann * est le livre Sur les nombres complexes de Hermann Hankel (1839-1873), paru en 1867, mais qui, malgré sa valeur, trouva d'abord beaucoup moins d'accueil que le remarquable écrit posthume (1874) du même auteur sur rhisloire de la mathématique dans l'antiquité et au moyen âge.

Dos 1864, un mathématicien américain, Benjamin Peirce (1809-1880), avait commencé l'exposé de ses conceptions sur V algèbre linéaire associative (comprenant jusqu'à 162 algèbres différentes). En 1858, Cayley avait généralisé la conception des matrices dues à Hamilton et que Sylvester et d'autres devaient plus amplement développer.

Arthur Cayley, né à Richmond en 1821, James Joseph Sylvester, né à Londres en 1814 (mais qui a longtemps professé à Baltimore), sont les plus illustres mathématiciens anglais de notre siècle, et ont marqué leur trace dans toutes les branches de la science. On doit rappeler leurs brillantes découvertes (1849-1851) sur les lignes droites des surfaces du troisième degré, ainsi que l'extension faite par Cayley des équations de Plûcker à la recherche, dans les courbes algébriques, des singu-

!. Voir ci-dessus, t. X, p. 740.

larités complexes (qu'il a montré équivaloir chacune à un certain nombre des quatre singularités simples). Mais Cayley et Sylvester sont avant tout des algébristes et leur principal titre de gloire est d'avoir constitué, comme une nouvelle branche de la science, la théorie des invariants '. Cayley doit en être considéré comme le véritable créateur, par ses premiers mémoires publiés dans le Cambridge Mathemaiical Journal^ à partir de 1845. Toutefois, la question était déjà en germe dans les travaux de Lagrange et de Gauss, comme aussi dans les recherches plus récentes de George Boole (1815-1864), un des auteurs les plus originaux, en particulier par ses étudea sur les notations symboliques et notamment par l'application qu'il en fit à la logique. Sylvester, en revanche, a peut-être la gloire d'avoir davantage systématisé la nouvelle théorie, et c'est à lui que l'on doit le plus grand nombre de termes techniques, y compris celui d'invariant lui-même.

Dans la théorie des équations, signalons la solution transcendante de l'équation du cinquième degré, donnée par Hermile en 1858, au moyen des fonctions elliptiques.

Les recherches relatives à la convergence des séries avaient pris une importance toute particulière depuis que Cauchy et Abel avaient fait ressortir le défaut de rigueur général, au siècle précédent, dans les calculs et démonstrations où Ton employait des séries. Joseph Bertrand découvrit les critères logarithmiques de convergence, longtemps regardés comme toujours décisifs, mais qui, dans certains cas, échouant sur des séries réellement convergentes, doivent être regardés comme spéciaux. Le premier critère général, fondé sur le rapport de deux termes successifs, fut établi par Kummer (1810-1893) dans un énoncé dont la seconde partie a depuis été reconnue superflue.

On doit à Dirichlet la première démonstration rigoureuse concernant la représentation d'une fonction continue par une série trîgonométrique de Fourier; il croyait toutefois à la pos-

1. Celle des déterminanls, qui remonte à Cauchy (t. X, p. 743), comiqençait déjà à être introduite dans l'enseignemenl secondaire. C'est k cette période en efTet que remontent les ouvrages classiques de Spottiswoode (1851),Brio8chi (185i), Ballzer (1857).

sibilité de représenter ainsi toute fonction continue; cette impossibilité a été manifestée par Riemann, dans un mémoire fondamental, consacré à Tétude directe des fonctions représentées par une série' trigonométrique; c*est dans le même mémoire que Riemann a donné les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction admette une intégrale, et rais en lumière qu'une fonction continue peut ne pas toujours avoir un coefficient différentiel.

L'intégration des équations différentielles linéaires entra dans une nouvelle voie, grâce aux mémoires publiés en 1865 et 1868 par Lazarus Fuchs (né en 1825).

La théorie des fonctions elliptiques reçut d'importants perfectionnements, parmi lesquels on doit signaler la considération des fonctions modulaires, introduite par Hermite en 1858. Celle des fonctions abéliennes et en particulier leurs liaisons avec les fonctions théla généralisées de Jacobi furent développées par Rosenhain (1816-1887), Borchardt (1817-1880) et Riemann. Ce dernier chercha encore à fonder sur un nouveau principe (auquel il donna le nom de Dirichlet) la théorie générale des fonctions d'une variable complexe, et, pour discuter les diverses formes de discontinuité, inventa les célèbres surfaces dites de Riemann, conçues comme formées de plans distincts, quoique coïncidants.

Pour la théorie des nombres, nous nous contenterons de signaler les travaux de Stephen Smith ' (1826-1883), de Kummer, qui introduisit le concept des nombi*es idéauXy et de Dedekind (né en 1831), qui parvint à les éviter.

Mécanique et astronomie.. — En mécanique, la construction de la science rationelle étant achevée, l'activité se porte sur les applications. Lamé (1795-1870] donna en 1852 une Théorie mathématique de l'élasticité où il déploya autant d'habileté comme analyste que dans ses travaux antérieurs sur la chaleur. Barré de Saint-Venant consacra sa vie à établir l'accord

i. La théorie des nombres attire si peu les mathématiciens en générai que nous mentionnerons ici une singulière exception à une remarque que nous avons faite plus haut. En i882, TÂcadémie des sciences proposa un prix pour une question (la représentation d'un nombre comme somme de cinq carrés) résolue dans un mémoire imprimé par Smith, en 1868, dans les Proceedings of tke Royal Society

entre la théorie et la pratique, et découvrit les véritables lois

de la flexion et de la torsion.

La théorie de la lune fut singulièrement approfondie. En

1853, John Gouch Adams établit que Taccélération du moyen

mouvement de cet astre, d*après Texplication donnée par

Laplace, n'était que la moitié de Taccélération observée.

Delaunay attribua la différence au frottement des marées et

essaya une refonte du calcul des équations lunaires.

L'impossibilité de Texistence des anneaux de Saturne aulre-

ment que comme un ensemble de parties non liées entre elles

fut établie par Peirce et Maxwell.

Quant à l'astronomie d'observation, la période de 1847 i 1870

est surtout remarquable par la découverte d'une multiplicité de petites planètes entre Mars et Jupiter, venant s'adjoindre aux quatre trouvées de 1801 à 1807. La cinquième fut observée par flencke le 8 décembre 1845; l'année 1847 en fournit trois

* autres. En 1870 on était arrivé au numéro 112, soit entre 4 et 5 par an comme moyenne.

Mais l'histoire de la physique et de la chimie réclame plus impérieusement notre attention.

Les sciences physiques et chimiques. — Nous avons vu, dans le tome précédent, quels rapides progrès avait accomplis la physique pendant la première moitié de notre siècle. Ces progrès ont abouti à une synthèse défînitive; l'antique, mais vague croyance des philosophes mécanistes^ que' tous les phénomènes de la nature né sont que des mouvements, peut désormais se préciser sous une forme mathématique (la conservation de la force, comme disait Helmholtz, en donnant à ce mot le même sens que Descartes; la conservation de l'énergie, comme on dit aujourd'hui), et ce résultat est indépendant de toute hypothèse sur les figures ou sur les propriétés des éléments de la matière. Du coup s'évanouissent tous les fluides spéciaux imaginés pour faciliter l'explication des phénomènes caloriques, électriques ou magnétiques; en même temps apparaît la possisibilité de transformer ces phénomènes les uns dans les autres ou encore de les produire mécaniquement, toujours sous de rigoureuses conditions d'équivalence.

Cette synthèse est la grande œuvre de notre siècle; mais à partir du moment où Tidée en surgit, tous les efforts semblent se diriger de ce côté. 11 y a, par suite» comme un ralentissement des recherches particulières. Il faut d'ailleurs assurer le terrain conquis, soit en combinant de nouvelles expériences pour mettre en lumière les nouvelles théories, soit en procédant à des mesures plus précises pour leur donner une plus grande rigueur. Les applications se multiplient; mais les grandes découvertes d'avenir deviennent plus rares; on ne peut guère citer que celle de l'analyse spectrale.

Enfin, ayant ramené ses problèmes à ceux de la mécanique, la physique tend à prendre de plus en plus un caractère mathématique ; mais, pour cela, elle est conduite à formuler de nouvelles hypothèses sur la constitution de la matière et sur la nature des forces qui agissent sur ses éléments.

Tels sont les traits principaux de l'histoire de la physique pendant cette période; la chimie, au contraire, poursuit de plus en plus brillamment la voie qu'elle s'est ouverte, et les découvertes qui lui sont dues peuvent rivaliser, comme importance, avec celles de la génération précédente. Mais les idées tliécriques qui président à ces découvertes prennent un caractère de plus en plus précis, et, pour cette science, l'heure d*une synthèse positive s'annonce à son tour.

Le principe de la conservation de l'énergie : Helmholtz, Clausius. — La mécanique ralionelle avait, dès longtemps, établi que, dans les systèmes matériels idéaux qu'elle considère, le travail des forces (extérieures ou intérieures) est égal à la variation de la demi-force vive : pratiquement, on admettait qu'aucune action mécanique extérieure ne pouvait s'exercer sans une perte irrémédiable de travail, qu'on attribuait aux résistances dites passives (forces intérieures) et qu'on supposait correspondre à des déformations plus ou moins sensibles, mais en tout cas définitives.

La découverte de l'équivalent mécanique de la chaleur montra que le travail supposé ainsi perdu correspondait au contraire, en très grande partie, à une augmentation de la demi-force vive (énergie), afférente à des éléments matériels

trop pélils pour que leur nroiivement pût être direclement mesuré, tandis que cette augmentation devenait perceptible à nos sens sous une autre forme, celle de la chaleur. Uénei^ie correspondante n'était donc nullement perdue, puisque la chaleur pouvait, à son tour, se transformer en travail mécanique.

Bien plus, les déformations sous Tinfluence des forces intérieures ne devaient pas davantage être considérées comme une énergie perdue. Si, par exemple, on élève un corps pesant d*une position de repos à une autre, un travail est dépensé, et la force vive du corps n*a pas varié. Mais il est susceptible de produire, en tombant de la hauteur à laquelle il a été élevé, un travail égal à celui qui a été dépensé.

Considérons, dans cet ordre d'idées, un ensemble de corps naturels tels que Ton puisse négliger Faction des forces extérieures. On pourra énoncer le théorème de la mécanique rationelle en disant que Ténergie de cet ensemble est constante, à la condition de la décomposer en deux : une énergie actuelle (demi-force vive correspondant tant aux mouvements locaux des parties ou de Tensemble, qu'aux mouvements sonores, thermiques, lumineux, électriques, magnétiques, etc.); et une énei^ie virtuelle correspondant à la position de chacun des éléments du corps.

Si les forces intérieures ou extérieures (et celles que l'on considère en physique sont dans ce cas) sont d'ailleurs telles que l'énergie virtuelle dépende exclusivement de la position des cléments, on peut enfin éliminer la considération de ces forces, et dire que l'énergie d'un système de corps naturels ne peut varier que par emprunt ou cession aux systèmes voisins.

Tel est le sens rigoureux qu'il convient d'attacher au célèbre principe de la conservation de l'énei^ie. Cependant il importe de signaler une tendance marquée à lui donner une signification plus grave encore, tendance qui s'accusa en particulier à cette époque dans le livre de VUnilà délie forze fisiche du P. Secchi, mais qui n'a point abouti à des résultats décisifs et qui désormais semble rencontrer de moins en moins de partisans.

L'adoption d'un principe général d'où la notion de force est

exclue conduisait i écarter cette notion ou du moins à ne la considérer que comme dérivée. La force, comme phénomène, ne serait que TefTet, non la cause du mouvement. Dans cet ordre d'idées, il devient indispensable de trouver une explication mécanique de toutes les forces naturelles s*exerça/i/ à dislance, et tout d*abord de la gravitation universelle; pour cela il faut imaginer des milieux doués de propriétés convenables pour déterminer les lois de la transformation du mouvement; Ténergie virtuelle ne doit plus alors être disting^uée en principe de Ténergie actuelle; elle serait en effet communiquée réellement au milieu, puisqu*on ne reconnaîtrait plus, en fait, que des forces en contact, donnant lieu à des travaux qui s'annulent réciproquement.

Tel est le cadre mathématique que les lois de la mécanique imposaient aux physiciens, lorsque vers 1849 ^ HelmholU {18H-1894) commença à réunir en corps de doctrine et à propager par ses écrits les idées élaborées dans T&ge précédent. Cet illustre savant, né à Polsdam, fut d'abord médecin militaire jusquen 1848 : depuis il enseigna la physiologie successivement à Kœnigsberg, à Bonn et à Heidelberg, avant de venir occuper la chaire de physique à l'Université de Berlin (1871). Puissant mathématicien, expérimentateur génial, penseur aussi profond et vulgarisateur aussi ingénieux que Galilée, il a laissé sa trace dans les domaines les plus divers de la science. Mais surtout on ne peut oublier, en acoustique, sa lumineuse explication du timbre par la superposition et Tintensilé relative du son fondamental ot de ses harmoniques, explication donnée dans sa Lehre von den Tonemp/indungen (1862).

Quant à la théorie mécanique de la chaleur proprement dite, les fondements seuls en avaient été jetés par Joule et Mayer. La construction fut élevée par un autre savant allemand, Clausius (1822-1868), dans des mémoires que publièrent, de 1848 à 1862, les Annales de Poggendorff, et qui formèrent en 1864 un ouvrage devenu classique. Clausius retrouva les lois oubliées ou inédites de Sadi Carnot; il y ajouta une doctrine