H03.@4yo = O, WW + Wiuw,z — O
Les congrusnces V sont en général indéformables du deuxième ordre. — Le
Système de Pfaff qui fournit tous les couples de congraences V applicables est ;
(1) 3 Us —14s3 —= O3 — Op — Qc; OS 0 QUE Q3, = Q,3
= Q33 — Qu = Q,, Ho — 10!
Ces équations entraînent huit équations quadratiques extérieures. Le système (1) devient un système en involution par une prolongation partielle qui consiste à poser :
2) De por Cu.
Le système de Pfaff (1) prolcngé par (2) entraine neuf équations quadratiques, dans le cas général pour lequel « et À ne sont pas nuls tous deux :
Lui Où + au, + Foy) = [os(Qs2 — 201, — Éoas)] = [oivs] —- [osws| = 0:
Los(ou — ay; — Fe, | = Loi Qu + av, + 2091) | = [oi] — [os] —=,.0.
| [urosr] = [sou] = [oi(dr + AWyy — 633] = [os(d3 + Lu) — Bus] Æ x
Le système quadratique (3) est manifestement involultif; les trois équations
de chaque ligne forment des systèmes partiels involutifs et l'on a Si 9; S2 — I.
Il en résulte que le système de Pfaff (1; admet une solution générale qui dépend d’une seule fonction arbitraire de deux arguments; c’est un résultat donné par M. Cartan dans sa communication.
Si l’on remarque qu’une congruence V générale dépend de deux fonctions arbitraires de deux arguments, on voit que sur une congruence V donnée il n'existe pas en général de congruence applicable ; les congruences V sont donc en général indéformables. Un problème intéressant mais difficile consiste à
rechercher les congruences V déformables.
Applicabililé du deuæime ordre pour deux congruences V générales. — Deux congruences V générales données ne sont, en général, pas applicables. Si on impose la deuxième particularisation spéciale au premier repère, cette même particularisation est imposée par une application du deuxième ordre; de plus les trois invariants
fondamentaux ?, ;, , et tous les invariants dérivés doivent avoir les mêmes
valeurs numériques dans les deux congruences sur deux droites correspondantes. Cette remarque permet de rechercher si deux congruences sont applicables.
En particulier si À est égal à r pour la première congruence, il doit en être de même pour la deuxième congruence : sur une congruence W on ne peut donc appliquer que des congruences W.
Généralités sur l'applicabilité du deuxième ordre pour deux congruences U. —
Deux congruences U sont applicables du premier ordre quand on a
(1) Ds = M = 0 0 — 0.
Donnons aux repères la particularisation fondamentaie. IL est facile de trouver
les nouvelles équations de Pfaff imposées par une applicabilité du deux:èmeordre :
(2) O, = 0, = 0; —-0, = 0, QG = D = 0%
On voit que si l’on impose au premier repère la première particularisation spéciale, on doit imposer en même lemps cette particularisation au deuxième repère; de pius deux congruences U applicables appartiennent au même genre.
Si la première congruence a une surface focale, il en est de même pour la deuxième congruence applicable ; les lignes asymplotiques des surfaces focales
se correspondent puisqu'elles sont fournies par :
Wi3(@8, + 2) — O Q,,(Q: ONE Sr
Les congruences Ü sont toujours déformables du deuxième ordre. — Donnons nous une congruence U,. Imposons au repère la première particularisation spéciale. Le système de Pfaff qui fournit les congruences applicables sur la congruence donnée comprend les dix équations écrites au paragraphe précédent. Ce système entraine un système quadratique involutif avec
Sen S? — 0.
Il en résulte qu’on pourra toujours déformer la congruence donnée.
Les congruences U, dépendent d’une fonction arbitraire de deux arguments. Deux congruences U, ne sont pas en général applicables.
On démontre aisément qu’une congruence U, est toujours déformable.
Deux congruences U, sont toujours applicables du deuxième ordre. — Donnons nous une congruence U,. Choisissons son repère de. façon que les restrictions imposées par la première particularisation spéciale soient satisfaites.
Le système de Pfaff qui fournit les congruences applicables et la manière de
réaliser l'application est :
(x) QU, = Or Li = 0 — Q, — 0, — D, == 0,
ce système de Pfaff entraîne six équations quadratiques
(2) [oi03] en 210,0,1| À [w)Q3: SE 0 | 20;
fu Os: | EF [0,0] e [w,0,;] ea [On] ds lou] = 901] ce système quadratique ne peut être satisfait que si l’on a :
Le système de Pfaff formé par les équations (x) et (3) entraîne trois équations quadratiques :
(4) [uiQs] = [wi0 | = [010] 2 [oO + 9;2| = O0:
Le système (4) est involutif avec s = 3 et s, = 0.
Par suite une congruence applicable et la correspondance dépendent de trois fonctions arbitraires d’un argument. Comme toute congruence appiicable est du genre U: et que les congruences U, dépendent de deux fonctions arbitraires d’un argument, on prévoit que deux congruences U, sont toujours applicables en vertu d'une correspondance qui dépend d'une fonction arbitraire d’un argument. Nous allons montrer qu’il en est effectivement ainsi.
Donnons-nous une congruence U. Imposons à son repère la première par-
ticularisation spéciale. Nous devons poser :
Où = Op — dy = Ad.
Plaçons-nous dans le cas général pour lequel la congruence donnée est de Ja famille U,. Nous pouvons choisir le repère de manière à avoir ANRT
Si l’on cherche à appliquer une autre congruence, on constate qu'il faut d’abord imposer à son repère les mêmes particularisaltions que nous venons d'imposer au repère de la congruence donnée; toute congruence applicable doit aussi appartenir à la famille U.
Nous sommes conduits à poser :
Wy1 + Op — 2033 —= JOI.
puis annuler g, ce qui oblige à poser :
Op + 8,1 — 30, + loi.
Le repère d’une congruence applicable devra subir les nouvelles particula-
LUS Peas
risations. Considérons alors deux congruences U', données. Associons à chaque droite un repère satisfaisant aux particularisations qui viennent d’être définies.
Le système de Pfaff qui fournit la correspondante de droites est ;
(D) Qi = y — Qs —Q4 = 0 Qiy — Gr
car les équations (1)et (3) seront alors toutes satisfaites. Le système (5) entraine
(6) 2[(o Qu) + [o:Qr +9] = Q} fois — Qu] = 0.
La dernière de ces deux équations quadratiques est identiquement satisfaite tandis que la première peut s’écrire :
Los 40 + L+ K —1— lu, |].
Le système de Pfaff (5) n’entraîine donc qu'une équation quadratique; il est en involulion avec
Si —= I, Sos 202
Il en résulte que la correspondance dépend d’une fonction arbitraire d’un argument. L'application est donc toujours possible.
Si on immobilise a, en annulant w,, on immobilise en même temps A; ainsi que les tangentes en & et A1 aux courbes focales doubles. Toute correspondance qui réalise l’application associe donc chacune des tangentes à la première courbe focale avec l’une des tangentes à la deuxième courbe focale.
Généralités sur l'applcabililé singulière pour les congruences V. — En considérant les équations quadratiques entraînées par le système de Pfaff qui fournit les couples de congruences V applicables du deuxième ordre, on remarque que
tout élément intégral pour lequel on a:
(3 — Q = av: + Êo, 10
est un élément singulier. Nous obtiendrons donc des solutions singulières du système de Pfaff considéré en étudiant le cas particulier pour lequel x et 8 sont nuls. Le système des équations quadratiques entraînées est alors résolu par les : équations nouvelles de Pfafr.
22 di = 0; Qy = Go: ; Os — bu, ; Ou UHR VO 5 Oo = — VO + Wow Lo = UV HV; Os = — Vo + W'us. Les quatre premières de ces équations exigent que l'on ait :
bu + aw = 0; bu! + aw' = 0; a = [wda] ; 2bu', = [w;db]
D'ailleurs il faut supposer que a et b ne sont pas tous deux nuls car on obtien-
