CERENCE EN EE DEN OE

Les équations nouvelles de Pfaff :

entraînent deux équations quadratiques qui conduisent à poser :

we = Mo et doi — y — vu = hou.

Nous aurons dhy — huile; — e>) et ho — holess — eu) — 2hre, — he. L'équation h, = o a donc une signification invariante, mais on peut toujours

supposer que h, est nul. Nous obtiendrons donc une deuxième particularisation spéciale du repère, commune à toutes les surfaces D:, en nous imposant quatre

équations nouvelles de Pfaff :

32 0) eo — y = WW — 211-093 Ur 0:

Classificalion des surfaces réglées Do en 3 familles D',, D" et D". — La transformation subie par les coefficients À, et h, nous oblige à distinguer trois familles de surfaces réglées D,. En général h, et À, ne sont pas nuls: nous dirons qu'il s'agit de surfaces D. Pour certaines surfaces D’, l’un des coefficients À, ou À,

est nul; nous supposerons par exemple que h, est nul; si on avait

on se ramènerait au cas

en changeant CRT en CONTRE Enfin certaines surfaces très particulières D”, sont telles que l'on a :

hi — h, O0

Classification des surfaces réglées D, en 2 familles D', et D",. — La transformation subie par le coefficient h; nous oblige à distinguer deux familles de surfaces réglées D;. En général A, n'est pas nul; nous dirons qu'il s’agit de surfaces D';. Au contraire pour certaines surfaces D’, le coefficient h; est nul.

Equations de Frenet d’une surface réglée non développable, dans le cas général. — En général, une surface D appartient à la famille D',. On peut achever la détermination du repère en s'imposant

= ie

Le coefficient h; devient alors un invariant que nous désignerons par ?,. On est ainsi conduit aux équations de Frenet :

da, = dp (— Xi + @ + 43); da; = dp Ouai + 0: + à); das = dp (Ou —),4, +); da, = dp (a — à: + has + ods).

Les trois invariants fondamentaux },, À et À, sont des fonctions arbitraires du paramètre intrinsèque p.

Equations de Frenet d'une surface D". — On trouve aisément les équations de Frenet d’une surface D”,. Ce sont les équations de Frenet d’une surface D’, dans lesquelles on annule l'invariant 2. On voit immédiatement sur ces équations

que toute surface D”, admet la droite fixe r’, pour directrice.

Equalions de Frenel d'une surface D". Après la deuxième particularisation

spéciale du repère on a dans le cas d’une surface DS

wo — O, W2, —= O, W3, —= Au].

Ces trois équations de Pfaff n’entraînent que v [dX w, | 0 D'ailleurs si l’on pose Wy —= dp, cette équation quadratique montre que } ne dépend que de p bien que le repère ne soit pas encore complètement fixé. On ne peut pas achever d’une manière

TO . 0 Va . . « ps 2 projective la détermination du repère. Un calcul assez long montre que l'on peut profiter de l'arbitraire laissé au repère en annulant l'expression Woo — Wii.

On a alors pour équations de Frenet :

dd, = &;dp. dax = a;dp, dax = 1@41dp, day = — 1) a:dp. On voit immédiatement sur ces équations que toute surface Do admet les deux droites fixes r, et r’, pour directrices.

Dans les équations de Frenet d'une surface D”, n'intervient qu'un seul inva-

riant fondamental. D'ailleurs les surfaces D”, ne dépendent manifestement que

d’une fonction arbitraire d’un argument.

Délerminalion projectlive du repère associé à une surface D'i. — Imposons la deuxième particularisation spéciale au repère associé à une surface D;. Nous pourrons achever la détermination projective du repère en imposant d’abord

l'équation de Pfaff

puis enfin l'équation

Nous poserons alors :

wù = Luis el dy = À.

Si nous choisissons le paramètre de position de manière à avoir O3 —= dp, nous obtiendrons les équations de Frenet sous la forme :

du = (a +@)dp; du = (ia +) dp; da = (Qu +a)dp: = da = (a + a + a, )dp.

9 Te 51 ? : à 2 à - . ES Equulions de Frenel d'une surface D' proprement dite. — Imposons la deuxième

particularisation spéciale au repère d’une surface D’. Nous aurons

Nous serons conduits à poser

L'équation