AUS QUES
Mais le premier membre est nul. Le sécond membre est une forme quadratique en
Wi,.. Un
qui doit être nulle quelles que soient les expressions indépendantes &
PSC OL
Il en résulte que tous les coefficients À sont nuls. Les expressions de Pfaff
sont donc nulles.
Aux quatre équations (1) correspondent 4n expressions 11; mais certaines de ces expressions sont nulles d’elles-mêmes. D'ailleurs il ne peut pas y avoir plus de
sept expressions I indépendantes, car toutes Les expressions 11 s'annulent mani-
festement en même temps que les sept expressions
En résumé les 32 variables définies au paragraphe précédent doivent satisfaire au système de Pfaff formé par les quatre équations 9, — o auxquelles on
adjoint celles des équations H — o qui sont indépendantes.
Système de Pfaf] imposé par une applicabilité d'ordre quelconque. — On pourait trouver le système de Pfaff imposé aux 32 variables par une application des 3°, 4°, 5° ordres en continuant à employer la méthode que nous venons d'utiliser pour l'application du premier et du second ordres, mais il n’y a lieu de faire le calcul que pour les variétés pour lesquelles l'application du 2° ordre est possible. Il suffit de s'occuper des surfaces réglées et des congruences car nous verrons bientôt que l’applicabilité du r°' ordre de deux espaces projectifs réglés est impossible et que l’applicabilité du 2° ordre de deux complexes est impossible.
Dire qu'une applicabilité est impossible signifie d’ailleurs qu'elle ne peut être réalisée que par deux variétés égales. Ilest en effet évident que deux variétés égales sont applicables d'un ordre aussi élevé que l’on veut; il en résulte d'ailleurs que le système de Pfaff imposé par une applicabilité n’est jamais impossible car il admet au moins la solution banale fournie par des variétés qui ne diflèrent l’une de l'autre que par un déplacement projectif.
Mais il est plus rapide d'appliquer la règle énoncée par M. Cartan dans sa communication au Congrès de Strasbourg sur le problème général de la déformation. Considérons le système de Pfaff imposé par une applicabilité d'ordre À.,
TESeUT EU
Si l’on suppose que le premier repère est complètement choisi les équations quadratiques extérieures entrainées par les équations de ce système peuvent se mettre sous la forme
[8,dp,] + [8,dp:] +. +[6,dp,] = 0.
On obtient les nouvelles équations de Pfaff imposées par une applicabilité d'ordre
hk + 1 en annulant les expressions 8.
Il revient évidemment au même de mettre les équations quadratiques sous la forme
will; | 2e [well | oo [wAlT,]
En
et d'annuler toutes les expressions 11 : cela résulte immédiatement de ce fait que les expressions fondamentales w; sont des formes de Pfaff indépendantes qui
renferment les différentielles dp;,..., dp, car on en déduit que les expressions I! s'expriment linéairement au moyen des expressions 6, La règle qui consiste à
annuler les expressions 11 est celle que nous avons trouvée pour l’applicabilité de
deuxième ordre. Nous l’appliquerons pour les applicabilités d’ordre supérieur.
L'applicabilité du premier ordre est impossible pour deux espaces projectifs. — L'applicabilité du premier ordre de deux espaces projectifs impose le système de Pfaff à quatre variables indépendantes :
En formant les équations quadratiques extérieures entrainées par le système (1), on constate que le système (1) n’est pas en involution.
Mais il est facile de voir que l’on peut profiter de l'arbitraire laissé aux repères en prolongeant le système (1) par les nouvelles équations :
(2) D 0 — Q,— Q— 0 et Qi — Qo, O0 — Q4s ;
re]
ces équations de Pfaff entraînent des équations quadratiques qui ne peuvent être satisfaites que si les expressions
Qu, Or, Qu et Qv
sont nulles. En ténant compte de l’équation
Qi + Qc + Os + 0, = 0 qui est une conséquence de
[ace | = [AsAodsA4) = 1,
