RUES

Ajoutons que tout point » du plan mm'm" peut s’écrire n = om +$m' + ym"

et que l'on a par suite

[mm'm n|= 0,

, | P LI Le $ r . « , ‘ si l’on convient de représenter le déterminant à quatre colonnes formé par les 16 coordonnées des points mm'm'n par le symbole |

[mm'mn|.

Symboles des complexes linéaires spéciaux. — Un complexe spécial étant défini par sa directrice nous le représenterons par le même symbole que sa directrice. Un complexe spécial peut donc se représenter par une expression telle que ;

[ic] + pla] + ouai] +pfasal] + [aa] + v'2[aa3] si l’on désigne par

P:01» 029 = on Pire

les coordonnées relatives Z, Y, X, N, M, L, de la directrice. Les six nombres p s'appellent les coordonnées relatives du complexe spécial; ils sont liés par l'équation :

PE" + Papi —+ pape = 0.

Deux complexes linéaires spéciaux de coordonnées relatives respectives

2,0"... et 5,5 auront des directrices concourantes si l’on a :

00" + 09° paGi + pi + Pass + aps = 0.

Symboles des complexes linéaires quelconques. — Considérons pour un instant les coordonnées e d’un complexe spécial comme étant les coordonnées homogènes d’un « point-image » p, dans un espace à 5 dimensions E;:. Tous les pointsimages des complexes spéciaux sont situés sur l'hyperquadrique + dont l'équation

Eure pe! + pipi + pape = 0.

Deux directrices se rencontrent quand les points images sont conjugués. Soit un point quelconque + de l'espace E;. Désignons ses coordonnées par

9, 015...0:. Les points conjugués de y satisfont à la relation :

09! + p! + p10i + Gap + Pa0ù + 02p2 = 0;

STATS les points conjugués qui sont situés sur 4 sont donc les images des complexes spéciaux dont les directrices satisfont à la relation : Zs'+ Yoi + Zos — No — Moi — Lo, = o.

Ces directrices sont donc situées dans un complexe linéaire.

À tout point y de l’espace E, on peut donc faire correspondre un complexe linéaire de l’espace réglé.

Il est commode d’adopter dans l’espace E, des repères formés par : six points dont on connait les six coordonnées homogènes.

A tout repère de l’espace réglé nous pourrons faire correspondre un repère de l'espace E, en prenant les images des six arêtes du tétraèdre.

Au repère G&@a,a, correspondra donc lé repère rrirzr'rirs formé par les images des complexes spéciaux : FANS | [at], [al|, [aa], [aa,], [aa], [aa

Au complexe spécial dent le symbole est

| o[ ia] Es correspond Île point image dont le symbole est pr + Considérons un point quelconque {= + Gi + de l’espace E;.

Si nous déplaçons le repère a;&a:a, qui entraîne les points de l’espace réglé, les points de l’espace E; subiront un déplacement non euclidien respectant l'absolu %. Mais il est facile de connaître la transformation subie par un point de Ÿ puisqu'on connaît la transformation subie par la directrice du complexe spécial correspondant. Si le repère (a) vient en effet coïncider avec le repère (a) défini par les équations :

= did + date + als + ads on obtiendra immédiatement les nouvelles coordonnées du complexe spécial e[aa] + pla] +.

en remplaçant dans son symbole les lettres a; par leurs valeurs.

Comme tous les points de l’espace E; subissent une même transformation

projective, nous sommes conduits pour trouver la transformation subie par y à

chercher comment se modifie l'expression

[a] + silua,] +