IPS CURE

on voit que toutes les expressions 2; sont nulles. Cela impose aux deux espaces de ne différer que par un déplacement projectif.

L'application projective de deux espaces réglés est donc impossible. Ce résultat surprend quand on sait que deux espaces ponctuels possèdent toujours la propriété d’être applicables du premier ordre (on le démontre en remarquant que les conditions d’applicabilité de l'espace engendré par A1 sur l'espace engendré par &, sont :

OO ie ONE TO

et que ces trois équations de Pfaff forment un système en involution avec Sao

L'applicabilité du deuxième ordre est impossible pour deux complexes. — Considérons d’abord deux complexes spéciaux. La particularisation fondamentale des repères donne :

w, — O et OPEL O0;

la dernière condition est d'ailleurs remplie d'elle-même. On trouve immédiatement que les nouvelles conditions imposées par l’applicabilité du deuxième ordre sont

Qe = On = 03, = dy: = 0 Qu = 9» = 0, = 0,,,

Ces équations de Pfaff entraînent des équations quadratiques qui ne peuvent être q

satisfaites que si l’on a :

Qu = Qy = 0, = 9

On doit donc pouvoir annuler toutes les expressions 0;;, ce qui impose aux deux complexes spéciaux d’être égaux.

Considérons maintenant deux complexes non spéciaux. La particularisation

fondamentale donne Uo + Or O et Q, + Q, = (0)

Les conditions d’applicabilité du premier ordre som

On trouve immédiatement que les nouvelles conditions imposées par lapplica-

bilité du deuxième ordre sont les mêmes que dans le cas précédent. Les nou-

JR

velles équations quadratiques qui sont entraïnées ne peuvent être satisfaites que si l’on a :

On doit donc pouvoir annuler toutes les expressions Q;;, Ce qui impose aux deux complexes non spéciaux d’être égaux.