LS 0 PM

séométrique. Considérons pour un instant w,, w;, w; comme étant les coordonnées homogènes d'un point M dans un plan Q. A toute droite s correspondra un point M. Inversement à un point M correspondront les droites s pour lesquelles üi, &,, w, sont proportionnelles aux coordonnées homogènes de M: toutes ces droites définissent sur la droite » une même « corrélation anharmonique » (1): nous pourrons dire pour abréger qu'elles sont situées sur une même direction de droiles.

L’équation

représente une conique E dont les points définissent les directions de droites pour lesquelles la droite r est rencontrée par les droites s ; cette équation définit donc les directions d,, qui engendrent des développables du complexe considéré. Si l’on modifie le repère, la conique E reste fixe. L'équation Ÿ = 0

représente une conique F, dont les points définissent les directions de droites osculatrices au complexe *,.

L'équation

0? + paŸ = O représente une conique F qui appartient au faisceau défini par les deux coniques E et Fo ; les points de la conique F définissent les directions de droites osculatrices à l’un des complexes Y. .

On peut aussi remarquer quesi le point M décrit une droite, les droites $s dont ce point est l’image restent situées dans unie congruence tracée dans le complexe considéré.

Les deux coniques E et F; ont en général quatre points communs M. Les droites s; ont manifestement pour images les quatre points Mi. Il existe donc, en général, au voisinage d'une droite d’un complexe non spécial, quatre directions d, singulières dont les droites sont osculatrices à tous les complexes linéaires tangents. L'ensemble du foyer m; et du plan focal q; relatifs à une direction d, singulière constitue un (couple inflexionnel» (1).

Il est facile de former une équation qui fournit les positions des quatre points

mi. Posons, pour une direction d, singulière :

W) —= — Z.uy, Da — + 2.0); M; = +2, dr.

(1) La définilion de ce terme est donnée par M. Kœnigs dans son livre sur les propriétés infinitésimales de l'Espace réglé. (Gauthier-Villars, Paris 1882).

LR A

En exprimant que l'expression quadratique & est nulle on trouve l'équation

algébrique du quatrième degré en : dont les racines sont les valeurs des quantités z;: D(z) = az + 2b23 + (a — 2b'}2 — 2b'z + a = 0.

Ro CAN 2 .

On a d’ailleurs la propriété remarquable suivante. Le rapport anharmonique des quatre points m; (et par suite aussi celui des quatre plans g,) est égal au rapport anharmonique des quatre points M; de la conique E. Adoptons pour le

montrer des coordonnées cartésiennes ordinaires dans le plan Q. Nous aurons: 0 —= O3T GES W3Y.

ct la conique E passera par l’origine O. Le rapport anharmonique des quatre points m,; est égal au rapport anharmonique des quatre nombres :; ou des quatre

quotients y,: «,; il est donc égal au rapport anharmonique des quatre droites Om.

Complexes linéaires langents slalionnaüres. — On dit qu'un complexe linéaire est stationnaire lorsqu'il est tangent le long de la droite r et le long d’une droite s déterminée.

Si l'on désigne par A la variation infiniment petite subie par une quantité lorsqu'on passe de la droite r à la droite s, on doit avoir pour toutes les déplacements d possibles :

yI(s+ds)=o ou y où

dAr) =0o ou Ay|dr= (pAr+ p14Ay,) | dr =

Le calcul montre qu'en général il existe trois complexes + stationnaires qui sont les complexes y dont la conique F est dégénérée. À chaque complexe stationnaire correspond une direction de droites $s qui sont osculatrices et dont

l’image est au centre de la conique dégénérée.

Première particularisalion spéciale du repère. — La première particularisation spéciale du repère consiste à simplifier dans toute la mesure possible les six coefficients qui interviennent dans la forme quadratique 4, en profitant du groupe des transformations subies par ces coefficients quand on modifie le repère. Les transformations infinitésimales du groupe s’obtiennent au moyen des covariants bilinéaires. On trouve :

da = Aer + 633 — 20) — 20'e,; Ga! = a (eux — eu) + hbess — ess + 2(65 + es);

| da" = &"(e;, + ei — 2€») + 20e, ; 80 = b(e,, — ex) + 24'en + (a — 2b'}er ;

| db!= b'(ex —e11) — beri+ b'es + (es + 6,3); 80" = Des — 6e) — 20e, —(a'— 2b'}esr. [@)

n déduit de ces équations :

S'@ — 20!) = (a! — 20") (ey —e,,) + 6be,, — 6b'ess.

Ad ET

On voit immédiatement que les 5 coefficients du polynome % (2) subissent les transformations linéaires et homogènes d’un groupe que nous désignerons par (€ STOUPE 4 ».

En tenant compte des relations :

Cys — Cor = Eu — 39 + Css — ir = Crus Co = ist oo ess Gus T0

on constate que le groupe g ne dépend que des 4 paramètres qui servent de, coordonnées homogènes pour les points a, et a; mobiles sur la droite pr.

Quand on modifie le repère, les 4 foyers inflexionnels restent fixes landis que les symboles & et a, subissent la tranformalion linéaire et homogène la plus générale. Les quatre racines de l'équation en z subissent donc une même transformation homographique. Le groupe g est donc le groupe connu des transformations subies par les coefficients d’une équation algébrique du quatrième degré quand on donne à la variable une transformation homographique. Changeons légèrement

les notations pour pouvoir profiter plus aisément de résultats classiques. Posons : PI) rose 02,2 Fr He.

On sait que les deux expressions

S = agay, — us + 3(a2), T = 00224 + 20008 — 0 3 ? — aa? —(0)9

sont des invariants relatifs tandis que le rapport du cube de $S au carré de T est un invariant absolu. On vérifie d'ailleurs ces propriétés par le calcul qui donne :

DS = = 29(E11 + En}; ÈT = — 3T(e,, + 622).

Revenons à l'étude de la première particularisation spéciale du repère. Excluons le cas singulier pour lequel l'équation en 2: aurait tous ses coefficients nuls. Tous les points de la droite r seraient alors des foyers inflexionnels. Il est facile de montrer que le complexe étudié serait linéaire.

Occupons-nous d'abord du cas très particulier pour lequel les quatre racines de l'équation en z sont confondues. Commençons par choisir le point a, en coïncidence avec le foyer inflexionnel quadruple; l'équation en : est ainsi réduite à son premier terme. Après cette restriction a” subit une dilatation tandis que « subit une transformation linéaire non homogène. Nous pourrons donc annuler a’ et égaler a” à l'unité.

Supposons enfin que l'équation en + n'ait pas toutes ses racines confondues. Commençons par choisir a et « en coïncidence avec deux des foyers

inflexionnels; l'équation en 2 est ainsi privée de son premier et de son dernier