DO TN O1 MO
Ges neuf équations de Pfaff n’entraînent aucune équation quadratique ; elles suffisent pour caractériser projectivement les surfaces D, ; celles-ci sont donc
égales entre elles ;: de plus toute surface D, admet un groupe projectif de déplacements.
On peut achever la détermination du repère en adoptant
Do ND = O4 22 A NU) 3 0 — ON;
on a alors
ce qui permet de choisir p, de façon à avoir OT dpi.
En tenant compte de l'équation Uy1 + O2 + Was HU = O, on obtient pour équations de Frenet :
da, = adpi, da = Ip, is =10, l'das=to;
on obtient en intégrant
DÉTAE PRET: UC + Dis: JC DCR
Un point quelconque m situé sur la surface a pour symbole :
M = + Qu = (Ci + Pics) + Q{C + pic)
mue
Si nous déplaçons le repère cic:c;c, de façon qu'il devienne simple, les coordonnées homogènes cartésiennes de mn seront :
t= 1, 24 Y= "Das Bi ==tpiqt On aura donc réduit l'équation d'une surface D, à
Yi —={Z = 0.
Les surfaces D, sont donc des quadriques non développables. On pourrait d’ailleurs le déduire de cette remarque que la droite mobile r
est assujettie à appartenir à un réseau fixe de complexes linéaires :
NEO Ce nee Lee Ur
Deuxième particularisation spéciale du repère associé à une surface D,. — Dans le cas d’une surface D, la transformation subie par les trois coefficients « permet de supposer que l’on a :
Qi == A = J — 3 —= O.
Les équations nouvelles de Pfaff :
Ugo — (OP = nOfote ati — GO, — O
entraînent trois équations quadratiques qui conduisent à poser Ge = 0%, Was — Up — 204, On = A301.
Dans un déplacement à on a :
hs = —h, (ex — e1;), sh) = 26,6 Ch = 3 Ex» — eu). chacune des équations
hi = 0 et h:="0
on à donc une signification invariante. De plus le produit h:h, est invariant.
On peut d’ailleurs toujours supposer que À, est nul. Nous pouvons donc imaginer une deuxième particularisation spéciale du repère, commune à toutes les surfaces D,; cette particularisation consistera à s'imposer quatre équations de Pfafr :
< O2 = Oy — yo — y = Gi — gg — Wys = O.
L'équation
Wy3 — Wu = O.
entraine À [oiws] = 0.
Posons donc
Nous aurons
À est donc un invariant fondamental.
Nous aurons de plus
O0 — O et par suite
Co); = O, Nous pouvons donc poser
o1 = dp.
Cette équation définit, à une constante additive près, un paramètre intrinsèque p
de position de la droite r sur la surface D,.
Deuxième particularisation spéciale du repère associé à une surface D,. — Dans
le cas d’une surface D, on peut supposer que l’on à :
