V-Ir= Ar
La directrice d'un complexe spécial surosculateur rencontre done au quatrième ordre près les droites infiniment voisines de r. Par suite en général les génératrices infiniment voisines d'une génératrice » s'appuient au quatrième ordre près, sur deux droites singulières qui rencontrent r; si les deux droites singulières se confondent on à une surface D;; enfin sil y a plus de deux droites singulières on à une quadrique D;. Nous appellerons pour abréger « point principal » le point de rencontre de la génératrice r avec une directrice de complexe linéaire surosculateur et « direction principale » la deuxième direction asymptotique en un point principal.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une surface D,. Donnons au repère la deuxième particularisation spéciale. Les complexes surosculateurs /” satisfont alors à la condition
pa = O.
On a donc :
= pur + par.
On obtient donc uu faisceau de complexes y”. Les droites communes du faisceau forment la congruence linéaire non spéciale dont les directrices sont re et ris
on peut dire que cette congruence est « surosculatrice ».
7, ont pour directrices
Les deux complexes y [ads | et [aa |.
ar suite, les particularisations du repère sont telles que les points a, et à, coïncident avec les deux points principaux et que les droites
[da, | et [dati |
soient les directions asymptlotiques en
en (or GR R A . ’ .
On peut même ajouter que la droite
[aa, |
une ‘
est située sur la quadrique suroseulatrice + et qu'elle est une génératrice du système qui contient la droite
Supposons maintenant qu'il s'agisse d’une surface D,. Donnons au repère la
deuxième particularisation spéciale. Les complexes surosculateurs satisfont alors à :
On a donc
Y = Qi + Oa(T2 Se r'a).
Nous obtenons encore un faisceau de complexes y”, mais ce faisceau est singulier ; les droites communes forment en effet la congruence linéaire spéciale qui admet pour directrice la droite r, et dont les droites sont situées dans le complexe
contenant la droite ,. La congruence des droites communes peut être appelée « congruence surosculatrice ». Le complexe +”, a pour directrice
Fi =\|did;]|.
Par suite le point a coïncide avec Le point principal double.
Les surfaces qui admetlent un groupe projectif de déplacements. — Les surfaces dont les invariants fondamentaux sont des constant?s admettent un déplacement à un paramètre :
P'= pc”.
Les autres surfaces qui admettent un groupe projectif sont celles pour lesquelles on ne peut achever projectivement la détermination du repère. Si les équations de Pfaff imposées par les particularisations projectives possibles ne renferment pas d’invariants fondamentaux toutes les surfaces considérées sont égales entre elles. Les seules surfaces réglées non développables qui ont une telle propriété sont les quadriques et les surfaces de Cayley. k
Enfin si les équations de Pfaff imposées renferment des invariants fondamentaux, toutes les surfaces qui ont mêmes invariants fondamentaux pour les génératrices de même paramètre p, sont égales entre elles. Les seules surfaces réglées non développables qui ont une telle propriété sont les surfaces D", et
D’, qui sont caractérisées par ce fait que les génératrices appartiennent à une
QÉ congruence linéaire.
HS TRUE
« PORT qe ; PME
Caractères dislinelifs des surfaces D, des différentes familles D',, D',, D”,. Com
plexes linéaires hypertangents. — Nous avons vu qu'une surface D, admettait pour complexes surosculateurs :
Les complexes y’ qui admettront un contact du quatrième ordre seront des complexes y” qui satisferont à la condition MIT AO ou encore à la condition dr'élrie to:
On aura donc
! = PU 45 — tan = O
pour un complexe « hypertangent » y". Par suite oil gere oh = ©,
Les complexes hypertangents spéciaux doivent satisfaire à la condition
Ils n'existent donc que si M ou À, est nul ou si A, et h, sont nuls tous deux ; dans ce dernier cas tous les complexes surosculateurs sont en même temps hyperlangents.
Nous sommes amenés à distinguer les trois familles de surfaces D, d’après le nombre de complexes spéciaux hypertangents : les surfaces D’, n’en admettent pas, les surfaces D”, en admettent un et les surfaces D”, en admettent deux.
D'ailleurs ilest facile de voir que fes complexes spéciaux hypertangents ont leur directrice situées sur la surface ; par suite le contact de ces complexes est aussi élevé que l’on veut.
Supposons en effet que À, soit nul; on aura alors : LAÈT=Æ (ou + O3)
la droite », sera donc fixe et elle sera située sur la surface puisqu'elle passe par &. De même si L, est nul, la droite ?”, est située sur la surface. Donc les surfaces D', n'ont aucune directrice rectiligne ; les surfaces D”, ont une directrice rectiligne et les surfaces D’, ont deux directrices rectilignes. Le point de rencontre d’une directrice rectiligne avec une génératrice est évidemment un point principal.
Dans le cas d'une surface D", tous les complexes ;” sont hypertangents. Mais.
Lu Mer ES
il est facile de voir qu’ils ont un contact d'ordre aussi élevé que l’on veut; ils contiennent en effet la surface D”, puisque les génératrices de D", rencontrent les droites fixes |
ri et Te
Dans le cas d’une surface D", pour laquelle h, est nul les complexes y” doi. vent satisfaire à
PARIOS
le seul complexe hypertangent est done le complexe spécial 7’, ; mais le contact de ce complexe est aussi élevé que l'on veut puisque la droite fixe r', est siluée sur D",.
Les surfaces D’, sont donc les seules surfaces D, qui admettent un complexe linéaire hypertangent ne contenant pas les génératrices de la surface ; ce complexe n’est d’ailleurs jamais spécial.
Le complexe hypertangent' appartient d’ailleurs au faisceau de complexes
qui admet pour directrices les deux directions principales.
Caractères dislinclifs des surfaces D, des différentes familles D', et D", Complexe Spécial hypertangent d'une surface D. — Nous avons vu qu’une surface D, admet
tait pour complexes surosculateurs les complexes du faiscéau Ÿ = Oil + Qo( lo SE Pas Les complexes ÿ” qui admettent un contact du quatrième ordre sont des complexes y” qui satisfont à la condition ÿ'\d'r = 0"
On aura donc
OU
pour tout complexe y”.
Nous sommes amenés à distinguer les deux familles de surfaces D,. Pour les surfaces particulières D’, h, est nul et par suite tous les complexes surosculateurs sont hypertangents. Mais il est facile de voir que ces complexes surosculateurs ont un contact d'ordre aussi élevé que l’on veut car ils contiennent la surface D',. La congruence linéaire surosculatrice commune à tous les comi-
plexes y” est en effet fixe car on a :
dr = (oi: ae O3 )P et d Ps ae r) == (oi À ou) + lo) À ofowirs.
La directrice fixe r; est d’ailleurs située sur la surface puisque r, contient a. D'ailleurs la génératrice r est située dans les +”. Les génératrices d'une surface D", appartiennent donc à une même congruence linéaire spéciale.
Dans le cas général des surfaces D', À; n’est pas nul et par suite p, est nul
pour un complexe y”.
Le seul complexe hypertangent est donc le complexe spécial qui admet la droite r; pour directrice.
Le contact du complexe r, avec D'i n’est jamais d’ailleurs d'ordre . supérieur à 4 car
r [dr — hhso, et hi
n'est pas nul.
Surfaces D', dont les ‘génératrices appartiennent à un complexe linéaire. — Nous avons vu qu'une surface D’, admettait un complexe hypertangent :
AA (ET { = 17 Pl 1.
On peut adopter :
DE ls et ga = hi.
Achevons la détermination projective du repère. Nous aurons alors
"= hin+ri et
NT : d — —= (TE ee Dh rar
On a folder AO
si le complexe y” a un contact d’ordre supérieur à 4 on devra avoir
Vlr KE ou, ce qui revient au même délire 0;:
Le complexe dy" doit être conjugué avec le complexe d‘r. Mais y” est le seul
complexe conjugué avec d'r ; il en résulte que les deux complexes dy" et Ÿ”
doivent coïncider géométriquement: cela exige la fixité du complexe ;”. D'ail-
