CHAPITRE VII
Déformation projective des Congruences.
Généralités sur l'apptlicabililé du premier ordre pour deux congruences. — Deux congruences sont applicables du premier ordre si les quatre formes fondamenlales de Pfaff 9; relatives à la deuxième congruence sont respectivement égales aux quatre formes fondamentales w, relatives à la première congruence. Il en résulte immédiatement que l'application du premier ordre établit une correspondance entre les développables des deux congruences puisqu’à un déplacement d, de la droite r est associé un déplacement D, de la droite R.
Donnons au premier repère la particularisation fondamentale qui intéresse précisément les formes w;. Nous devrons imposer en même temps la même particularisation au deuxième repère. D'ailleurs l'application exige que les deux congruences appartiennent à un même groupe fondamental. S
Deux congruences ponctuelles ou deux congruences planes sont égales ; elles sont donc a forliori applicables du premier ordre. Nous allons étudier l’applieation de deux congruences V et de deux congruences U; nous verrons qu’elle est toujours possible comme l’a indiqué M. Cartan dans sa communication au Congrès de Strasbourg. |
Deux congruences V sont loujours applicables du premier ordre. — Donnons. nous deux congruences V et cherchons à réaliser l'application. Imposons aux
deux repères la particularisation fondamentale. | suffira de réaliser les équations
de Pfaf :
(1) A3 = wi y = @ey.
Ces deux équations entraînent deux équations quadratiques extérieures : (2) [o1933 — 0,1 = [0304 — 0: | 0
D'ailleurs les deux expressions auxiliaires de Pfaff qui interviennent dans le. système (2) sont indépendantes malgré les conséquences de la restriction imposée au choix des repères.
Le système (2) est alors manifestement involutif avec
S2 —= O; Si — 2.
Le système (1) qui fournit la correspondance et le choix des repères admet donc une solution générale qui dépend de deux fonctions arbitraires d’un argument. L'application du premier ordre est donc toujours possible.
La correspondante de droites dépend de deux fonctions arbitraires d’un argument; d'ailleurs elle doit associer les développables; si nous rapportons les deux congruences à leurs développables, nous prévoyons que nous pourrons réaliser l'application au moyen de l’une quelconque des correspondances définies par les deux relations
P; = F{pi) Pr F,(p»).
Il est facile de montrer qu'il en est bien ainsi. Grâce à la correspondance adoptée les expressions w, et w; s’annulent respectivement en même temps que les expressions ©, et @,; le calcul montre que par une modification du premier repère, on peut réaliser l'égalité des expressions fondamentales de Pfaff relatives aux deux congruences.
En résumé on peut toujours réaliser l'application du premier ordre de deux congruences V au moyen d’une correspondance qui associe les développables
famille à famille.
Deux congruences U sont toujours applicables du premier ordre. — Donnonsnous deux congruences U. Imposons aux deux repères la particularisation fonda-
mentale. Pour réaliser l'application, il suffira de satisfaire aux deux équations de Pfafr :
(1) Qj3 = Wi y — Ws3.
Ces deux équations entraînent :
(2) [oiQs — O1] — [wiQe] = [0:0,, — Qu) +[ui@s - Qi] = 0.
D'ailleurs les équations
conduisent à poser 202 = (ve — oi € Yo» 20 = (Poe y + Vos + (Ps — y).
Le système (2) ne contient alors que trois expressions auxiliaires indépen-
dantes ; il est involutif avec Si = 2, SR eL:
Par suite, l'application de deux congruences U est toujours possible et la correspondance dépend d’une fonction arbitraire de deux arguments.
Une correspondance arbitraire dépend de deux fonctions arbitraires de deux arguments mais une correspondance d'application doit associer les développables
doubles. Rapportons les deux congruences à leurs développables doubles, de telle manière que ces développables seront fournies respectivement par les équations :
Dr Ge P, — Ct.
La correspondance définie par les deux équations : Pi = (pi) P: = d(pr, pi) associe les développables et dépend d’une fonction arbitraire d'un argument.
Le calcul montre qu’on peut choisir le premier repère de manière à réaliser l'application avec une telle correspondance.
Généralilés'sur lapplicabililé du deuxièmz2 ordre pour d2ux congruznces V. — Deux congruences V sont applicables du premier ordre lorsque l’on a:
(1) ee ie dit 0 = Où
Donnons aux repères la particularisation fondamentale. Formons les équations quadratiques entraînées par le système (1); nous en déduisons que l’applicabilité du deuxième ordre exige six équations nouvelles de Pfaff.
(2) G, = Or = 0 = 0,
is Q33 Q,: — Q,, —- Q:9 = 0:
On voit que si l’on impose au premier repère la première particularisation spéciale, on doit imposer en même temps cette particularisation au deuxième repère ; de plus pour être applicables du deuxième ordre, deux congruences V doivent appartenir au même genre, c'est-à-dire doivent avoir des nappes focales de même nature. Enfin à une surface focale d'une congruence correspond une surface focale d’une congruence applicable et les asymptotiques sont en corres-
pondance car on a pour équations des asymplotiques sur une première et sur une
seconde surface focale de la première congruence :
