CHAPITRE Il

Invariants fondamentaux d’une Variété.

Expressions fondamentales de Pfaff pour le repère (a) associé à une droite mobile qui décrit une variété. |

Pour étudier une variété V de l’espace réglé nous emploierons comme repère fixe un repère quelconque CiCaC3Ca.

On se ramène immédiatement au cas d’un repère fixe simple : il suffit d’entraîner l’espace dans le déplacement projectif qui amène le repère (c) en coïncidence avec le repère simple (b) ; les coordonnées anciennes (dans le repère cic:0;c4) deviennent alors égales aux coordonnées nouvelles c’est-à-dire aux coordonnées homogènes cartésiennes.

Nous associerons à chaque droite r de la variété un repère

UE

tel que les points a et az

soient situés sur la droite r considérée. Nous pourrons donc écrire : r = |[a@|.

Si la variété considérée est à n dimensions et si l’on désigne par

Pi Dire Pa

Ute es

les paramètres de position de la droite r mobile dans la variété, la droite r sera immobile lorsque dp:, dp:... dpa

seront nuls. Le repère le plus général que l’on peut associer à la droite r» supposée fixe dépend de 12 paramètres ui, Us.

Pour déterminer complètement les repères associés aux différentes droites r, il

faudra donc fournir tous les paramètres u, en fonction des « paramètres fonda-

MENTAUX) Di ND Une Si nous associons à la droite variable r un repère arbitraire le déplacement

infinitésimal de ce repère sera caractérisé par les équations : da, — Vi Ste 0) lo ee 0 ;3(3 + OBTTPE

Les seize expressions de Pfaff

renferment les variables p et les variables u. Il est facile de voir que les quatre

expressions

Ua, O4, Wo3, Vos

ne peuvent renfermer que les différentielles dp:, dp:,... dpy.

En effet si on considère un déplacement infinitésimal qui laisse nulles les différentielles dp, la droite r restera fixe et par suite les points da et da:

seront alors situés sur la droite

[ads].

Les expressions

QE ia, Woz, Wos

ne sont donc pas indépendantes à moins que l’on n'ait

ce qui n'arrive que dans le cas où la variété étudiée se confond avec l'espace.

On peut choisir n des expressions

Wiss U14, ss; Doi et exprimer les

autres expressions linéairement au moyen de celles choisies.

Nous écrirons pour abréger

au lieu de

43, Us, Op4, W4

et nous appellerons « expressions fondamentales » les n expressions w; au moyen

desquelles nous exprimerons linéairement les expressions w; non nulles.

Généralités sur la délermination intrinsèque du repère (a).

Quand le repère (a) est choisi complètement, ce repère ne dépend plusque des paramètres fondamentaux p. Par suite toutes les seize expressions w;; deviennent des expressions de Pfaff à n variables p,, DE | Pr. Elles peuvent donc s'exprimer linéairement au moyen de n d’entre elles ; nous les exprimerons au moyen des n expressions fondamentales.

On peut réaliser un choix intrinsèque du repère (a) en opérant par étapes successives. Chaque étape consiste à imposer aux expressions wi; de nouvelles équations linéaires et homogènes. Après une étape le repère dépend encore des paramètres p et de certains paramètres w. Nous appellerons alors déplacement d un déplacement infinitésimal quelconque du repère, pourvu qu'il soit compatible avec toutes les restrictions déjà imposées.

Nous appellerons déplacement à un déplacement d quelconque pourvu qu'il laisse fixe la droite r. On obtient donc les valeurs des 4 quantités à; en annulant Dire dp, dans les valeurs des quantités da..

Pour éviter les confusions nous désignerons par e;; ce que devient l’expression v;; dans un déplacement 5.

Avec ces notations, puisque les déplacements d et à correspondent à deux

modes différents de différentiation on pourra écrire : Hide, 7 00.

et

[uw | = 04.03 — Ca .Vp « k r pe , e Je LRO , 0 LC + d'après les définitions d'un covariant bilinéaire et d'un produit (extérieur les

Re

indices « et 8 remplacent deux chiffres quelconques compris entre o et 5).

Le choix des points a& et a, sur la droite r impose ensuite :

C3 —= Cig —= 93 —= Csa — O puisque les points | a; et ta sont situés sur

Tac].

Quand le choix du repère sera terminé les seize expressions e,; seront nulles. On considérera donc le choix du repère comme terminé quand, après une étape, toutes les expressions e dont les 2 indices sont différents sont nulles tandis que les quatre autres expressions e sont égales entre elles ; il suffira en effet de s’imposer la restriction

[uaasu]| = 1 pour avoir Win + Woo + Was + Wy4 = O

dans un déplacement d et par suite

En ex + 63 + Eu = O

dans un déplacement 5. Les quatre expressions égales e;; seront alors annulées.

Pour trouver un choix intrinsèque du repère nous utiliserons les covariants bilinéaires des expressions w;. Ces covariants satisfont à des équations qui nous seront très utiles; on déduit ces équations de celles obtenues en prenant les covariants bilinéaires des deux membres de chacune des équations

dû = wat + %202 + ds + Dj.

On obtient finalement les seize relations :

w; = [os] == [ou | he V3 | CPOME

Généralités sur la particularisalion fondamentale du repère. Foyers et plans focaua:.

La particularisation fondamentale du repère consistera à simplifier autant

qu'il sera possible les coefficients des 4 — n relations linéaires et homogènes qui existent entre les expressions w;.

La seule restriction imposée à un déplacement à est de laisser fixe la droite r. eu : : À Il est facile d’avoir les effets d’un déplacement à sur une expression v;.

Par exemple l'équation

CERN Loi( os — 05)} + [uw] — [ou]

peut s’écrire, puisque les expressions e, et les différentielles de; sont nulles :

IN Lys — wi(e — 33) + Wo6js — Wie.

Les valeurs des quatre quantités 8» montrent que les quatre expressions w considérées pour un instant comme les coordonnées homogènes d’un point dans un espace à trois dimensions subissent un déplacement à 7 paramètres; c'est le

déplacement de la géométrie non euclidienne pour laquelle la quadrique absolue a pour équation ;

o = 2(mçw3 — W}0,) = O0, car on a :

Do — (eu + 32 — 53 — C4) et par suite l’équation — o est invariante.

D'ailleurs cette équation

a une signification géométrique simple : un déplacement d qui satisfait à la condition

CEE 0) est tel que les deux droites infiniment voisines 1 et PSE AVE se rencontrent. En effet on a eg = — dridr = rld?r;

par suite la forme quadratique + est égale au double de la partie principale du

moment relatif infiniment petit

r|(r + Ar)

DR pr Ca

Désormais nous appellerons « déplacement d, » tout déplacement d qui satisfait à

la condition

Nous allons étudier les déplacements d.

Considérons d’abord le cas pour lequel n = 1; la variété est alors une surface réglée. On peut poser | w,— h;dp, ; si (hihz — hohs) n’est pas nul le déplacement dn'’est pas un déplacement d,. Etudions les surfaces pour lesquelles on a identiquement hihs — huh, = 0

On a alors, quel que soit le coefficient K :

[4 de 0,4, +wa, d(a, + K&)] = 0 ce qui montre que le point

: d(a += Ka) est situé dans le plan [di Ge hias + ha] ;

ce plan est donc tangent à la surface au point (ha, + ha).

Il en résulte que le plan tangent à la surface est le même tout le long de la droite r ; les surfaces considérées sont donc développables. En posant

Wy = LU on voit que le point (Ha — 2) est situé sur l’arête de rebroussement car

d(ba — az) = (...)ai + (..)@

et cette équation montre que la droite [da |

est tangente à la courbe décrite par le point

(ua, — @3)

Considérons maintenant le cas d’une variété pour laquelle n est plus grand que 1. On pourra imaginer des déplacements d, à un paramètre pour lesquels la droite r» se déplace dans la variété. La portion de surface développable ainsi engendrée s'appelle « plan focal »; le point de la droite initiale r qui est situé sur l’arête de rebroussement s'appelle « foyer ». On peut dire que dans un déplacement do la droite mobile reste sensiblement dans un plan focal tandis qu’elle rencontre la droite r initiale en un point infiniment voisin d'un foyer. D'après ce qui précède le plan focal et le foyer sont représentés par les symboles

[dia (oias + wia,)] et

Revenons à l'étude de la particularisation fondamentale.

À toute relation linéaire et homogène entre les expressions vw, correspond un plan de l’espace E à 3 dimensions dont les points (w) » ont pour coordonnées homogènes

üi, U)), 3 et w,,.

Si on considère le morceau d'une variété qui est constitué par les droites qui sont situées au voisinage d'une position r de la droite génératrice on pourra faire correspondre à ce morceau une image dans l’espace E : on obtiendra un «plan w » dans le cas d’un complexe, une « droite w » dans le cas d’une congruence et « un point w » dans le cas d’une surface réglée.

La particularisation fondamentale consiste donc à profiter des déplacements non euclidiens de l’espace E pour simplifier les équations d’un plan, d'une

droite ou d’un point. Nous désignerons par ? la quadrique absolue.

Pout tout déplacement non euclidien de l’espace E les points situés sur la

quadrique absolue y restent: ces points sont d'ailleurs les images de déplace-

ÉVPODIE

ments d, ; cela explique le rôle important que vont jouer les déplacements d,

dans la particularisation fondamentale.

Classificalion fondamentale des variélés en huil calégories. Particularisation fondamentale du repère dans les diflérenis cas.

S'il s’agit d'une surface réglée on doit distinguer deux cas. En général le « point w » n’est pas situé sur la quadrique absolue + et on peut alors l’amener en

coïncidence avec le point de coordonnées

uy, W3 —=, O0, Wa — Wy, 4 = O,

il s'agit d’une surface non développable, caractérisée par l'absence de foyer sur la droite n. Si le « point w » est situé sur ?, on peut l’amener en coïncidence avec

le point de coordonnées Cr WU) — O, O3 = O, WU, —= 0;

il s’agit d'une surface développable caractérisée par la présence d’un foyer sur la droite r. |

S'il s’agit d’une congruence on doit distinguer quatre cas. En général la « droite w » a deux points distincts communs avec la quadrique + et on peut alors l’amener en coïncidence avec la droite d'équations :

wo = O, wW, — O0;

il s’agit d’une congruence qui admet deux foyers distincts sur la droite r. Si la «droite ® » a deux points confondus communs avec la quadrique +, on peut l’amener en coïncidence avec la droite tangente à + dont les équations sont :

MA RO? nr il s’agit d’une congruence qui admet deux foyers confondus sur la droite n.

Si la « droite w » coïncide avec une génératrice de + appartenant à la même famille que-la génératrice G, d'équations :

W3 —= O, V4 — O on peut l’amener en coïncidence avec G, ; il s’agit d'une congruence qui admet

une infinité de foyers mais dont les plans focaux correspondants sont confondus : après la particularisation fondamentale on a en effet

DOME — 70 et il en résulte que da, et da, sont toujours situés dans le plan

[aaas] ;

ROME bien plus le plan [didias| est fixe car les équations

W3 — O et W, = 0 entraînent

[uw] = O el [o,®,, | A0

ce qui exige que w,, soit nul ; on a donc

diaast:] = (oi, + 09 + W33)| d@Q; |

ce qui montre bien que le plan

; [a,æa;] est fixe ; comme la droite

[aa] reste situé dans le plan fixe

[aa,as|

il s’agit d’une « congruence plane » formée par l’ensemble des droites d’un plan. Enfin si la « droite w » coïncide avec une génératrice appartenant à la même famille que la génératrice G, d'équations W, = O et DA RO on peut l’amener en coïncidenceavec G ; il s’agit d’une congruence qui n’admet qu’un foyer auquel correspondent une infinité de plans focaux ; après la particu-

larisation fondamentale on a en effet Ep 0) et W, — O et il en résulte que da. est toujours situé sur la droite [ai@|

ce qui montre que a, est foyer pour tous les déplacements ; d’ailleurs da est situé

dans un plan quelconque ; bien plus le point a est fixe car les équations M, = 0 el W, = O entrainent [sw] = 0 et [www] = 0 ce qui exige que w, soit nul, on a donc

da = it