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Fr $ 0 R 0 Désormais par une expression telle que :

1=6[u&)+oaluas) + sua] + dau] + Gfaa]+ sas]

nous symboliserons un complexe quelconque dont l’image dans l’espace E, aurait pour coordonnées

O9 Os. ete

et dont les droites satisfont par suite à l'équation : Lo + Yo + Xoi — No — Moi — Zio: = 0.

Deux complexes linéaires sont en involution quand leurs images sont conjuguées.

Pour exprimer qu’un complexe linéaire est fixe il suffit d'écrire que la forme yse reproduit à un facteur près. | A | : Pour trouver la nouvelle position d’un complexe linéaire après un déplacement projectif, il suffit de chercher comment se modifie la forme y. Les six

nombres s s'appellent coordonnées relatives du complexe.

Moment relatif de deux complexes. — Etant donné deux complexes linéaires quelconques ?, et & de coordonnées p, 91... et 0, 6,... on appelle «moment relatif » l’expression bilinéaire :

! ! ! (1 ‘ fr F = 00° + 0401 + pa0! + po + pic + pate.

Si le moment relatif est nul, les deux complexes sont en involution et si l’un des complexes est alors spécial, sa directrice est contenue dans l’autre complexe.

Le moment relatif de deux complexes est un invariant absolu vis-à-vis des déplacernents de l’espace projectif quand on impose à ces déplacements la restriction de ne pas modifier la valeur du déterminant.

[Gas |.

Donnons pour le démontrer un déplacement infiniment petit au repère G@434. Ce déplacement sera défini par les relations

di = Où + Gi + Oisls + Où,

où les © sont des expressions de Pfaff formées avec les variables qui servent à déterminer la position du repère.

= rez

Ecrivons pour abréger r, …, r’, au lieu de [aa], … [aa]. La forme du complexe dr s'obtient aisément. On a en effet :

dr = diaa | = [a,da;] + [da,æ&] — (CM ae 32) + O3 Et DoaT2 + wuli Eca wialo

On trouve de même dr, … dr’. On peut alors aisément calculer la variation dF du moment relatif; on trouve :

dE = Fo, + 2 + 33 + Ou).

Mais on a :

d[aa:asas] = (0,1 + Os + Gus + @ua) [a as@].

Par suite, si l’on s'impose la restriction D = [aaaa,] = C,

on aura dF = 0 et par suite F sera un invariant absolu.

Il est important de remarquer que la restriction imposée au repère ne diminue pas la généralité du déplacement projectif du repère si l’on se place au point de vue géométrique ; cela résulte de cette remarque que le déplacement projectif qui transforme le repère

CPU ONUR dans le repère Ka,Ka Ka;Ka,

laisse fixe tous les points de l’espace et modifie la valeur du déterminant D. Nous supposerons désormais que l’on a DETTE nous aurons donc :

Oiy + Wos + Wie HO, = O0.

Pour abréger l'écriture nous représenterons par le symbole p,/s, le moment relatif des deux compiexes linéaires dont les formes symboliques sont p, et 5. D'ailleurs un moment relatif a les propriétés d’un produit géométrique.