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Propriélés des congruences U, et U,. — La première particularisation spéciale du repère associé à une congruence U, ou U, consistera à s'imposer respectivement l’un des deux groupes de trois équations : wgs = De = O4, À = Guy — Guy — Ogg Ho, = 20; y, = y = 0, 0 — oO.
Pour un déplacement d, on a
le point & et le plan [aa] restent fixes ; ilen résulte que la droite r engendre ce plan en tournant autour du foyer @.
De la valeur de dlaia:a:] on déduit que les congruences U; sont formées par les tangentes à une surface développable le long d'une courbe arbitraire (1) et que les congruences U: sont formées par les tangentes à une surface développable le long de son arête de rebroussement.
Les congruences U: dépendent de trois fonctions arbitraires d’un argument landis que les congruences U, dépendent de deux fonctions arbitraires d'un
argument.
Classification des congruences en trois familles U':, U',, U",. — Après la première particularisation spéciale du repère associé à une congruence U,, on est conduit à poser :
Wa = hu, Os — y = lo L'équation Ha 0 et le système hk—k—= 0
ont des significations invariantes. On doit alors distinguer trois familles de congruences U:. En général } n’est pas nul ; la courbe focale double n'est alors pas rectiligne ; la deuxième particularisation spéciale pour ces congruences « U’, » consistera à se ramener à
Ti Rio Pour les congruences particulières « U’:», À est nul mais Æ n'est pas nul; la courbe focale double est alors une droite ; la deuxième particularisation spéciale
pour ces congruences consistera à se ramener à
Ca
è 1) Cette propriété est étudiée dans le livre de M. Kæœnigs sur La géométrie réglée et ses Applications.
dt Re
Pour les congruences très particulières « U”, » h et k sont nuls : la courbe focale double est encore une droite ; on ne peut achever la détérmination du repére ; *s , , . 4 ?
d’une manière projective ; les congruences « LU", » sont donc égales entre elles : une congruence « LU”, » coïncide avec la congruence linéaire et spéciale définie par les deux complexes linéaires r'4 et Pa +
car cette congruence reste fixe quand la droile r se déplace.
Elude des congruences U',. — Tmposons au repère associé à une congruence U”, la deuxième particularisation spéciale, Nous sommes conduits à poser
D gg — H11 = Jos
et nous pouvons ensuite annuler g; nous devons alors poser y = D, ?. étant un invariant fondamental, Nous ne pouvons d’ailleurs pas achever la détermination du repère d’une manière projective; les congruences L'; pour lesquelles l’invariant ? a même valeur numérique sur deux droites de mêmes paramètres p1, p, sont donc égales.
Il est facile d'étudier les congryences U”, dans l’espace ordinaire. On voit aisément que pour obtenir la congruence U”, la plus générale il suffit d'associer d’une manière arbitraire les points M de l'axe Oy avec les plans P qui passent par Oz: les droites de la congruence qui passent par M sont situées dans le plan P correspondant.
Classification des congruences de la famille U.
— Donnons au repère associé à une congruence U’ la deuxième particularisation spéciale. Nous sommes alors conduits à poser 41 Ge — 2033 = 810: 91 + Wys = 8201, Nous pourrons toujours annuler $, mais l'équation | #0
a une signification invariante, Nous distingucrons donc les « congruences U'. singulières » pour lesquelles s, est nul.
Considérons une congruence U’, singulière. Nous pouvons annuler par des particularisations projectives
W44 + Da — 20 os — 30, ét Wy1.
Grâce à ce choix du repère le complexe linéaire EE sera fixe; par suite toutes les génératrices d’une congruence U’, singulière appartiennent à un complexe linéaire non spécial 7 ; la courbe focale double a donc ses tangentes situées dans un compiexe linéaire +.
On engendre une congruence U'> singulière en considérant une surface développable dont l'arête de rebroussement est une courbe dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire non spécial ; les génératrices de la congruence seront les tangentes à la surface développable aux différents points de l’arête de rebroussement.
L'équation
Wyy = O conduit à poser ; O1 = S301 ; l'équation S3 = O
a une signification invariante. Parmi les congruences U’, singulières nous distin-
guerons donc les congruences « U', très singulières » pour lesquelles s; est nul.
Elude des congruences UV’, très singulières. — Les particularisations projectives du repère associé à une congruence U’, nous ont donné des équations de Pfaff ne renfermant que des constantes numériques comme coefficients, et n'entrainant aucune équation quadratique extérieure ; il en résulte que les congruences Ü’, très singulières sont égales entre elles et qu’une congruence U, admet un groupe de déplacements projectifs.
Cherchons la courbe focale double d'une congruence U', très singulière. Cette courbe sera engendrée par le foyer & si l’on donne à » un déplacement à
un paramètre ; il est simple de considérer le déplacement pour lequel W) = O:
On à alors à étudier une surface réglée telle que le déplacement infiniment petit du repère satisfasse à :
Dia = Us it Mis ii = M = ts 0 = A 0
Di — Ogg = Un — Wyy = Wyg — Wp.
Pour achever de déterminer le repère, il suffit de fournir la valeur de l’expres-
sion W41 — W33
dont le covariant bilinéaire est nul; on peut supposer que cette expression est nulle ; en tenant compte de la relation
Diy + Woo + W33 +W,y, = O
on annule ainsi les quatre expressions v;; ; d'ailleurs on peut choisir le paramètre p, de façon que l’on ait
Cyr dpi
puisque w’, est nul. Dans ces conditions on a pour le déplacement infiniment petit du repère :
du = asdp, ; da: = a:dp: ; das = a:dp: ; Ü==0" Ces équations différentielles ont pour solution : 5 2 dy NE Œ = CiP1 CN A3 —= FREE cn > C2Pi C5; : 3 I 2 CS Fe CDI CD Cite Ca.
Si l'on amène le repère fixe cic:csc, en coïncidence avec un repère simple les
coordonnées cartésiennes ordinaires du point à, deviennent :
DEEE de — 1) RUES 2 ne 0 y =pi 2=— pr.
Le point a; décrit donc une cubique gauche unicursale. Il en résulte que toute congruence U’, très singulière est formée par les droites qui passent par les différents points d’une cubique gauche unicursale et sont situées dans les plans osculateurs correspondants.
