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ce qui montre bien que le point 4, est fixe; comme la droite ITA passe toujours par le point fixe & il s’agit d'une « congruence ponctuelle » formée par l’ensemble des droites qui passent par un point. Si la variété considérée est un complexe, on doit distinguer deux cas. En général le « plan w » ne sera pas tangent à ?:; on pourra l’amener en coïncidence

avec le plan d’équation :

W2 ot Wy, = O.

Si le « plan & » est tangent à + on pourra l’amener en coïncidence avec le plan :

uw — O

Dans ce dernier cas, après la particularisation fondamentale on à donc :

w, —= 0 c'est-à-dire que da, est situé dans le plan

CTATAE par suite le point à, décrit une courbe ou une surface. Le plan

[tiaias] qui ne cesse d’être tangent en a à cette courbe ou à cette surface, contient la droite

[a] ; £ la génératrice r du complexe reste donc tangente à une surface ou ne cesse de rencontrer une courbe. Il s’agit alors d’un complexe spécial. Réciproque-

ment si une droite reste tangente à une surface ou ne cesse de rencontrer une

courbe on peut aisément choisir un repère tel que l’on ait “4 w,=L0.

Etudions les foyers et les plans focaux dans les deux cas relatifs au complexe.

Dans le cas général on a après la particularisation fondamentale Wo + W, —= O.

On pourra poser pour un déplacement d, à un paramètre W, = pu, et DE = — LUE

Le point

(Ha Rr 2)

SARL FEU

qui a une position quelconque sur r est donc un foyer auquel correspond le plan focal

[as — pas].

Remarquons que ce plan focal passe par le point

(as — Ha) situé sur la droite

[asai].

Il y à donc une correspondance homographique simple entre les foyers et les plans focaux correspondants: Dans le cas particulier on a après la particularisation fondamentale W, — O.

Les déplacements d, satisfont donc à &i) = 0 ou à DOS

les déplacements de première espèce admettent tous pour foyer le point a, tandis que les déplacements de deuxième espèce admettent tous pour plan focal le plan

[Giaas).

Remarquons d’ailleurs que le complexe a pour image un plan tangent à o el par suite les déplacements d, ont pour images les points situés sur les deux génératrices de + qui sont dans le plan tangent ; à chacune de ces deux génératrices correspond une espèce de déplacements d,.

Les repères que nous emploierons dorénavant auront toujours subi la particularisation fondamentale. Nous supposerons donc que l'on a :

pour les surfaces développables

s Woo = 3 D, = Wy — O

pour les surfaces non développables (symbole D), W3 — Wy — O pour les congruences planes, Wy = Wy = O pour les congruences ponctuelles,

{D ONU)

pour les congruences à deux foyers confondus (symbole U}

Uo = W, = 0