PASS
a d’ailleurs une signification invariante. Si J n’est pas nul nous dirons qu’il
» — , s x £ + S agit d'une surface D, proprement dite. On peut alors supposer que
PTT, On est ainsi conduit à poser DA 2004,
g étant un invariant. Le repère n’est pas complètement déterminé puisque e. n’est pas nul. Comme on a
OEAIO on peut poser wo = dp; comme [dge] = 0,
g ne dépend que de p. On ne peut achever la détermination du repère d’une manière projective, mais on peut profiter de l'arbitraire laissé au repère en annulant w,1.
Nous obtenons alors pour équations de Frenet :
da=(ga,+a;)dp; da=(a— S3ga+a,)dp; da, =(a, +3ga)dp, du =(a;+a,—ga,)dp.
Équalions de Frenet des «surfaces de Cayley ». — Dans la détermination du repère d'une surface D, nous avons écarté le cas pour lequel f serait nul. Il est facile de voir qu'il s’agit de « surfaces de Cayley » égales entre elles. ;
Un choix convenable du repère donne pour équations de Frenet : da, = a;,dp, ts =" p, RE Aop da, = &dp.
En intégrant on trouve immédiatement :
I D? P° dy = C3; = Ci+ Cp ; AC, + Cip +— Cp? ; G= C+Cp + £ nee Ë s 2
En appliquant le repère e,c,c,c, sur un repère simple on obtient pour équa-
tion de la surface en coordonnées cartésiennes homogènes :
de
1e =) NC n)
Remarquons que le point a décrit la directrice [ec], que le point a; reste fixe, que le point a, décrit une conique et que le point a, décrit une cubique
gauche.
RTS TE"
Les surfaces très spéciales D et D, dans l'espace ordinaire. — Considérons une surface D”’dans l'espace ordinaire. Nous pouvons par une transformation homographique amener les deux directrices rectilignes en coïncidence avec l’axe Oy et avec la droite de l'infini du plan yO:. Les équations cartésiennes de la droite génératrice sout alors
Les surfaces D} sont des conoïdes à plan directeur.
Considérons maintenant une surface D’,. Elle appartient à une congruence
linéaire spéciale. Par une transformation homographique on peut se ramener au
cas pour lequel cette congruence est définie par les deux équations
DS=to et a = q.
Les équations cartésiennes de la droite génératrice sont alors æ = a+ (a), VS a
Propriélés projeclives communes à toutes les surfaces D. Complexes linéaires osculaleurs. — Un grand nombre de propriétés d’une surface réglée D résultent de l'étude du contact de D avec un complexe linéaire 7. On dit qu'une variété V admet un contact d'ordre À avec un complexe linéaire y lorsqu'une droite r de V
appartient à y et que les droites
P+ar qui sont infiniment voisines de r et situées sur V appartiennent à y aux infiniment petits d'ordre + 1 près; on a donc
ve = vid =. = y" tr = y\d'r = 0.
Considérons une surface D engendrée par la droite mobile r. Imposons au repère la particularisation spéciale. Posons :
PP HE para pale + para + P'are ;
les complexes linéaires ; contiennent r. Les complexes linéaires tangents y seront des complexes qui satisferont à yldr = 0:
mais CRE (os + p)r + oi(r> — Tr) ;
on aura donc
RL US tr
D'où y! = pP + or ta para + polle + ra).
Nous obtenôns ainsi œ complexes linéaires tangents : ce sont les complexes linéaires qui contiennent la droite r et sont en involution avec un complexe linéaire non spécial Pa — l'y.
Parmi les complexes y’ il en existe œ? qui sont spéciaux ; ces complexes
y. satisfont à GP HrR pie 0;
on les obtient en adoptant
On peut donc poser :
va = pr + [(a + Kaas + Kæ)]. Donnons à K une valeur fixe. Les directrices des y’, correspondants passent par le point (ai + Ka,) et sont situées dans le plan Hi défini par les trois points
dy et es Ka.
Mais le plan IT est tangent à la surface au point
(a + Ka).
Les directrices des complexes spéciaux tangents sont donc tangentes à la
surface.
Les complexes linéaires osculateurs y’ sont des complexes y tels que l’on ait = 50 c'est-à-dire 2P{(w1P = O.,
On a donc
et par suite
= pra + s'ars + po (re +7).
Nous obtenons donc un réseau de complexes linéaires osculateurs. Les complexes 7, qui sont les complexes spéciaux du réseau sont fournis par
= [a + Kaas + Ka)].
ONE es — Les droites s communes à tous les complexes y’ doivent satisfaire à
on peut donc poser
On aura
AS —NO; Cela prouve ce qui est d’ailleurs un résultat classique que les droites communes du réseau rencontrent toutes les directrices des complexes spéciaux du réseau.
Les directrices des complexes y’, rencontrent les deux droites r et r° et elles tracent sur ces droites des divisions homographiques. Elles coïncident donc avec les génératrices d’un système d’une quadrique non développable +. Il est facile de voir que les complexes osculateurs spéciaux ont pour directrices les deuxièmes directions asymptotiques (la droite r fournit une direction asymptotique). Il suffit de ie démontrer pour le complexe [a qui correspond à
KE 0 car le point 4, occupe une position arbitraire sur [aa].
Or on a :
[d'a, a,.a, &]= Miluss + ou).
D'ailleurs le plan tangent en a, est
[a,a,as].
Le point d'a, sera donc situé dans le plan tangent si l’on a OS + CE =10 c'est-à-dire si 2:u12 = O ; le point 4« devra donc être choisi de façon qu'il se déplace dans la direction asymptotique.
La surface D et la quadrique Q se raccordent tout le long de pr. puisque la
deuxième direction asymptotique est située dans les plans tangents à D et à +
Te.
ILest en outre facile de démontrer que la quadrique + est oseulatrice à D. On
a en effet :
" y MA + dr + dr) = 0.
Par suite au 3° ordre près, les droites DS EVE
rencontrent les directrices des complexes y’ et par suite sont situées sur la quadrique %. Les deuxièmes directions asymptotiques sont donc situées sur une quadrique + non développable et les deux surfaces réglées D et + admettent un contact du 2° ordre. 2
Caractères géomstriques dislinclifs des surfaces D des différentes catégories DD, D,. Points principaux. — Les complexes linéaires surosculateurs y!” sont des
complexes +” qui satisfont à la condition
c'est-à-dire à l’équation 204 (53%) — pay — plis) = 0.
Les complexes y’, qui sont les complexes y’ spéciaux s'obliennent donc en adoptant PR N02 4, oi = —K si K est racine de l'équation du deuxième degré : aK?4+akK — à, = o.
11 y a donc lieu de distinguer trois cas. Si
D» 79 et CA
sont nuls le coefficient K est arbitraire et il existe une infinité de complexes y”! ; si le discriminant a + lus
n'est pas nul on aura deux complexes y; distincts; enfin si le discriminant est nul on aura deux complexes y’; confondus. Nous sommes ainsi amenés à distinguer les trois catégories de surfaces D d'après le nombre des complexes y" distincts.
Dans le cas d'une quadrique D, les complexes +”, sont Iles mêmes que les complexes y”’,; leurs directrices sont les deuxièmes directions asymptoliques ; ces directrices sont donc situées sur la surface D, sur laquelle elles constituent les
génératrices d’un système.
Dans le cas d'une surface D, ou D, on a :
+ LU 1 ufr Æ Are dir + dr) = 0.
On a donc au quatrième ordre près
