CHAPITRE IX
Géométrie tangentielle des complexes non spéciaux
Généralités sur la géométrie langentielle des complexes non spéciaur. — Je me propose dans ce chapitre de porter mon attention sur les complexes linéaires tangents à un complexe non spécial.
Désignons par r une droite mobile qui engendre uu complexe non spécial. Pour obtenir tous les complexes linéaires tangents y relatifs à la droite r, il nous suffira de connaître l’un quelconque d’entre eux que nous désignerons par y:;
on peut poser en effet :
Venir le symbole & représentant un paramètre arbitraire.
D'ailleurs y, dépendra en général des trois paramètres p. Il en résulte que les complexes linéaires tangents y dépendent en général de qualre paramètres dont l’un joue un rôle accessoire.
Considérons une famille de complexes linfaires à n paramètres, le nombre n étant supposé égal ou inférieur à 3. Désignons par y, la forme d'un de ces complexes et posons
ire elec] His + pa[cecs] ; dhe=tdpec)ee ne + d:fcces] Les droites communes au complexe ;: et aux complexes infiniment voisins
appartiennent aux complexes linéaires de formes :
ovi dy
l'ensemble de ces droites communes constitue ce que nous appellerons l « élé-
ment caractéristique ».
Supposons que n soit égal à 3. L'élément caractéristique est alors en général conslitué par deux droites dont nous désignerons l’une par r. La droite » dépend de trois paramètres p; elle engendre donc un complexe que nous appellerons l« enveloppe » des complexes y.. Il est facile de voir que chacun des complexes y. est langent (suivant.la droite r correspondante) au complexe enveloppé, car On à :
/T =0; d(n/r) = 0; dyifr == 0; y/dr = 0.
Remarquons en outre que la famiile à trois paramètres formée par les complexes y tels que :
Y = HP: Ps, ps). r enveloppe le même complexe que la famille formée par les complexes 1.
On peut d'ailleurs considérer un complexe non spécial comme enveloppé par le complexe y, ; donc, en général, un complexe non spécial estune enveloppe à trois paramèlres.
Remarquons qu’un complexe tangent non stationnaire dépend toujours de trois paramètres p. Supposons en effet que la première: particularisation spéciale n'ait pas été effectuée, de telle sorte que le complexe adopté pour +, puisse être
l’un quelconque des complexes linéaires qui sont tangents suivant la droite r. On a:
dy = + (ou + ws)Yo+ mis — mr — wir avec 6.0, + wi.
Pour immobiliser Le complexe tangent ;,. il faut done annuler les trois expressions © et l'expression 0. Si la conique F4, n'est pas dégénérée, c'est-à-dire si le complexe +, n’est pas stationnaire, on doit annuler les trois expressions fondamentales « pour égaler à zéro les trois expressions 5 ; il est alors nécessaire de laisser fixes les trois paramètres p.
L'étude tangentielle des complexes est surtout intéressante quand l’un des complexes tangents y, ne dépend pas effectivement des trois paramètres p ; ce complexe +, est alors stationnaire et il est naturel de choisir le repère de façon que . joue le rôle du complexe 1.
Généralités sur les enveloppes à un paramètre. — N'im posons au repère associé à la droite génératrice r que la particularisation fondamentale. Supposons que le complexe >, ne dépende que d'un paramètre. Les expressions # s'annulent en même temps que l’une d’entre elles. Il en résulte que la conique F, est dégénérée en une droite double et par suite cette conique a deux points doubles distincts ou
confondus communs avec la conique E. Les seuls complexes susceptibles d'être
considérés comme des enveloppes à un paramètre sont donc les complexes K etK,:
ILest facile de vérifier que tous les complexes K sont des enveloppes à un paramètre ; en donnant au repère la première particularisation spéciale, on voit aisément que non seulement les expressions 5 maïs aussi l'expression 0 s’annulent en même temps que l'expression w,, ee qui prouve que la position du complexe % ne dépend que d’un paramètre.
On peut vérifier d'une manière analogue que tous les complexes K, sont des enveloppes à un paramètre
L'élément caractéristique d’une enveloppe à un paramètre est fourni par les droites communes à deux complexes linéaires ; il se confond donc avec une congruence linéaire L. Nous allons voir que dans les complexes K la congruence L
n'est pas spéciale tandis que dans les complexes K; cette congruence est spéciale.
Propriétés des complexes K;. — Considérons un complexe K,. Après la première particularisation spéciale on peut poursuivre la détermination projective du repère, de manière à avoir : :
0 = 6, +w%y = 0; VW = y = O0) y = 20.
D'ailleurs le coefficient + n’est nul que pour des complexes particuliers. On
a d’ailleurs :
ay QT Sr 632 )Yo — Syl"2
Le complexe % ne dépend donc que d’un paramètre. De plus l'élément caractéristique est formé par les droites communes aux deux complexes y, et », : c'est une congruence linéaire spéciale.
Si on étudie un déplacement pour lequel l'expression «; est nulle, on constate que la droite r rencontre la droite Jire r, tout en restant dans le complexe ,. I en résulte que toutes les droites de l'élément caractéristique appartiennent au complexe étudié.
Il est intéressant de remarquer que les droites du couple inflexionnel quadruple appartiennent au complexe étudié.
Le foyer inflexionnel quadruple engendre une surface réglée dont les géné-
ratrices sont les directrices des congruences caractéristiques ; cette surface réglée
est développable ou non suivant que le coefficient « est nul ou non.
Propriétés des compleres K. — Considérons un complexe K. Après la première particularisation générale du repère on peut annuler l'expression 0. On
RS
a alors :
; dyo = (wii + ws)4 + (099 + w35)7"
Le complexe +, ne dépend done que d'un paramètre. L'élément caractéristique est formé par les droites qui rencontrent les droites 7, et r,.
Si on étudie un déplacement pour lequel l’expression w, est nulle, on constate que la droite r rencontre les deux droites fixes r,, et.
La congruence linéaire caractéristique est tout entière comprise dans le complexe étudié.
Il est intéressant de remarquer que les droites de chacun des deux couples inflexionnels doubles appartiennent au complexe étudié.
Chacun des deux foyers inflexionnels doubles engendre une surface réglée
dont les génératrices sont des directrices des congruences caractéristiques.
Classification des compleres K. — Après la première particularisation spéciale du repère on peut toujours, d’une manière projective, annuler les expressions, 4, op et w,,.
On doit alors poser :
. AT à . = .
= 10 a = Nos W3, = — )w3 + div : Wys = — y + gyw.
Les coefficients À et X sont des invariants fondamentaux mais les cocfficients Gi et g2 dépendent du choix du repère tandis que le produit gig° est invariant.
Les coefficients g et g, ne sont nuls que dans des cas particuliers.
On est ainsi amené à distinguer parmi les complexes K : ceux pour lesquels gi et g> ne sont pas nuls; ceux pour lesquels l’un des deux coefficients g est nul : ceux pour lesquels g, et g, sont nuls.
Lorsque 9, est nul, la surface réglée décrite par le foyer double & est une quadrique. Lorsque 9 et 4, sont nuls, chacun des deux foyers doubles décrit une quadrique; nous allons étudier de plus près ce cas très particulier et nous verrons que les deux foyers doubles restent situés sur une même quadrique.
Complexes K dont tous les foyers inflexionnels sont silués sur une quadrique. — Considérons un complexe K pour lequel les coefficients g: et g, sont nuls. Nous aurons pour un déplacement du repère ; NOR SOC EE WU, ; da; = Woods + Wollz + &,4,; da = — way + Avon + %3303 : day = — 0,4 — oi + w,Q4.
On en déduit que le réseau de complexes linéaires :
pars + pin + pOur +)
est fixe, puisque l’on a :
\(@i + Do — W33 — Wu) = — dA.
Les deux droites r, et r, sont situées sur la quadrique Q formée par les droites communes de ce réseau ; mais le point «a est situé sur r, tandis que le point a: est situé sur r,; par suite les deux foyers inflexionnels doubles restent situés sur la quadrique fixe Q.
Etude d'un complexe K très particulier. — Supposons que non seulement gi et g, Soient nuls mais que l'invariant fondamental à soit aussi nul.
Les points a; et a sont alors fixes ainsi que les deux plans [&asa,] et [a,a,a,|.
Les points inflexionnels doubles restent donc situés dans deux plans fixes. D'ailleurs chacune des deux directrices de la congruence linéaire caractéristique pivote dans un plan fixe autour d’un point fixe.
On peut choisir le repère et les paramètres fondamentaux de manière à avoir :
MN Cr PPS = Cr 4; = C2 + Pic, = 2P3C3 ; D3 (os d3 —= EUA 2 dy —= ‘ P ps On obtient ainsi un exemple très simple de complexe à foyers inflexionnels quadruples.
Généralités sur les enveloppes à deux paramètres. — Nous venons de voir que
tous les complexes K et K; étaient des enveloppes à un paramètre. Il est facile de vérifier que tous les complexes IT et H; sont des enveloppes à deux paramètres. Considérons un complexe H ou un complexe H,. Donnons au repère la
première particularisation spéciale. Nous aurons dans le cas d’un complexe H : DO Do — 3 + W3, D} — Up, [ (wo e w3)oo1 | —+- [Oo | => 6 et dans le cas d’un complexe H, :
SEEN O: Do 0; Ho), [own] + [Ou | ae (OX
Dans les deux cas, le complexe 7, reste fixe pour un déplacement qui annule w et w,: par suite le complexe enveloppant +, ne dépend que de deux paraméIres. :
IL nous reste à chercher si les complexes à foyers inflexionnels distincts G ou G, peuvent être des enveloppes à deux paramètres. Nous pouvons supposer, pour cette recherche, que la première particularisation spéciale a été donnée au
repère et nous contenter d'étudier s’il est possible que le complexe y, ne dépende
