D MEN OX

S'il s’agit de congruences V générales, ces congruences devront donc appar-

tenir à la famille W comme d'ailleurs les congruences applicables sur elles.

Applcabililé singulière pour deux congruences W. — Donnons nous une congruence W. Imposons à son repère la première particularisation spéciale puis choisissons complètement ce repère. On ne pourra réaliser une application singulière qu'avec un coefficient b égal et de signe contraire au coefficient 4.

De plus le coefficient a devra satisfaire aux deux conditions :

(x) 2aw' = [wda|; 2dw's — [w,da]

Rapportons la congruence donnée à ses développables et posons :

O1 = gidpr, O3 = G2.AP2 Les deux équations (1) s’écrivent alors :

[dpid(ag:?)] = 0, Fdp:d(ag:?)| = 0 On peut donc poser :

ag? = A(pi), ag? = B(p)) L’équation différentielle qui fournit les deux familles d’asymptotiques sur l’une quelconque des deux surfaces focales devient A(p)dpé + B(p}dpt = 0 (oi+ui= 0)

Sur une congruence W arbitraire on ne peut donc pas en général réaliser une application singulière.

Considérons une congruence W telle que léquation différentielle des

lignes asymptotiques présente la forme spéciale :

(2) Fi(p:)dpi? + F(p2)dpi# = 0 Les fonctions F; et F, ne sont manifestement définies qu’à un même facteur numérique près.

Posons

Fi(p) = jA(h); F,(p:) = j.B(p2), la quantité j étant une constante numérique. Considérons la fonction a définie par l'identité :

F(ps dpi? + F,(p:)dp? = a(u,? + 0) = a(gièdp + gdp}).

On aura :

TAN DD == 20e j-B(p.) = ag.

Considérons alors le système de Pfaff :

Q, — d,, Qu = — dv, Qij = o(ÿ=£ 81 et 42).

Ce système à 3 variables indépendantes p est complètement intégrable d'après la règle de Frobenius. Il impose d’ailleurs toutes les seize expressions Q. La solution générale dépend de constantes arbitraires : ce sont les paramètres de position dans l’espace d’une congruence applicable sur la congruence donnée.

En faisant varier la constante j on oblient une suite de congruences applicables. On peut donc réaliser une déformation singulière d’une congruence singulière dont l'équation des asymptotiques présente la forme (2). C’est, aux notations près, un théorème énoncé par M. Cartan dans sa communication au Congrès de Strasbourg.

Propriété des surfaces focales d'une congruence W déformable d'une façon singulière. — Il est facile de vérifier que les surfaces focales d'une congruence W à déformation singulière sont déformables projectivement du deuxième ordre. Considérons en effet une telle congruence. Les conditions d’applicabilité de la

première surface focale engendrée par 4, sont

Ps Os — 0, —"0: O5 = Qy = Où = 0; = 0, Où = Où = One

O1 = 0, = 0x — 0: DOS ne. Qu — Qu Qc Toutes ces conditions sont précisément remplies. Par suite les deux surfaces focales sont applicables ; il en résulte que ces surfaces focales sont déformables

d’après un théorème de M. Cartan (x).

Applicalion singulière de congruences V particulières. — Les congruences particulières pour lesquelles on a, après la particularisation fondamentale UD I E

sont celles dont l’une des nappes focales est une droite ou celles qui admettent pour nappes focales une courbe el une surface développable. Le calcul montre que certaines de ces congruences admettent une déforma-

(1) L'applicabilité projective des surfaces est étudiée dans un Mémoire de M. Cartan (Annales Ec. Norm., tome XXXVAI, septembre 1920).

| RRQ Nu

tion singulière. Les congruences linéaires non spéciales admettent même une déformation singulière sur elles-mêmes.

La déformation d’une congruence qui admet pour nappes {ocales une surface non développable et une droite est analogue à la déformation d’une congruence W : cette déformation n'est possible que si l’équation des asymptotiques de la surface focale présente la forme

A(p,)dp? + B(n:)dp:° = o quand on a rapporté la congruence à ses développables ; si cette condition est remplie, on obtient une infinité de déformées dépendant d’une constante arbitraire ; d’ailleurs la surface focale prend une déformation projective du deuxième ordre.

Les autres cas qui doivent encore être considérés sont analogues entre eux : on obtient ce résultat que Ia déformation est toujours possible avec des déformées qui dépendent d’une fonction arbitraire d’un argument.

Etudions par exemple le cas d’une congruence dont la première nappe focale est une surface développable tandis que la deuxième nappe focale est une courbe. Donnons au repère la particularisation fondamentale. Nous aurons u et w' nuls et

il faudra que «a soit nul; de plus la quantité b devra satisfaire à la condition : [dbw,] + 2bw'; = 0 ; Pour réaliser une äpplication singulière on devra annuler toutes les

expressions Q sauf :

De.

Si la congruence donnée est rapportée à ses développables, on devra avoir bh.? — B(p:).

Cette équation sert à définir b par l'intermédiaire de la fonction arbitraire B. Les équations de Pfaff imposées par l'application singulière forment un système complètement intégrable. On obtient donc, pour chaque détermination

de la fonction B, une congruence applicable sur la congruence donnée.

Deux congruences V applicables du troisième ordre sont égales. — On trouve aisément les nouvelles équations de Pfaff imposées par une application du troisième ordre sur une congruence V dont le repère a subi la particularisation

fondamentale. Ge sont :

RES le|| [ont Le Le] e Dm