CURE
et à la droite correspondante R le repère mobile AAA 344.
Quand r se déplace la droite R correspondante reste en coïncidence avec Supposons pour simplifier que pour les différentes positions de r les points A1, As, A3, A:
sont choisis en coïncidence respective avec les points NEA EE Enfin à chaque droite R de la variété fixe V nous associerons le repère AsAoA:A, qui s'obtient en imprimant à la variété V dans laquelle est fixée le repère A4°A 344
un déplacement projectif inverse de celui qui amènerait cette variété mobile de
la position V à la position de contact V.
Attribuons à deux droites correspondantes les mêmes valeurs numériques des paramètres fondamentaux, ce qui revient à supposer que ces paramètres sont
choisis de manière que la correspondance de droites soit réalisée par les équa-
tions
Pise Dir Pare Déc
La variété V est telle que pour l’une quelconque de ses positions les com-
plexes spéciaux R +AR el Pr. + A
coïncident aux infiniment petits d'ordre hR+1 près. On peut donc poser d'une manière approchée : (R+AR) = k(r + Ar).
On aura donc : à
Ï (re IE — d'R) es Co Ses ONE b}(r + dr + d'r)+
termes d’ordre h°4 x
au moins, si l’on désigne par À, une quantité finie et par À; une expression
homogène et de degré + par rapport aux différentielles
dp1,...,dPn.
LG
Cela exige
R = kr; dR = kdr+ kr ;...;
Re d'R — ho PR ee RNCS MA ar Rad ee ker.
D'ailleurs
A1 et A) coïncident avec
di el @ ; par suite
R = [A4] et r = [aa] sont égaux ; cela montre que OCT IS 9 Les conditions analytiques d’applicabilité se traduisent donc par
équations :
dR = dr+ ur; 2 ŒR = nd + hdr + lors: R = 1 2! kR ! k!
Insistons sur ce point que ces conditions peuvent être réalisées avec un choix quelconque du repère mobile de la variété v.
On dit qu’une variété est déformable quand on peut la considérer comme faisant partie d’une suite continue de variétés sur chacune desquelles elle est applicable.
Système de Pfuff imposé par une applicabililé du premier ordre. — L'applicabilité du premier ordre exige this lAr:
Posons da; = wa, + puis dA, = 9,0 + et Q;; = Qj — wi, Puisque le repère Ai À: À 3 À, se déduit du repère
À, À À, Au
par un déplacement projectif, on aura :
d'A; TOTAL.
et par suite d'A =tO0 UE.
puisque les poinis À; coïncident avec les points à. Des deux équations dr = (is + Go) + wi + re + y — wir, et dR = (Qi +0,,)r + ”il résulte que l’on n’a dR = d'+kir
que si les expressions
sont nulles.
Nous voyons que si deux variétés sont applicables ‘du premier ordre les 32 variables qui sont nécessaires pour déterminer la position dans l’espace des deux repères PANONT ët "> AAA A;
satisfont au système de Pfaff
dans ce svstèmeil v a d’ailleurs n variables indépendantes : ce sont 3 |
P1:... Pr-
Quand deux variétés sont applicables d’un ordre quelconqne, elles sont mani-
festement applicables du premier ordre, On peut supposer que la! particularisation fondamentale a été imposée au premier repère (a). Les équations
Lo
montrent que le deuxième repère (A1 devra alors subir aussi la particularisation fondamentale et que deux variétés applicables doivent appartenir àila même catégorie ; on le voit en supposant successivement que la première variété appar-
tient à l’une des huit catégories.
Système de Pfaff imposé par une applicubililé du deuxième ordre. — L'applicabilité du deuxième ordre impose la nouvelle condition PR = dr + 2k,dr + kr avec fi — 0, 1 0;;.
HAUTS Na
Il est facile de calculer d'r en différentiant la valeur de dr. On en déduit R par changement de notations.
La nouvelle condition imposée n’est satisfaite que si l’on a :
(1) iQ — Qi + wi — Wa = O0; Los — On + w3Q3 — WA = 0 I PRE PARLER > Lez,
30, — Q, + wo — m0 = O ; D, — Qi + wiQy — w3Qu = 0. Remarquons que les équations 93 = 93 = 0, — Q, = o qui sont satis-
faites (puisque l’applicabilité du deuxième ordre exige celle du premier ordre)
entraînent :
O3 =[ 010; + [00%] [020] OC On =[ 2033 —0»] +[u:0] —[w 11] 0
Qu =[w;0,, - O]+{w20%] - CTAET : Qu = [oo 0;]+ [0,0] — [630 0.
Donnons aux deux repères (4) et (A) la particularisation fondamentale.
Désignons par w,... w, les expressions fondamentales.
Remarquons que les équations (2) se déduisent, au point de vue de l'écriture, des équations (1) par l'introduction de crochets dans les premiers membres; cela transforme d’ailleurs les produits ordinaires en produits extérieurs.
En tenant compte des relations simples auxquelles satisfont les expressions w,On peut mettre l’une quelconque des équations (x) sous la forme :
2. + will, = 0’; l'équation (2) correspondante se mettra alors sous la forme : [own | + AE [w,ll,] = O.
Cette dernière équation montre que les expressions de Pfaff
Motel s'expriment linéairement au moyen de ARE. UD et que le tableau des coefficients est symétrique. On peut donc poser To = Au +... + howl(x = 1,...,) avec les conditions
RBa = has.
On a donc :
ee CONTE act le Only = huvw + 2h00) + Rat? See
