PRO TO ONE
pour les congruences à deux foyers distincts (symbole V},
pour les complexes spéciaux et
W, +0, —10 pour les complexes non spéciaux. Nous voyons que la particularisation fondamentale oblige à distinguer huit catégories de variétés.
Après la particularisation fondamentale le repère attaché à une droite r déterminée dépend encore suivant la catégorie de la variété de 8, 9, 10 ou 11 paramètres arbitraires (9 paramètres par exemple pour les surfaces non développables, pour les congruences à deux foyers confondus et pour les complexes non
spéciaux).
Invariants fondamentaux d'une variélé. — Après la particularisation fondamentale les 16 paramètres dont dépend dans l’espace un repère quelconque sont amenés à satisfaire à un système de Pfaff (£:\. Par exemple, dans le cas d’un repère associé à une conférence à deux foyers confondus on aura les deux équations de Pfafr :
w, — O. (Eee OHE=RO
Pour poursuivre la détermination intrinsèque du repère on commence par prolonger le système (£:) en satisfaisant de la manière la plus générale possible aux équations quadratiques extérieures entraînées par les équations (Si). On obtient ainsi de nouvelles équations de Pfaif formées avec ies expressions w, affectées de certains coefficients «. Quand on modifie le repère attaché à une génératrice déterminée r, les coefficients x subissent un groupe de transformations. On trouve d'ailleurs aisément les transformations infinitésimales du groupe. On profite du groupe pour simplifier les coefficients + qui doivent être amenés à être nuls ou égaux à des constantes (le plus souvent ces constantes seront +71 et —-1) ou à des invariants.
On adjoint alors les nouvelles équations de Pfaff simplifiées aux équations (21) de manière à former un nouveau système (s,).
On opère ensuite avec (5,) comme on a opéré avec (5) et ainsi de suite Jusqu'à ce que le déplacement à permis au repère laisse fixe tous les points
de l’espace, parce qu'on a annulé toutes les expressions PARA et ))
etégalé les quatre expressions e;..
À moins que la variété étudiée n’admette un groupe projectif de déplacements on peut déterminer le repère d’une manière intrinsèque «en employant quelques «particularisations spéciales » successives. On adjoint alors aux équations. de Pfaff imposées par les différentes particularisations, l'équation
Wyy + War + Was + Wy, = O; cette équation est la conséquence de la restriction [dust] = 1 que l’on s'impose de manière à annuler les e;; puisque l’on a ainsi Cyr + En + Cas + Eu = O.
On peut, dans ces conditions, exprimer toutes les expressions w;; linéairement au moyen des 7 expressions fondamentales que nous désignerons par CEE On.
On peut ensuite transformer les valeurs des différentielles da, ce qui donne : (1) da; = koi + + À.
Certains coefficients x sont nuls. Les autres sont d’après la manière même dont
ils ont été obtenus des invariants puisque l’on à DAENO ils ont des valeurs numériques déterminées pour une génératrice r déterminée ; ces invariants s'appellent «€ invariants fondamentaux » de la variété; ce sont des
fonctions des paramètres fondamentaux
Pi; PP; Pn que l'on a adoptés.
Les équations (1) entraînent [dkw) +. +[dhuw,] = 0.
On peut donc poser pour chacun des invariants di = Lady 2 Haw.
Les coeflicients & sont de nouveaux invariants que l’on appelle invariants dérivés
du premier ordre.
