EN EE

termes. Après cette restriction on'aura :

SD = De, +e,,)+(espre,)s (a! — 2h!) = ia ob) (e, pes): 8 = = 2bes: db" — —ob'e,,.

On doit donc étudier à part les cas particuliers pour lesquels l'équation en z privée de ses termes extrêmes n’a qu'un ou deux termes au lieu de trois.

Dans le cas général on pourra profitér des dilalations subies par b et 6’ en égalant ces deux coefficients à l’unité positive ou négative; ensuite on profitera de la translation subie par D en annulant ce coefficient. Remarquons que le complexe y sera alors stationnaire puisque la conique F, sera dégénérée.

Étudions le cas particulier pour lequel a’ est double de D, Landis que b et b' ne sont pas nuls. On peut alors amener b et D" à être égaux à l'unité. Grâce à la nouvelle forme de l'équation en 2, on voit immédiatement que les quatre foyers inflexionnels forment une division harmonique. On pourra enfin annuler b' et par suite a! .

Les autres eas particuliers sont faciles à étudier; ils sont caractérisés par l'existence d’une racine double, d'une racine triple ou de deux racines doubles.

En résumé, la première particularisation spéciale du repère conduit à distinguer six catégories de complexes non spéciaux et nou linéaires ;

1° Les complexes quelconques G dont les foyers inflexionnels sont distincts et ne forment pas une division harmonique;

2° Les complexes G, dont les foyers inflexionnels sont distincts et forment une division harmonique :

3° Les complexes H qui admettent un foyer inflexionnel double; ñ° Les complexes H, qui admettent un foyer inflexionnel triple : 5° Les complexes K qui admettent deux foyers inflexionnels doubles : 6° Les complexes K, qui admettent un foyer inflexionnel quadruple.

La forme quadratique Ÿ peut être réduite respectivement à :

w, (409 HAS 2u) ; Jon w3 = wi} ; CALE + 203); 2090, &3?; @32.

Surfaces réglées asymplotiques. — Nous appellerons « surfaces réglées asymptotiques » les surfaces réglées du complexe étudié telles que, pour tout déplacement élémentaire de la droite génératrice sur l’une de ces surfaces, on ait un complexe linéaire tangent stationnaire.

Occupons-nous du cas général pour lequel les foyers inflexionnels sont distincts. Donnons au repère la particularisation fondamentale. Adoptons ensuite

pour positions des points 4, et & les deux points doubles de l’involution définie

par les deux couples de points mm, et m;, m et m,. Nous annulerons ainsi b et b". Nous pourrons ensuite annuler a’ puis égaler a et 4” à l’unité. Dans ces conditions nous aurons

Les directions de droites pour lesquelles il existe un complexe tangent stationnaire ont pour images les trois sommets du triangle autopolaire relatif aux deux coniques E et F,. Il en résulte qu'il existe trois familles de surfaces réglées asymptotiques. Chacune des familles satisfait à un système de deux équations de Pfaff à trois variables p :

62 = 6, +0, = O0; W2 — Wi— 03 = O; D. =D} == O;:

Chacun de ces trois systèmes de Pfaff peut êlre considéré comme un système de deux équations diftérentielles ; on voit ainsi que par une droite du complexe,

il passe une surface réglée asymptotique de chaque famille.