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mais il a consacré un court Mémoire à des considérations sur l’applicabilité projective des complexes et des congruences ; il a employé dans ses nombreux Mémoires (!) les procédés du calcul différentiel absolu imaginé par Christoffel et perfectionné par Ricci. Enfin M. Cartan dans une Communication au Congrès de Strasbourg, a montré comment on pouvait étudier la déformation des variétés engendrées dans un espace quelconque par un élément géométrique quelconque en employant une méthode fondée sur l'emploi des « covariants bilinéaires ». Le procédé de calcul avait été imaginé par Fræbonius ; il fut perfectionné et mis au service de l’étude des groupes de transformations par M. Cartan qui la appelé « calcul extérieur » et a fourni de nombreux exemples d’applications géométriques de sa méthode. En étudiant les espaces conformes M. Cartan a remarqué que le problème de la déformation dans l’espace à 4 dimensions présentait des difficultés spéciales: il s’est borné dans ce cas particulier à la recherche des hypersurfaces applicables sur une hypersphère ; cette question correspond par une transformation qui change une hypersphère de rayon nul de l’espace à 4 dimensions en une droite de l’espace à 3 dimensions à l’application des complexes sur un complexe linéaire, dans l’espace projectif à trois dimensions. D'ailleurs, dans sa Communication au Congrès de Strashourg, M. Cartan a énoncé les nombreux résultats intéressants qu'il a obtenus sur l’applicabilité projective des complexes et des congruences.

Dans ce Mémoire je me suis proposé d'employer le calcul extérieur à l'étude des propriétés infinilésimales de l’espace réglé projectif. J’ai porté surtout mon attention sur la déformation des variétés mais j'ai l'intention de poursuivre mes recherches sur ce problème difficile.

Je consacre les trois premiers chapitres à des généralités sur l'emploi des symboles représentatits des principaux éléments géométriques, sur la détermination projective du repère mobile associé à la droite qui décrit une variété et enfin sur le problème de l’applicabilité projective. J'étudie ensuite successivement les variétés réglées à une, deux et trois dimensions.

L'emploi du repère mobile fournit aisément certaines propriétés projectives des variétés; beaucoup de ces propriétés ont d’ailleurs été données par différents auteurs qui employaient la méthode ordinaire de calcul dans l’espace euclidien ; la plupart des propriétés relatives aux compiexes enveloppés par un complexe RS PP RTS I I EE SE

(1) Dans l'avant-propos de son Mémoire intitulé Fondamenti di geomatria proiellive-differenziale et paru

dans les Rendiconti del Circolo M. di Pakermo (1918-19), M Fubini donne la liste de ses

principaux Mémoires,