CHAPITRE PREMIER

Symboles de la Géométrie projective réglée

Symboles de points. Repères. — Considérons l’espace ordinaire rapporté à trois axes Ox, Oy, Oz.

Nous désignerons un point de l’espace par l’une des lettres a, b, c, m, n. Dans une équation la lettre qui représente un point symbolisera l’ensemble des quatre coordonnées homogènes de ce point.

Par un symbole tel que ha + kb + lc +... nous représenterons le point dont les quatre coordonnées homogènes s’obtiennent en multipliant respectivement celles de «@, b, e,... par les nombres h, k, L... et en ajoutant les produits. Les symboles a et ha correspondent ainsi au même point géométrique.

Il est facile de rapporter l'espace à un repère formé de quatre points &; dont les coordonnées homogènes sont déterminées; il suffit que le repère forme un tétraèdre ou ce qui revient au même que le déterminant des seize coordonnées ne soit pas nul. Etant donné le tétraèdre a,aa:a, on peut en effet écrire pour tout point » de l'espace : mm = Tu +tas + na; + a; les quatre coefficients déterminés ainsi s'appellent les coordonnées du point m dans le repère & az a @.

Nous appeillerons repère simple le repère constitué par les quatre points b, b: b, b, dont les coordonnées homogènes respectives sont : 0, 0,0, 1;0,0,1,0, 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0. On peut alors écrire : m = {bi + 2b2 + ybs + œbi; les coordonnées homogènes cartésiennes du point m sont donc identiques aux coordonnées du point »m dans le repère b:b:b:b:.

On sait qu'une transformation homographique de l’espace est déterminée quand on connaît les anciennes et les nouvelles coordonnées homogènes de

quatre points. Si nous effectuons la transformation qui amène le repère

d&a;a, en coïncidence avec le repère & &2 43 4, le point m = <@ + Ut + ras + ta,

A8 ps

sera amené, en coïncidence avec le point m=rT4+ta;,+ra;+ta. Les coordonnées anciennes relatives à l'ancien repère sont done les mêmes que les coordonnées nouvelles relatives au nouveau repère. On peut donc dire que le repère mobile aa,a,a, entraîne avec lui tous les points de l'espace de telle manière que les coordonnées relatives soient respectées; on a ce qu'on appelle un déplacement projectif de l’espace. En géométrie projective, on ne doit pas considérer comme distinctes deux figures qui peuvent être amenées en coïncidence par un déplacement projectif de l'espace. Deux figures (F') et (F') seront donc dites égales quand on pourra trouver deux repères (a’) et (a’) tels que les deux figures soient définies par les mêmes relations entre les coordonnées relatives de leurs points.

Pour étudier les symboles de droites, plans et complexes linéaires nous imaginerons que l’espace est rapporté au repère simple b,b,b,b, et à un autre repère quelconque @1@:4:,4,. Pour abréger le langage nous appellerons « coordonnées absolues » les coordonnées dans le repère (b) et « coordonnées relatives » les coordonnées dans le repère (a).

Les coordonnées absolues d’un point m sont donc les coordonnées homogènes cartésiennes. De plus les coordonnées relatives du point m sont identiques

aux coordonnées absolues du point m avec lequel le point m vient coïncider quand on effectue le déplacement projectif de l’espace pour lequel on a

Nous désignerons par #,, y, a, t, les coordonnées absolues du point a; et

par æ, y, z, { les coordonnées absolues du point m c'est-à-dire les coordonnées

relatives du point m.

Symboles de droiles. — Considérons la droite qui joint le point m au point mn Désignons par x, y, 2,4, æ, y,2', l', les coordonnées relatives des points m et m'. Si nous appliquons le répère (a) sur le repère (b) la droite m n° aura pour coor-

données pluckériennes cartésiennes :

X = {x —tx, Y=ty—ty, Z=t/—1{z L = ÿ2 — YZ,

M—22x'—22%, N=xy — xy;

ces six quantités déterminent la position de la droite m m dans le repère (b) et

par suite la position de la droite mm' dans le repère (a). Nous dirons que ce sont

fl

les coordonnées pluckériennes relatives de la droite mm' et les ‘coordonnées pluckériennes absolues de la droite m m'. | = Par le symbole [mm] représentons l’ensemble des six coordonnées absolues de la droite mm’ et par le symbole [a;a;|, représentons l’ensemble des six coordonnées absolues de la droite a;a;. Dans les calculs symboliques nous devrons traiter les symboles de droites comme des déterminants à deux colonnes, puisque chacune des coordonnées pluckériennes est égale à un déterminant à deux colonnes. a Par un symbole tel que : Afaa,] +k{a;a,| +... nous représenterons la droite dont les six coordonnées absolues s’obtiennent en multipliant respectivement celles de [&a], [&&]... par les nombres h, k et en effectuant les sommes des

produits obtenus. Un calcul simple montre que l’on a la formule symbolique.

[mm] = Z[ac] + Yiaas] + X[œas] — N{asu] — M{aa:] — L{asas).

Symboles de plans. — Considérons le plan qui passe par lestrois points m, m’,

m". Appliquons le repère (b) sur le repère (a). Désignons par %o, Yo: 20, 4 les

coordonnées absolues d’un point variable du plan m nm m”. | +

L'équation cartésienne du plan mm'm peuts’écrire E—o, E désignant

un déterminant à quatre lignes dont la première est : xx/x'x,. En développant E suivant les éléments de la dernière colonne on trouve

E = ut + 0Y + Wa +rl,; e

les coefficients u,v, w,r sont égaux à des déterminants à trois colonnes formés avec les coordonnées relatives des 3 points mn, m’, m'.

Les 4 nombres «u, v, w, r déterminent le plan mm'm' dans le repère (b) ils déterminent donc le plan mmm" dans le repère (a); nous dirons que ces nombres sont les coordonnées absolues du plan mm m et les coordonnées relatives du plan mm'm".

Par les symboles [rm'm"|, [a;a;ja] représentons l’ensemble des 4 coordonnées absolues des plans mm'm" et a;aja;. Dans les calculs un symbole de plan devra manifestement se traiter comme un déterminant à trois colonnes.

Si l’on cherche les coordonnées absolues du plan mm'm" on voit qu'elles satisfont à l'équation symbolique ;

[rm'm'| = u[aias] — v[a;ua,] + wa] — r[aæa,].